對稱性、輪換對稱性在重積分計算中的應用

朱碧 李帥

[摘要]對稱不僅存在于日常生活中，在高等數學的積分中，尤其是重積分中也十分常見。在高等數學中積分是相當重要的內容，重積分的計算過程有時是相當復雜的，但是特殊情況也有巧妙的求解方法，對稱性、輪換對稱性就是一種非常巧妙的方法。本文分析并歸納總結了輪換對稱性在積分計算和證明中的應用。

[關鍵詞]重積分;對稱性;輪換對稱性;積分計算

一、輪換對稱的定義

定義1：設D為一有界可度量的平面區域，若∨x，y∈D，y，x∈D，那么稱區域D關于x，y具有輪換對稱性。

定理1：設D為一有界可度量平面區域，并且關于x，y具有輪換對稱性，z=f（x，y）是定義在D上的連續函數，則度量微元）。

定義2：設Q是一有界可度量的幾何體，其邊界光滑，如果x，y，z任意兩者互換位置Q都不變，則稱Q關于x，y，z具有輪換對稱性。

定理2：設Q是一有界可度量的幾何體，其邊界光滑，若Q關于x，y，z具有輪換對稱性，w= f （x，y，z）是Q上的連續函數，則

二、重積分的計算和證明一利用對稱性、輪換對稱性

我們將通過一系列例子，把重積分的積分區域對稱性問題和被積函數對稱性問題逐一研究，在研究的過程中感受對稱性和輪換對稱性在重積分計算時的重要作用。

[注]如果被積函數或其代數和的某一部分具有對稱性，我們也可以此作為突破口來求解。

這一例子就是著名的施瓦茨不等式，當然這個著名不等式的證明不止這一種方法，但是通過查閱資料發現，其他的證明方法要么繞了很大彎子，最終回歸定義上，要么計算量十分大。顯然，運用對稱性和輪換對稱性在證明重積分的相關結論時是相當輕松的。

總結

以上的計算和證明都巧妙地利用了對稱性或輪換對稱性的相關知識，從而使看上去煩瑣復雜的計算和證明過程簡單了許多。當然，上述例子的計算和證明方法肯定不止這一種，但是，其他路徑都不如此來得更直接、精煉。我們利用對稱性和輪換對稱性來計算、證明重積分的相關結論時，首先要看清是關于原點對稱，還是關于坐標軸對稱，或是其具有輪換對稱性，以便于我們更好地利用總結的結論直接求解。

通過以上幾個例子對重積分中的對稱性進行了解釋說明，由此可見對稱性，尤其是輪換對稱性在重積分計算過程中的重要作用，對稱性的運用不僅可以簡化許多計算步驟，還可以省去數學解題中許多煩瑣的問題，使我們可以節約更多的時間。

參考文獻：

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