在計算教學中促進學生思維能力的發展

楊凱明

摘 要：思維能力是智力的核心。人們在生活、學習和工作中遇到問題，總是要“想一想”，而這樣的“想”，就是思維。因此，在數學教學當中，我們可以通過厘清概念、把握實質、變換角度、壓縮過程、綜合運用等方法培養學生思維的縝密性、深刻性、靈活性、敏捷性、獨創性，從而促進學生思維能力的發展。

關鍵詞：計算；思維；能力

計算是一種有步驟、有目的的思維活動，計算教學不僅僅是要學生掌握數學知識的結論，還要讓學生通過自己的發現、實踐和內化，感受結論形成的過程。通過分析與綜合、概括與抽象、具體化與系統化等一系列過程，對感性的材料進行加工并轉化為理性的認識，從根本上提高學生的素質。那么在計算教學中如何培養學生的思維能力呢？下面筆者結合自己的教學實踐，談談在計算教學中培養學生思維能力的幾點做法。

■一、厘清概念，培養思維的縝密性

數學是嚴謹的學科，思維的縝密性是數學思維的重要品質之一。周密的數學思維要求學生觀察問題要周到、嚴謹，做到有理有序，法則、公式、定律、概念等運用自如，判斷恰當。在計算教學實踐中，學生在計算過程中經常會抄錯題目中的數字、符號，抄錯草稿紙上的答案，或者四則運算時出現漏步、少寫、運算順序混淆等現象。此時，很多家長和教師都會對學生說：“你太粗心了，這么簡單的計算都算錯！”其實，這不能簡單地認為是粗心、不仔細，而是學生對運算定律、性質、公式等概念混淆、模糊不清，對算式的某一特征沒有仔細觀察而主觀臆斷的決定，沒有養成縝密的數學思維習慣。

在計算教學實踐中，筆者收集了學生口算時常見的幾種錯誤題型，如：①36+64-36+64，②3.2-3.2×0.1，③■×3÷■×3，④■+■×■，⑤7÷■-■÷7。這幾種題學生往往不假思索地就寫出得數：第①題等于0，第②題等于0，第③題等于1，第④題等于■，第⑤題等于0。顯然，這5道題的答案都是不正確的，這是學生粗心算錯的嗎？顯然，①③⑤都是受了3×4-3×4這種題型的負遷移影響，只要仔細觀察、比較、分析，就會發現36+64-36+64，■×3÷■×3與3×4-3×4是不同的，運算順序不同，運算法則就不同，如果前兩題加了小括號，就改變了運算順序，計算法則與3×4-3×4并不相同。同樣的，第⑤題學生容易受思維定式及視覺效果的影響，誤以為7÷■與■÷7形式相同，算式相同。

上述學生的典型錯誤能簡單地說成是粗心、不仔細造成的嗎？顯然不能。究其原因，還是學生對運算定律、法則等概念沒有完全理解，只是記住了表面形式就胡亂套用，沒有養成縝密的思維習慣。因此，在計算教學中，我們可以加強學生對算式的表述，通過表述加深對運算順序的理解。比如：18×36÷12可表述為18乘以36，再除以12，商是多少？計算順序是先乘后除，而18×（36÷12）則表述為18乘以36除以12的商，積是多少？運算順序是先除法，后乘法。在計算教學中，教師要多讓學生對錯誤的計算進行辨別，找出錯誤的原因。在小學數學教材中，很多公式、性質、運算定律都是計算的依據，要讓學生弄清這些概念的本質，可以引導學生對特殊算式進行觀察、比較、分析，如果不加以區別，勢必使學生產生混淆，導致錯誤。

■二、把握實質，培養思維的深刻性

數學思維的深刻性，是指能從數學的感知材料中看出數與形的本質特征，理解它們的內在聯系和規律，意在培養學生學會透過現象看本質，學會全面思考問題。在計算教學中培養學生思維的深刻性，是要讓學生深入理解算理，讓學生不僅知“算法”其然，還要知其所以然，明白計算方法的由來，在理解算理的基礎上掌握計算方法，形成計算技能。

以北師大版五年級下冊《分數除法（一）》為例。《分數除法（一）》重點是教學“分數除以整數”的計算方法，難點是讓學生理解“分數除以整數（0除外）等于分數乘這個整數的倒數”的算理。那么如何讓學生理解“分數除以整數（0除外）等于分數乘這個整數的倒數”的算理呢？

我們可以從以下幾個方面來理解分數除以整數的算理：一是分數除法的意義；二是分數乘、除法之間的關系；三是商不變的規律。可見，因為引進分數，乘除法的意義都得到了擴展，除法和乘法可以在一定的條件下進行轉化。基于以上認識，如何更好地引導學生理解分數除法的意義和分數除以整數的計算方法，教學實踐可以有如下過程：

1. （1）板書算式1÷2，問：表示什么意思？（板書：把1平均分成2份，每份是多少？）

（2）1×■，表示什么意思？（也就是把1平均分成2份，每份是多少？）

（3）繼續追問：這兩個算式會有怎樣的關系？

引導學生理解兩個算式相等的理由：①兩個算式表示的意義是一樣的，都表示把1平均分成2份，每份是多少？②兩個算式可以用同一直觀圖表示。③兩個算式的得數是相等的。

2. 出示1÷3和1×■，問：這兩個算式相等嗎？為什么？

3. 追問：8÷4和8×■呢？2÷7和2×■呢？

4. 像這樣的算式，你還能寫嗎？（學生舉例）

追問：為什么除法算式能改寫成乘法算式？有什么改寫的訣竅嗎？

用字母表示所有的算式，提問：“把a平均分成3份，每份是多少？”可以怎么列式？（a÷3=a×■）為什么相等？

5. 那■÷3你能算嗎？

為什么■÷3=■×■？如果用直觀圖表示，應該是同一幅直觀圖。

追問：你能用圖來說明這樣的道理嗎？

6. 學生自主活動，展示交流。

7. 教師動態板演畫圖，呈現■÷3畫圖的全過程。

8. 歸納分數除以整數的計算方法。

9. 分層次練習鞏固。

（1）看圖示變化，寫出算式。

①多媒體演示把■平均分成2份，求每份是多少。（圖1）

■endprint

圖1

②多媒體演示把■平均分成3份，求每份是多少。（圖2）

■

圖2

（2）計算下列各題，并選擇一道用畫圖的方法說明計算的道理。

■÷3 ■÷2 ■÷4

（3）填一填。

（ ）×5=■ （ ）×2=■

4×（ ）=■

（4）解決問題。（略）

從1÷2和1×■兩道算式的意義入手，發現兩者的意義都是“把1平均分成2份，每份是多少？”讓學生充分理解兩者的意義，明白算理；同時不斷地追問乘法和除法兩個算式為什么相等，不斷地讓學生說出兩個算式的意義。以此類推，發現規律！這樣一來，學生充分理解了分數除以整數的算理，發現了算法背后的本質。練習設計層次鮮明，通過多媒體演示動畫過程讓學生寫出相應的除法算式。這樣的設計很好地培養了學生思維的深刻性。

計算教學中要重視學生對算理的理解，“算理先行，理到法隨”，計算教學中“理”通“法”自然順。所以，教師應重視計算教學中“算理”的滲透，同時多層次地設計練習題，讓學生的思維方式越來越多樣化，思維層次越來越有深度。

■三、變換角度，培養思維的靈活性

數學思維的靈活性，表示思維過程的靈活程度，計算教學中主要體現在學生面臨不同的題目時能靈活選擇算法的能力。計算教學中不僅要讓學生掌握一些常規算法，還要注重培養學生思維的靈活性，這就需要教師精心設計一些練習題，并對各種算法進行比較、分析，引導學生靈活選擇算法，讓學生的思維在不斷地碰撞中實現智慧的生長、能力的提高。

例如：學生學完乘法分配律后，教師一定會讓學生通過多組練習加以鞏固。但由于前面學習過乘法結合律，學生很容易混淆這些運算律，因此教師有必要設計幾組對比練習，引導學生靈活運用定律，提高學生思維的靈活性。

（1）乘法結合律與乘法分配律的對比。

88×125 88×125

=（80+8）×125 =11×8×125

=80×125+8×125 =11×1000

=10000+1000 =11000

=11000

在教學中，學生會把乘法結合律和分配律混著用，出現如下錯誤：

88×125

=（80+8）×125

=8×125×80

=1000×80

=80000

（2）對比相似題，選擇合適的計算方法。

67×102-67×2 67×（102-2）

=67×（102-2） =67×100

=67×100 =6700

=6700

67×100-67×2

=6700-134

=6566

通過這一題組的對比，讓學生明白，不同的題目要選擇不同的方法，有些題目需要使用運算定律才能使計算簡便，有些題目按照運算順序直接計算就已經很簡便了。

（3）同題對比，優化簡算的方法。

24×7+7×75+7

=7×（24+75+1）

=7×100

=700

24×7+7×75+7

=7×（24+75）+7

=7×99+7

=7×（99+1）

=7×100

=700

當三組乘法算式相加時，部分學生往往不會想到三組一起用乘法分配律，因為大家熟悉的是兩組算式的乘法分配律。學生的思維水平參差不齊，此時教師要善于通過不同解法的對比，促進學生自覺優化方法，提高思維水平。

再如：小數、分數加減混合運算中，是把小數轉化成分數運算更簡便，還是把分數轉化成小數更簡便？其實這要視題目而定，如：0.75-■，分數化成小數計算更簡便；0.75-■，小數化成分數計算更簡便；0.75-■，小數化成分數，或分數化成小數計算都可以。這組題目，被減數不變，隨著減數的變化引起算法的靈活選擇，可以培養學生思維的靈活性。

■四、壓縮過程，培養思維的敏捷性

在計算教學中，思維的敏捷性表現在計算正確的前提下的計算速度，對計算中的問題能做出準確而又迅速的判斷，這也是思維品質對提高學生計算能力的重要保證。

在日常教學中，部分教師不是很重視口算的訓練，只要求學生算正確即可，很多可以口算的題目卻要求學生慢慢用筆算，久而久之便弱化了學生的口算能力，學生的思維敏捷性得不到訓練，就有可能導致學生在今后稍復雜的題目中算不快、算不準。因此，教師應加強口算訓練，口算時要求學生注意力集中，反應快，訓練學生的思維敏捷性；要讓學生在計算的過程中動口、動手、動腦，有多種感官參與計算活動，做到視算與口算相結合，激發小學生的計算興趣。在計算教學時，堅持3～4分鐘的口算訓練，結合新授的內容選擇口算題，可以采取對口令、開火車、找朋友、摘蘋果、搶答、口算比賽等游戲性質的練習形式，防止學生產生厭倦情緒，增強了趣味性，寓算于樂，使學生思維的敏捷性得到了訓練。

學生思維敏捷性的培養還表現在使用運算定律、法則、公式、性質等進行計算時，能跳躍式地省去一些非中心的環節，壓縮非必要的過程，頭腦中能出現關鍵的運算步驟，使運算自動化。如：看到354-56-44，學生能直接寫出354-100，中間省略了一步運用減法性質的過程；看到69×11+31×11，學生能直接寫出100×11，中間省略了一步運用乘法分配律的過程。

在教學實踐中，我們常會發現在使用運算律進行簡便計算時，有些算式特點不明顯，需要對這些算式進行加工改造，這就需要學生有敏捷的思維。因此，教師精心設計計算練習是鍛煉學生思維靈活性和敏捷性的有效手段。如：endprint

33×9+66×17+99×19

=33×9+33×2×17+33×3×19（可省略）

=33×9+33×34+33×57（可省略）

=33×（9+34+57）

=33×100

=3300

日常教學中，教師只要經常進行口算、簡算等有針對性的訓練，不但能提高學生的計算速度，而且學生思維的敏捷性也會體現出來。

■五、綜合運用，培養思維的獨創性

思維的獨創性是指思維過程的創新程度，它表現為在思考問題時有一定的創新、獨到之處。在小學數學計算教學中，如何培養學生的創新能力是當前數學教學的重要任務，也是學生今后生活、學習和參加社會活動所必備的基本素養之一。

例如：比較■和■的大小，大部分學生采用先通分，再比較大小的方法，因為學完通分知識后，教師一般都會要求學生將異分母分數轉化為同分母分數比較大小，但也有個別學生會給出下列兩種方法：

①化成小數來比較，■=0.75，■=0.8，所以■<■；

②與1比較，■比1小■，■比1小■，■>■，所以■<■。

這兩種方法其實比通分比較大小的方法更簡單，此時教師應表揚用類似方法解題的學生，從而借助學生的內驅力來激發學生的創造性思維。

再如：12■×■，此題計算較為復雜，大部分學生會采用一般方法，即先通分，再用分數乘法的方法來做，但仍有很多學生得出的最后結果沒有約分。當學生做完這道題時，筆者有意問學生有沒有更好更快的方法，結果沒有學生應答。于是筆者出示這樣的練習，以啟發學生思維：102×2.5得（100+2）×2.5；98×2.5得（100-2）×2.5。部分學優生馬上找到新線索：12■×■=13-■×■=1-■=■，此時剩下的學生豁然開朗。此題看似沒有乘法分配律算式的特點，但卻綜合運用了乘法分配律，創造了簡算的條件。此題的做法打破了常規，采用了特殊的計算方法，激發了學生的創造意識，培養了學生思維的獨創性。

思維的獨創性還表現在要打破不良的思維定式。思維定式是思維的一種慣性，有消極的，也有積極的。積極的思維定式能促進知識的遷移，而消極的思維定式會干擾新知的掌握。不良的思維定式主要表現在按照固定的思維模式去分析新知識、解決新問題。比如：在360÷60，540÷90，100÷10等計算題之后放一道“120-60”，學生往往會不假思索地錯算成120-60=2。

總之，在計算教學中，隨處都有思維的訓練點，培養學生的思維能力是一項系統工程，上述這五種思維能力是密切聯系、相輔相成的，教學中教師只要寓思維訓練于計算教學，適時點撥、比較、分析，適度訓練，盡可能地利用較多的機會訓練學生的思維，就一定能讓學生的思維在計算中得到最美綻放。培養學生的思維能力，使學生養成良好的思維品質，這也是全面提高學生運算能力所必備的。endprint