探究高中數學解析幾何問題解析方法

張毅

摘要：數學是我們高中教育階段中十分重要的一門學科，而幾何問題也是高中數學學科中的重點和難點，其相關知識貫穿高中數學學科的整個過程，并且為大學高等數學中曲面幾何的相關學習奠定基礎。本文通過闡述在高中數學學科中幾何問題的特性和其解析方式，并將其與實際生活中的應用相結合。

關鍵詞：高中數學幾何問題橢圓與雙曲線直角坐標系

一、高中數學幾何的相關概念

高中數學中的幾何知識難點主要表現在二維區間中，例如直線間的關系、直線與圓的關系、橢圓、雙曲線和拋物線等相關概念以及解析方式等知識點。其主要通過培養高中生的空間想象能力和邏輯解題能力，并使高中生能夠對數學空間形成自己的理解。

二、高中數學解析幾何問題的主要解析方法

（1）回歸定義法

在高中的解析幾何領域中，由于相關概念或定義規定的較為詳盡，因此在解題過程中很多題型都是依據定義進行分析和解答的。此外，有一些關于圓錐曲線[1]的問題，乃至些看似與圓錐曲線還不相關的幾何問題，都可以利用定義法進行判斷。因此回歸定義法是一種很重要的解題思路，例如在下圖（圖1所示）中，圓O的公式為 ，其中P是圓O上面的任意一個移動點，（2，0）為點A的坐標。此時線段AP的垂直平分線與圓O的半徑（圓O的圓心為點C）CP相較于點Q，那么點Q隨點P移動所產生的軌跡方程為？

我們由題可以分析出QP=QA，那么此時QA+QC=QP+QC=CP=6 > AC

結合橢圓定義，可知該軌跡為橢圓，且點A、C為其焦點，長軸為6

那么可知a=3，c=2， ，因此綜上分析可得橢圓的方程為 。

（2）設而不求法

由于高中解析幾何的相關問題較為復雜，并且在具體的解題過程中有部分參數為過渡參數，因此可以通過預先設定，后再削去的方式進行解題。同時使用這種方法還可以降低了在計算過程中的運算量，并提高了解題速度，因此得到廣泛的使用：例如在直角坐標系xOy中（如圖2），存在橢圓C： ，并且已知其離心率為 。同時橢圓C經過點 ，求證橢圓C的方程。

由于橢圓C： ，并且已知其離心率為

則 ，又因為 ，得出

由題知橢圓C經過點

則 ，此時 ， ，所以橢圓C的方程為 。

（3）數形結合法

此外，對于高中的解析幾何來說，由于解析幾何主要為幾何圖像，因此數形結合的解析方法可以通過利用原有圖形的相關性質，進而求出相關答案：如圖3所示，坐標點P是圓O在第一象限中的任意一點（圓O的方程為 ），那么過P點的圓的切線[2]與橢圓C相交（橢圓C的方程為 ）于Q 、R 兩點。并且已知橢圓C的右焦點為F ，請證：PQ+FQ=2。

本題主要通過使用兩點間距離公式，而兩點間的距離公式主要采用勾股法進行判別

由圖3可得出點Q 在橢圓上

，FQ=

PQ=

因此，綜上所述PQ+FQ=2。

三、高中數學幾何的實際應用

（1）在傳媒領域的應用

解析幾何由于其獨有的實用性，并且利用解析幾何可以輕松設計出對稱面[3]、橢圓和拋物線等相關形狀，極大地方便了傳媒領域中設計人員的工作量。因此解析幾何在傳媒領域的應用十分廣泛：例如動畫制作、廣告或海報等創意設計、場地布置及吉祥物或紀念品設計等多方面的應用。同時，在一些舞蹈動作編排、電視劇或電影中的動作設計（如電影《侏羅紀世界2》當中各個恐龍模型的設計，就用到了圓及其變形、對稱面等相關知識）等也會運用到有關解析幾何的相關知識。

（2）在軍事領域的應用

在軍事科技領域中，由于圓的切線、橢圓等在雷達接收面和反射面的相關性能有很強的關聯性，因此被廣泛應用于軍事通信領域和隱身戰艦、飛機的設計和研制工作中；此外，由于拋物線的相關知識與軍事領域中的炮彈落點、彈道導彈飛行軌跡等緊密相關，因此解析幾何的相關知識是軍事科技研究領域中的必修課之一，并且在其中占有十分重要的地位。

四、結語

幾何問題及其解析方法不僅在高中的數學考試中占有很大的比重，并且由于其獨特的實用性和對現代科技的獨特作用，因此解析幾何知識對高中生的重要性不言而喻。本文通過對高中解析幾何的相關問題及解析方法進行介紹和講解，并結合其在實際中應用案例，以期幫助其他高中生更好地理解幾何問題，提高學習興趣。

參考文獻：

[1]朱城. 高中生解析幾何學習障礙及教學對策[D].上海師范大學，2014.

[2]李雪川. 高中數學數形結合思想的研究和應用[D].河北師范大學，2014.

[3]馬寧. 數學思想對高中解析幾何學習影響的研究[D].河北師范大學，2014.