長灘河流域年徑流模擬的初步探究

倪 川，趙國良

(中國市政工程中南設計研究總院有限公司，湖北 武漢 430019)

在現有社會、經濟和技術條件下，了解水文水資源各組成要素間的相互關系，預測水資源規劃、設計方案可能產生的效果及其對生態的影響，分析系統的發展趨勢，隨機模擬法是重要的途徑之一[1-2]。實測序列法廣泛應用于各種工程的分析計算，但其并不能準確反映流域未來的水文特征。隨機水文模擬法能全面表征水文現象的變化特性，也能表征未來水文現象可能出現的各種情況[3-4]。不同的隨機模擬模型表征水文現象的重點有所不同[4-7]，大概分為時間模型(自回歸模型等)、空間模型(多站隨機模型等)及時空模型(流域系統隨機模型等)三類。水文系統是一個高度復雜、動態的非線性系統，隨機模型更加全面客觀描述了水文現象的特征，使得成果更可靠。本文將基于小波分析的組合隨機模型應用于四川省內江市長灘河上的凌家場水文站的年徑流序列特征分析，為中小流域的水資源管理工作提供了一定的價值參考。

1 流域基本情況

長灘河(烏龍河)系釜溪河左岸一級支流、沱江右岸二級支流。發源于四川省內江市資中縣五皇鄉藍家壩，大體自北向南流，經白鶴橋、雙河、勝利、陳家場、凌家場，至雙河口左納其最大支流桂溪河，再經賴家廟、觀音橋等地后折向西南流，經施家灣，趙家壩等地后，于姚壩兩河口匯入釜溪河。長灘河流域面積515km2。

長灘河上設有凌家場水文站，位于內江市市中區凌家鎮，控制集水面積183km2。該站于1965年5月由原四川省水文總站設立，為小流域代表站。凌家場水文站測驗河段順直，控制條件較好，降雨觀測和資料整理以及水位、流量測驗和整編均按國家規范要求進行，浮標系數取用合理，各級水位測次分布合理。歷年整編刊布資料較可靠，可供本次分析使用。

2 水文序列相關分析

2.1 相關分析方法

判斷水文序列是否相依，相依程度如何，常用的方法是相關分析。

對于平穩隨機序列Xt的一個相當長的樣本x1，x2，…，xn，其自相關系數為

(1)

式中，k=0，1，…，m，為滯時或階數；ρk—滯時為k的總體自相關系數；Cov(k)—Xt的協方差；u—Xt的均值；σ2—Xt的方差。

在實際中n一般都較小，此時常用樣本自相關系數rk來估計總體自相關系數。

(2)

當n很大且k較小是，上式可簡化為

(3)

式中，當n>50時，m

自相關系數是描述水文序列自身內部線性相依程度的指標。一般用作判斷時間序列前后的相依程度、找出樣本的最佳估計模型以及判斷時間序列是否獨立。時間序列是否獨立一般采用假設檢驗的方法進行推斷，rk的容許限計算如下式。

(4)

式中，取“+”時為容許上限，取“-”時為容許下限。若rk處在上、下容許限之間，則統計推斷該序列獨立；反之則相依。

2.2 實例分析

將凌家場站1970—2017年共48年年均流量序列進行自相關分析，得到序列自相關見表1，如圖1所示。

圖1 凌家場站年均流量自相關圖

表1 凌家場站年均流量自相關表

由表1及圖1可知，凌家場站年均流量序列自相關系數rk均處在上下容許限內，說明凌家場站游水位穩定控制在了1038.00～1039.00m之間，很好地保證了下游的用水和通航需求。

3 模型的建立

3.1 模型的選擇

由凌家場站平均流量序列自相關分析結果可知，凌家場站年均流量序列內部相互獨立，線性相依程度較弱。自回歸模型不適用于凌家場站年均流量序列的模擬和預報，本次選用了基于小波分析分析的組合隨機模型這種避開序列相依結構假定的新型隨機模型。

3.2 模型的原理與方法

小波分析能夠將水文序列分解成不同尺度下的小波變換序列，小波變換序列經重構又可得到原始水文序列[9-12]。

3.2.1小波分析

對于水文序列f(t)∈L2(R)，小波變換[9-11]定義為

(4)

式中，Wf(a，b)—小波變換系數；ψ(t)—基本小波或母小波；〈，〉—內積；a—尺度因子；b—時間

平移因子；ψa，b(t)—分析小波或連續小波，是由ψ(t)伸縮和平移而成的一族函數。

當a減小時，ψa，b(t)的時域波形在時間軸方向上收縮，分析水文序列的細節，得到相應的高頻信息；當a增大時，ψa，b(t)的時域波形在時間軸方向上展寬，分析水文序列的概貌，得到相應的低頻信息。通過調整a的大小實現了水文序列時頻局部不同分辨率的分析。

Wf(a，b)既包含f(t)的信息，又包含ψ(t)的信息，因此，當水文序列分解成小波便函系數后，對水文序列的分析也就轉化為了對小波變換系數的研究。

3.2.2小波變換算法

在實際中，對信號的處理幾乎是離散形式下進行的，且小波變換系數計算一般不采用直接數值積分的方法，而是采用離散小波變換的快速算法，目前采用較普遍的快速算法有Mallat算法和A Trous算法等。本次采用的快速算法為A Trous算法。算法如下，

(5)

式中，J—最大分解尺度數；h(l)—低通濾波器系數；k—與濾波器長度有關的常數；C0(t)—一般近似看做研究的水文序列xt；Wj(t)—尺度a=2j下的高頻信息；Cj(t)—尺度a=2j下的低頻信息。

A Trous算法重構為

(6)

式中各參數的物理意義如公式(2)。

3.2.3基于小波分析的組合隨機模型

基于小波分析理論，提出了新型的組合隨機模擬模型，其基本步驟如下：①確定最大分解尺度數J。②選用濾波器系數h(l)。③根據水文序列由公式(5)分解成小波變換序列W1(t)，W2(t)，…，WJ(t)，CJ(t)。④將分解所得的小波變換序列等分為L個子序列。⑤分別從各系數序列中隨機選擇一段子序列(選擇i、j、k段，i、j、k不能同時相等)，然后對選擇的子序列利用公式(6)進行小波重構，得到模擬的新水文序列。

3.3 實例分析

圖2 凌家場站年均流量序列小波變換序列高頻信息圖

圖3 凌家場站年均流量序列小波變換序列低頻信息圖

圖4 凌家場站年均流量實測序列與模擬序列對比圖

4 模型的適用性檢驗

模型的適用性檢驗是指由隨機模型得到的模擬序列應保持實測序列的主要統計特性(均值、方差、偏態系數、自相關系數等等)。一般模擬序列計算統計參數的方法有長序列法和短序列法兩種。長序列法是由模型模擬出一個很長的序列，直接計算統計參數，短序列法是由模型模擬出多組與實測序列等長的序列，分別計算統計參數。本次選用短序列法對模型進行適用性檢驗。見表2。

表2 模型適用性短序列法分析成果表

由表2可知，模擬序列基本較好保持了實測序列相應的統計特性，說明該模型運用于凌家場站年均流量序列的模擬是有效的，效果相對較好，但精度需進一步提升。在模擬計算過程中發現，部分模擬序列中出現了負值，這與實際不符，這也是模擬序列均值略大于實測序列均值的部分原因。

5 結論

本文先對長灘河凌家場水文站年徑流量序列進行了自相關分析，rk處在上下容許限之間，判斷序列獨立，因此選用了避開序列相依結構假定的基于小波分析的新型組合隨機模型。利用小波分解得到了保持實測序列高頻信息和低頻信息的小波序列，經小波變換序列形成的各種子序列無條件的隨機組合，得到模擬的新序列必然繼承了實測序列的變化特性，并且根據模型的適用性檢驗結果看，這種基于小波分析的新型隨機模型應用于長灘河流域年徑流的模擬是有效的，效果相對較好，為中小流域水利工程規劃、設計、建設、管理提供了一定的價值參考。但是該模型未考慮到影響徑流的各種因素，使得部分模擬序列與實際不符，因此，模型精度有待提升，且需進一步優化。