數學理性：人文精神的重要體現

○江蘇省南京市長江路小學 周衛東

一、引子：理性精神在現實中被“遮蔽”

愛因斯坦是當代著名的物理學家。有一天，愛因斯坦問他的學生：“有兩個人同時從煙囪里爬出來，一個人很干凈，另一個滿臉煤灰，你認為哪一個會立即去洗澡？”學生毫不猶豫地說：“肯定是那個滿臉煤灰的人！”“是這樣嗎？請考慮得再仔細些再回答。”愛因斯坦不置可否又似乎在提醒些什么。“啊，我明白了。”學生說，“那位干凈的人會馬上去洗澡，因為他看到對方臟，立刻想到自己也臟，所以他馬上去洗澡。”這位學生的回答很有把握，可他的導師卻又否定了他的想法。“不對！”愛因斯坦這樣評價：“你的兩次回答都不對，盡管從表面看，你的每個回答都有邏輯性，第一種情形是認為只有臟的人才會洗澡，但忽略了應從什么角度去觀察，所以錯誤；第二種情形是考慮到觀察者的角度以及各自內心的心理，但卻忽略了最重要的、也是最關鍵的一點，就是兩個人同時從煙囪里鉆出來，怎么會一個很臟，而另一個卻很干凈呢？這顯然是不可能的呀！”學生這才明白，為什么回回錯誤，原因是自己只停留在問題的表面進行分析和推理，沒有首先對問題的本身進行重視和判斷，而事實上導師給出的卻是一個不成立的問題。

難怪愛因斯坦對此這樣下結論：“如果你所討論的命題不合邏輯，那么不管你運用了多么合乎規則的邏輯，你還是找不到正確的答案！”

類似的“學生找不到答案”的例子還有很多。比如，1991年，臺灣出版的《數學傳播》上刊登了一篇文章，其中提到一個歐洲的笑話：“一條船上，有75頭牛，32頭羊，問船長幾歲？”文章中說，美國的小學生有40%的人說是43歲。因為75和32相加是107，不會是船長的年齡，這兩個數乘起來更不可能，只有兩數相減等于43才有可能。

為什么學生會找不到答案？究其原因，是因為他們的批判性思維意識與批判性能力嚴重缺失，歸根到底，是缺少一定的理性精神。長期以來，學生對教師的慣常教學早已“心中有數”，學習就是接受、接受還是接受。凡是教師問的問題都是有答案的而且大多數都是唯一的，凡是教科書中的、教師教的知識都是絕對正確的，凡是歷史上形成的結論都是不容懷疑或否定的。如此，學生的問題意識被消減，懷疑的眼光被遮蔽，批判性思維等理性精神成為個體素養結構中的“奢侈品”。

二、厘定：數學理性的價值與內涵

人類的文明是靠理性來建構的，因此世界各大文明中均不乏理性。數學作為人類文化的一部分，不僅包括數學的知識、方法，還包括數學的語言、思想、精神等。特別是在自然科學和社會科學發展的過程中，數學將其理性精神發揮得淋漓盡致，不僅為人類的發展提供了理性的思維方式和工具，也為人類思想指引了方向。

數學理性是西方文明極其重要的特點，西方文明發展的各個時期、各個方面幾乎都受到數學理性的深刻影響。數學理性是數學科學的精髓，實質上是人文精神的一種。具體來說，數學理性的內涵可以從以下幾方面理解：

客觀的、理智的研究立場。自然科學研究的對象是不以人類意志為轉移的、獨立的客觀世界，因此我們要采取純客觀的、理智的態度，而不應摻雜有任何主觀的、情感的成分。即使像數學這樣，其研究對象并非客觀世界中真實存在的，而是人類抽象思維的產物，但是在研究中，我們還是應當采取純客觀的立場，把它看成一種不依賴人類的獨立存在，并通過嚴格的邏輯分析去揭示其內在性質和關系。比如三角形的概念是人類的創造，但是研究其內角和存在的規律時，依然要從客觀的角度去思考，并討論在不同幾何體系背景下的內角和的差異。

精確的、定量的思維方式。數學理性的“數學味”就體現在它的“精確”“定量”上，而不應是含糊的、直覺的。這既是科學研究的基本方法，也是科學研究的基本目標，即揭示自然界中的數學規律。以“圓周率”為例，從《周髀算經》中的“周三徑一”，到“徽率3.1416”，再到祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，再到1882年德國數學家林德曼證明π是一個無理數……都體現出對人類對圓周長與直徑關系精確、定量的追求。小學數學課程內容中安排的探索規律，也都是期望學生能從數量上發現規律、總結規律、應用規律。

批判的、開放的理性精神。批判的精神讓我們時刻提醒自己不要淪為權威主義者，而要重視用可靠的論證來判斷真理，正如亞里士多德的名言所述“吾愛吾師，但吾更愛真理”；而開放的精神是對批判精神的重要補充，這就是要以真理為目標，在探索真理的過程中，保持頭腦的開放性，不斷接納別人的想法，修正自己的觀點。美國數學家喬治·波利亞稱前者是“理智上的勇氣”，稱后者為“理智上的誠實”。

抽象的、超驗的價值取向。自然科學研究的目的是為了超越直觀經驗，通過抽象思維達到對事物本質普遍規律的認識，只要保持這種抽象、超驗的思維取向，才能將特殊轉化為一般，感性上升為理性，透過現象看到本質，將眼前的現實轉化為未來的永恒。

三、求解：數學理性的培養策略

學生數學理性的形成是一個長期積累的過程，對學生數學理性的培養首先需要教師提高自身對數學理性的認識和理解，進而才能在平時的教學中對學生進行有針對性的培養。鄭毓信教授曾提到：人們正是經由“理性思維”的學習與應用逐步發展起了“理性精神”，也即由“思維方法”不知不覺地過渡到了“情感、態度與價值觀”。也就是說，理性思維的培養是數學理性精神形成的關鍵。

第一，重視數學抽象能力的培養。

數學抽象就是從數量關系和空間形式的角度抽取事物的本質特征，從而提煉數學概念、構建數學模型，創立數學理論的方法。在教學中重視數學抽象，意味著幫助學生從客觀的角度來看待研究對象，從而在定量、精確等角度把握事物的本質特征。

例如，在教學中可以向學生講解著名的“哥尼斯堡七橋問題”，讓學生明白，歐拉正是通過逐步抽象的思想和方法將“哥尼斯堡七橋問題”轉化為“一筆畫問題”，使問題得到迅速、完美的解決。

再如，教學“分數的初步認識”，如何讓第一次接觸分數的學生理解分數的含義？我通過創設“豬八戒吃餅”的故事情境，讓學生面對圖形（圖中涂色部分），思考：“豬八戒要的一小塊兒到底有多大呢？怎么用一句話或一個數來表示？”學生進行想象與創造，隨后在大量原生態的作品中選擇有代表性的四幅進行對比：“這些作品，哪些是相同的？哪些是不同的？”最后達成“這些作品中都有4，都有1”“4就是一共分成了4份，1是豬八戒要的其中的一份”的共識。這樣的抽象，淡化了形式，扣住了本質，讓學生對分數的本質有了實質性的理解。

第二，注重數學推理能力的培養。

當下的數學教學，應特別倡導讓學生采用“觀察和實驗”的方法進行學習，但是如果學生始終停留在“實驗和歸納”的水平上是不夠的，不能真正獲得數學理性。因為數學理性強調有條理、有依據地探究問題和解決問題，因此教學中需要重視“驗證和推理”。

例如，在研究“平行四邊形面積計算”時，可以直接以“大問題”切入：“我們已經學過了長方形面積的計算方法，請大膽猜測一下，平行四邊形面積的計算公式是什么呢？”學生面臨這一問題，可能會受長方形面積計算公式的影響，提出“用底乘鄰邊”的猜想。在此基礎上，引導學生用“畫小方格數”“割補轉化”“反證”等多種方法來驗證這種猜想的正確性，從而培養了學生的推理能力。

又如，在探索長方體特征的時候，不能僅僅通過分類計數發現長方體的棱數，還要積極引導學生通過面數，頂點數推出棱數，并用算式表達為6×4÷2=12和8×3÷2=12。只有在教學中重視驗證和推理，才能發展學生的數學理性。

第三，注重發現問題、質疑批判意識的培養。

“問題是學習的心臟”，我們要特別留意并珍視那些可能瞬息即逝的“問題”，而那些“旁逸斜出”的“問題”往往就是理性思維的“發端”。在學習“七巧板”這一內容時，一位學生擺弄著學具，滿臉疑惑地問我：“老師，不是說隨便怎么擺這七塊，總面積都是不變的嗎？我的第二種擺法怎么會多出這么一部分呢？”這一問題讓我困惑了很多天，到現在還沒有找到一個貼切的答案。我鼓勵學生利用課余時間大膽猜想、小心求證、不懈求解，一時間，因批判、質疑所帶來的一股“探究熱”“問題熱”，極大地驅動了思維的積極性，提升了學生發現問題、質疑批判的思維品質。

第四，注重追根溯源、開拓超越精神的培養。

數學有著強大的教化功能，有著較濃的“善”的品質，比如數學探索過程中的執著與堅韌，比如論證過程中的務實與謹嚴，比如數學創造過程中的開拓與超越，乃至耐心、責任感、敬業品質、民主精神等。

劉德武老師在教學“用字母表示數”這一內容時，圍繞“在乘法中，乘號如何簡寫、省略”這一難點的教學，令人拍案叫絕。他模擬了一個數學癡迷者探索追求的感人故事，通過主人公三次向世界數學家大會寫信，陳述自己“把‘×'號逐漸縮小寫成‘·'，以示與‘X'相區別——為免于與小數點相混淆，那就干脆不要了——符號不寫會混淆，那就在前面加一個前提條件”的階段“研究成果”。故事形象有趣，亦莊亦諧，驅人奮進。讓學生不斷經歷著矛盾沖突時的“心潮激蕩”和問題解決時的“峰回路轉”，在其腦海中勾勒出一位執著的數學癡迷者：在厚厚的稿紙前，時而冥思苦想，時而奮筆疾書的久遠的歷史畫卷。讓學生從中“經歷”數學思想的邏輯重演，體驗這位探索者每一次創造的快慰，等待中的期盼，受拒后的苦悶，成功時的欣慰，從而催生出一種不畏失敗、越挫越堅的高尚的人文情懷。

第五，注重實事求是、服膺真理精神的培養。

“我思故我在”是笛卡爾全部認識論哲學的起點，也是他“普遍懷疑”的終點。笛卡爾主張用理性來審查一切，他認為，獲得真理的唯一正確途徑就是通過懷疑一切來排除那些可疑的命題，而后發現那唯一不可懷疑的第一原理，再從它推演出其他一切真理。聽過一節課“三角形的內角和”，學生們撕下三角形紙片的三個角拼在一起，用量角器量，都說180度。一個男生說：“不對啊，我的就是182度！量了兩遍……”教師不置可否，面對全班大聲地說：“通過剛才的驗證，我們知道了——”學生齊答：“三角形的內角和是180度”。“量，根本就不好……”男生嘀咕著。課后，教師解釋這個男生很另類。令人心痛，“另類”的背后恰恰是理性精神、可貴的數學品格！那些稍縱即逝的時機，正是我們涵養學生理性思維的契機。

杜威曾經指出：“在教學中，以外在的成果為標準的做法，表現在人們只重視“答案正確”，從而使教師無法集中注意力去培養學生的理性思維；而在學生的操行方面，僅僅要求學生遵守校訓、校規，而忽略了學生積極探索和深思習慣的養成，這都不利于學生反思思維習慣的養成。”因而，在實踐層面，我們一定要引導學生養成獨立地發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的習慣，養成不怕困難、百折不撓的精神，培養學生服膺真理、實事求是、言必有據、一絲不茍、嚴謹認真、崇尚科學的理性精神，以此引導學生學會用數學來修行、立言、做人，這才是教育的應有之義、原本之意！