基于最小二乘小波支持向量機的股指波動率預測

耿立艷+張占福+梁毅剛

[摘 要] 為提高金融波動率的預測精度，用極差估算股指波動率，建立了基于最小二乘小波支持向量機（LS-WSVM）的波動率預測模型，以上證綜指和深證成指的日數(shù)據(jù)、周數(shù)據(jù)和月數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)樣本，通過LL、NMSE、NMAE指標驗證了LS-WSVM在波動率預測方面的有效性。結(jié)果表明，LS-WSVM用于波動率預測是有效的，對不同頻率波動率的預測精度優(yōu)于高斯核LS-SVM，在預測較低頻率波動率中表現(xiàn)更好，不同小波核之間的預測精度相差不大。

[關(guān)鍵詞] 波動率；預測；最小二乘小波支持向量機

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 01. 042

[中圖分類號] F830.9；TP183 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2018）01- 0104- 04

1 前 言

金融衍生品定價、資產(chǎn)組合配置、金融風險測度及管理都離不開對波動率的準確預測。對波動率的準確預測，一方面有助于研究者進行資產(chǎn)定價、套利定價和期權(quán)定價的理論研究，另一方面有助于市場監(jiān)管者對金融市場運行質(zhì)量進行準確評估，同時又有助于投資者對投資組合進行合理配置，有效規(guī)避投資風險。為此，國內(nèi)外學者不斷提出各種方法提高波動率的預測準確性。Engle和Bollerslev提出的自回歸條件異方差類模型[1-2]及其擴展形式以資產(chǎn)收益的條件方差估計波動率，能夠較好地刻畫波動率的各種特征，在波動率預測中占有重要地位。

為進一步提高波動率的預測精度，Donaldson等[3]將神經(jīng)網(wǎng)絡（NN）與GARCH模型相結(jié)合預測股指波動率，Taylor[4]、Tae[5]分別利用NN預測股指波動率。這些研究證實，NN可以在一定程度上改善波動率的預測效果。但神經(jīng)網(wǎng)絡以經(jīng)驗風險最小化作為計算準則，在理論上存在三個問題：網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)難以確定、存在局部極小值、收斂速度慢。由Vapnik提出的支持向量機（SVM）[6]是當前重要的機器學習算法之一，有效解決了神經(jīng)網(wǎng)絡遇到的問題。SVM的本質(zhì)是求解一個帶約束條件的凸二次規(guī)劃問題，通過結(jié)構(gòu)風險最小化準則，兼顧了學習算法的經(jīng)驗風險和泛化能力，在非線性回歸和預測中表現(xiàn)優(yōu)越。Perez-Cruz[7]利用SVM估計GARCH模型，進而提高了波動率的預測精度；Gavrishchaka[8]證實SVM的波動率預測效果優(yōu)于“主流”波動率模型；陳詩一等[9]、王保華等[10]分別將SVM應用于波動率預測研究，證明了SVM的有效性。湯凌冰[11]利用小波核提高SVM非線性逼近能力，實證研究表明，基于小波核的SVM較基于RBF核的SVM具有更高的波動率預測精度。SVM算法的復雜性取決于數(shù)據(jù)樣本的個數(shù)，樣本越多，相應二次規(guī)劃問題求解越復雜，計算效率越低。

最小二乘支持向量機（LS-SVM）是SVM的一種擴展形式[12]，將最小二乘算法引入到SVM中，取代了SVM的二次優(yōu)化算法，通過定義拉格朗日函數(shù)，并結(jié)合最優(yōu)條件，將SVM中的二次規(guī)劃優(yōu)化變換為線性方程求解，從而降低了算法的復雜性，提高了計算效率。Geng[13]成功地將LS-SVM應用于波動率預測研究。

核函數(shù)是LS-SVM模型的關(guān)鍵，LS-SVM的預測性能取決于核函數(shù)的選擇。以高斯核函數(shù)為代表的常見核函數(shù)，在回歸分析表現(xiàn)出較好的映射性能。但研究發(fā)現(xiàn)，這些已有核函數(shù)不能使LS-SVM逼近平方可積空間L2（R2）上的任意函數(shù)，致使LS-SVM 無法逼近任意的目標函數(shù)[14]。

最小二乘小波支持向量機（LS-WSVM）以小波核為核函數(shù)，利用小波函數(shù)的多分辨率提高LS-SVM的非線性處理能力[15]，在模式識別和非線性函數(shù)逼近等方面獲得應用。目前LS-WSVM在波動率預測領(lǐng)域的應用很少，本文將LS-WSVM應用于波動率預測研究，通過對上證綜指和深證成指不同頻率波動率的實證分析，檢驗LS-WSVM的有效性。

2 波動率的最小二乘小波支持向量機

金融經(jīng)濟學研究中通常以方差估計資產(chǎn)收益的波動率。Parkinson證實極差能夠捕捉到更多金融市場的變化信息，以極差估計波動率要比傳統(tǒng)的樣本方差估計更有效[16]。極差Rt定義為：

Rt=100×（log Pt，high-log Pt，low）（1）

其中，Pt，high與Pt，low分別為t時刻資產(chǎn)的最高交易價與最低交易價。為了獲得更多數(shù)據(jù)變化信息，本文以當期和前4期極差的算術(shù)平均值估算波動率λt：

lt=Rt-k（2）

采用LS-WSVM算法建立波動率預測模型時，為減少預測誤差的累積，利用當期波動率預測下一期波動率，即LS-WSVM的輸入為當期波動率，輸出為下一期波動率。設(shè)波動率時間序列為∧={λ1，λ2，…，λn}，λt≥0，t=1，2，…，n，n為樣本個數(shù)，LS-WSVM通過非線性映射函數(shù)φ（ ），在高維特征空間中建立線性回歸模型為：

λt+1=ωTφ（λt）+b，t=1，2，…，n-1（3）

其中λt，λt+1∈R分別表示輸入和輸出變量，T表示“轉(zhuǎn)置”運算，ω，b分別表示權(quán)向量和閾值。根據(jù)結(jié)構(gòu)風險最小化原理，LS-WSVM預測可表述為最優(yōu)化問題：

J（ω，b，e）=||ω||2+et2（4）

式（4）中目標函數(shù)的第1項表示正則化項，第2項表示經(jīng)驗誤差項，正則化參數(shù)γ用來調(diào)整正則化項和經(jīng)驗誤差項之間的平衡，et∈R表示誤差。為求解以上優(yōu)化問題，引入Lagrange乘子αt∈R，t=1，2，…，n-1，構(gòu)建Lagrange函數(shù)：

L（ω，b，e，α）=J（ω，b，e）-αt（ωTφ（λt）+b+et-λt+1（5）

由Karush-Kuhn-Tucker條件，Lagrange函數(shù)分別對ω，b，e，α求偏導數(shù)并等于零，得到：endprint

ω=-αtφ（λt）αt=0λt+1=ωTφ（λt）+b+etγet=αt，t=1，2，…，n-1（6）

消去式（6）中的ω和e，可得到一組線性方程組：

0 HTH Ω+I/γba=01（7）

其中：H=[x2，x3，…，xn]T，Ωj=HtHjK（λt，λj），t，j=1，2，…，n-1。I為n-1階單位矩陣，α=[α1，…，αn-1]T，1=[1，1，…，1]。求解線性方程組獲得a和b值，LS-WSVM回歸模型為：

λt+1=αjK（λt，λj）+b（8）

其中，K（λt，λj）為核函數(shù)，K（λt，λj）=φ（λt）Tφ（λj），其形式?jīng)Q定了非線性映射函數(shù)和特征空間的結(jié)構(gòu)，選擇合適的核函數(shù)成為提高LS-SVM性能的關(guān)鍵。由于波動率序列復雜多變，高斯核等常用核函數(shù)難以刻畫波動率的復雜變化特征。

核函數(shù)構(gòu)建定理指出，滿足Mercer定理的平移不變小波核函數(shù)是允許的支持向量核函數(shù)[17]?，F(xiàn)已證實，Mexican母小波、DOG母小波、Morlet母小波等都可構(gòu)造出平移不變小波核函數(shù)。本文選取Mexican小波核作為核函數(shù)，具體形式如下：

K（xt，xj）=1-exp-（9）

其中，d為平移尺度因子，為伸縮因子。則Mexican小波核LS-SVM預測模型為：

t+1=αj1-exp-+b（10）

3 實證研究

3.1 數(shù)據(jù)的選取

將上證綜指（SHCI）和深證成指（SZCI）的日數(shù)據(jù)、周數(shù)據(jù)和月數(shù)據(jù)作為樣本進行實證分析，其中，選取2009年1月5日到2013年3月15日的每日觀測值作為日數(shù)據(jù)樣本，共1 019組數(shù)據(jù)序列；選取2005年1月7日到2013年3月15日的每周觀測值作為周數(shù)據(jù)樣本，共411組數(shù)據(jù)序列；選取1991年4月30日到2013年2月28日的每月觀測值作為月數(shù)據(jù)樣本，共263組數(shù)據(jù)序列。按式（1）和式（2）分別計算出日波動率、周波動率和月波動率，樣本總數(shù)分別為1 015個、407個和259個。

3.2 網(wǎng)絡學習及預測

為提高LS-WSVM的收斂速度，先對三組數(shù)據(jù)樣本進行歸一化處理，再分別將三組數(shù)據(jù)樣本分為訓練樣本和測試樣本。對日波動率，取前715個數(shù)據(jù)作為訓練樣本，后300個數(shù)據(jù)作為測試樣本；對周波動率，取前287個數(shù)據(jù)作為訓練樣本，后120個數(shù)據(jù)作為測試樣本；對月波動率，取前163個數(shù)據(jù)作為訓練樣本，后96個數(shù)據(jù)作為測試樣本。

為比較LS-WSVM的有效性，利用以高斯函數(shù)為核函數(shù)的LS-SVM模型（LS-SVM）預測SHCI和SZCI不同頻率的波動率，將預測結(jié)果與LS-WSVM的預測結(jié)果進行比較。

3.3 預測性能評價指標

選取對數(shù)誤差統(tǒng)計量（LL）、正則均方誤差（NMSE）和正則均值絕對誤差（NMAE）評價模型的預測性能，分別定義如下：

LL=N-1ln（t）-ln（Rt）2（11）

NMSE=（12）

NMAE=（13）

其中，N為預測樣本個數(shù)，t為預測的波動率，Rt為實際波動率。以上指標值越小，表明模型預測性能越好。

3.4 結(jié)果分析

LS-WSVM和LS-SVM分別對SHCI和SZCI的日波動率、周波動率和月波動率預測結(jié)果見表1、表2和表3。SHCI中，LS-WSVM對不同頻率波動率的LL、NMSE和NMAE均小于LS-SVM的對應值； SZCI中，除周波動率的NMAE外，LS-WSVM的LL、NMSE和NMAE均小于LS-SVM的對應值，表明整體上LS-WSVM對三種不同頻率波動率的預測精度優(yōu)于LS-SVM。計算LS-WSVM和LS-SVM對應的預測性能評價指標差值，通過差值比較不同頻率波動率的預測效果。在三種不同頻率波動率中，LS-WSVM對月波動的預測效果最好，差值在0.000 3～0.001 7之間；對周波動的預測效果次之，差值在0.000 1～0.001 5之間；對日波動率的預測效果最差，差值在0～0.000 3之間。

圖1、圖2給出了LS-WSVM和LS-SVM分別對SHCI和SZCI不同頻率波動率的預測結(jié)果曲線圖。由兩圖可看出，LS-WSVM和LS-SVM都較好地預測了SHCI和SZCI不同頻率波動率的變化趨勢，LS-WSVM較LS-SVM更準確地預測出了較低頻率波動率的某些極值。

另選取DOG小波核、Morlet小波核作為LS-SVM核函數(shù)，分別對SHCI和SZCI的不同頻率波動率進行預測，形式如下：三種不同小波核LS-SVM的波動率預測結(jié)果如表4、5、6所示。由三表可知，小波核LS-SVM在不同頻率波動率預測精度方面優(yōu)于高斯核LS-SVM，不同小波核之間的預測精度相差不大。

4 結(jié) 語

本文建立了基于小波核的最小二乘支持向量機波動率預測模型（LS-WSVM），利用上證綜指和深證成指不同頻率的實際交易數(shù)據(jù)樣本，以LL、NMSE、NMAE檢驗其有效性。實證研究結(jié)果表明，從提高波動率預測精度角度，采用小波核LS-SVM比高斯核LS-SVM更有效，LS-WSVM對較低頻率波動率具有更好的預測效果。

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