解析反證法的邏輯特點和使用技巧

李雨眠

摘要：我們在高中學習數學的過程中，反證法是作為一種特殊的解題技巧來使用的，通過對反證法的學習和研究，了解了反證法的使用方法以及使用的情形，并引發了本人對反證法的思考和總結。本文簡單的介紹了反證法的概念，邏輯特點，重點分析了反證法的使用技巧。

關鍵詞：反證法；邏輯特點；技巧；數學

一、反證法的概述

反證法，又稱背理法，即假設原命題結論的不成立，然后從這個假設開始，根據題中給出的條件，進行論證，最后推出與原命題相悖的結果。反證法最重要的部分在于歸謬，根據假設的情況的多少，反證法可以分為兩類，即歸謬反證法和窮舉反證法，歸謬反證法是結論的反面只存在一種情況，而窮舉反證法是結論的反面不單單只有一種情況。

二、反證法的邏輯特點

間接證明是反證法的邏輯特點，它從命題結論的反面對命題進行論證，通常第一步是假設原命題的不成立，第二步是從結論出發，推理論證，得出矛盾，最后得出假設不成立，肯定原命題正確的結論，是一種逆向思維的證明方式，間接證明是相對直接證明來說的，當我們遇到某一道數學題時，若我們很難用直接證明，從已知推出結論，那么，假設結論，由結論推出，也未嘗不是一種好的方法，這樣數學問題就會變得簡單、明了。在解數學題的過程中，常使用反證法證明，不僅能夠提高學生的數學成績，鞏固學生的所學的數學知識，而且能夠培養學生的邏輯思辨能力，對學生的長遠發展有著重要的影響。

三、反證法的使用技巧

1、證明結論反面比結論更為簡單。正如一句古話說的好，正難則反，當一個事情的正面很難得到證明時，那么從事情的反面進行證明會更容易一些，而在數學中，反證法一般用于條件不是特別多，關系不是特別容易把握時，從反面證明比較容易上手的情況。

例如，在平面和直線相交的證明題中，求證：若兩條平行直線a，b中的一條與平面m相交，則另一條也與平面m相交。

證明：不妨假設直線a與平面m相交，b與a平行，從而證明b也與平面m相交，假設b不與平面m相交，則必有兩種情況：

（1）b在平面m內，因為a//b，a不在平面m，所以a//平面m，與題設矛盾。

（2）b//平面m，則平面m內有直線b1，使b//b1.因為a//b，所以a//b1，因為a不存在平面m，這與題設矛盾。所以，b與平面m只能相交。

在這道題中，直接證明直線與平面相交是比較困難的，然而運用反證法，通過假設，對命題的證明就比較容易。

2、證明結論中出現“至少、至多、唯一、不能同時等字樣的命題。當一個命題中出現至少、至多、唯一、不能同時的字樣時，直接證明會比反證法困難。當題目中出現“不能同時”的情況時，采用直接證明會出現一個、兩個、三個等不同的情況，而采用反證法，否定結論，就是“同時存在多種相同情況“，這樣證明起來就方便很多了。因此，在做題中要特別注意命題中出現至多……，不都……、都不……、沒有……，不能同時……等關鍵性詞語。

例如，若0

證明：因為00

同理，4-b>0，4-c>0

假設（4-a）b，（4-b）c，（4-c）a，同時大于2

即（4-a）b>2，（4-b）c>2，（4-c）a>2

由①+②+③得，6>6，矛盾

所以假設不成立，所以（4-a）b，（4-b）c，（4-c）a，不能同時大于2。

四、反證法應當注意的問題

在運用反證法的過程中，我們應當注意一些問題，主要是以下幾點：

1、我們要正確的分清題中的條件和結論，并正確的否定命題中的結論，正確的否定結論是證明結論成功的第一步，因為只有在確定大前提正確的前提下，才能確保接下來推理的正確。

2、在推理的過程中，要運用題中的條件，形成清晰的邏輯推理過程，并保證正確無誤，正確的推理過程是一道題中最重要的部分，它包含了做題者的思想和邏輯推理能力，是做題者思維和意識的的表達。

3、得出正確的結論。在反證法的推理過程中，不同的題型會有不同的結論，我們要做好的就是分清不同的矛盾種類，進而得出不同的結論。這樣，一道數學題才能算是完整的解答出來，在學習數學的過程中，我們需要的是百倍的耐心和細心，因為，數學本身是一門非常嚴謹的學科，它容不得絲毫的馬虎，正如，用反證法證明習題時，習題的每一步都需要仔仔細細的進行計算，每一個小數點或者符號，都要標在它應該存在的位置上，只有這樣才能保證最后得出的結論的正確。也只有這樣我們才能在數學上取得成就。

五、結語

反證法在數學證明題中是非常常見的一種證明手法，然而它的運用不單單只局限于數學中，在生活中，我們也可以看到它的影子，當我們路過一家餐廳判斷餐廳的食物的好壞，可以從餐廳的生意來判斷，假設餐廳的食物很難吃，那么一定沒有顧客，而餐廳卻是人滿為患，于是矛盾，所以假設不成立，所以餐廳的飯好吃。筆者作為高中生，通過對高中反證法的學習和了解，進而思考了反證法在其他科目中的運用，并做了深入的研究和分析。反證法對于數學中的問題的解決是至關重要的，學好反證法，可以化繁為簡，很好的解決一些復雜的難題。作為高中生來說，熟悉的掌握反證法，在一些數學的證明過程能夠比較得心應手的運用它，這樣我們在遇到問題時，就能夠靈活的準確的解決難題，提高我們的學習能力。然而，反證法的學習是不易的，因此，在學習反證法的過程中，要好好學習，勤于思考，只有這樣，我們才能理解它，掌握它，并且正確的運用它。

參考文獻

[1] 李丹丹.反證法在中學數學中的應用[J] 鞍山市信息工程學校.2013，（3）.

[2] 王業雙.淺談反證法的原理及在中學數學中的應用[J].教育教學論壇.2014，（2）.