基于Markov過程的多狀態可修元件可靠性建模

李志強 徐廷學 高松 鄧春饒 趙建忠

摘 要：在現有多狀態可修元件完全維修建模和非完全維修建模的基礎上， 應用Markov過程構建了多狀態可修元件的視情維修可靠性分析模型。 從多狀態元件的定義出發， 分析了多狀態元件在無維修條件下的狀態轉移關系， 拓展構建了元件在完全維修、 非完全維修以及視情維修條件下的狀態轉移微分方程和關系矩陣。 以某可修系統的狀態3元件和狀態4元件為例進行了實例分析， 仿真結果表明， 視情維修相對于完全維修和非完全維修， 可以使元件保持更高的可靠度和可用度。

關鍵詞： 多狀態; 完全維修; 非完全維修; 視情維修; 狀態轉移

中圖分類號：TJ760; TB114.3文獻標識碼：A文章編號： 1673-5048（2018）05-0079-06[SQ0]

0 引言

傳統的可靠性分析方法假設元件只有正常運行與故障失效兩個狀態。 在現實世界中， 諸多元件、 系統都是多狀態的[1-2]， 即除了正常運行與故障失效兩個狀態之外， 還有一個或者多個中間狀態， 如機械元件的性能劣化狀態、 發電機的低壓輸出狀態等。 由于Markov過程在描述狀態轉移關系方面具有獨特的優勢， 已廣泛應用于元件的多狀態建模與分析中[3-4]。 劉航等[5]根據裝備的維修性和劣化性能分析， 提出了基于Markov過程的維修決策優化模型， 研究了在考慮維修經費和時間條件下的最優時間點。 為了提高兩級污水排放系統的可靠度， 綦法群等[6]應用Markov過程構建了系統的預防性維修模型， 以可用度最大化為目標， 優化維護頻率， 確定最佳的設備維護策略。

現有研究大多都基于完全維修假設， 即元件修復如新， 最簡單的例子就是換件維修。 修復如新只是理想條件下的維修方式， 實際上， 完全維修更多的是指換件維修， 以全新的元件更換故障失效的元件， 這樣就實現了真正的修復如新。 王明智等[7]應用馬爾科夫鏈蒙特卡洛仿真方法， 分析了在少樣本情況下， 數控機床的非完全維修可靠性評估問題。 針對任務期內有限維修能力下的單級保障效能評估問題， 李華等[8]在維修時間短、 備件充足的假設條件下， 提出了多層級不完全修復件的可用度近似評估算法。 Liu和Cai等[9-10]應用動態貝葉斯網絡研究了深海封井器在非完全維修情況下的共因失效、 系統和元件的狀態轉移等相關問題。 非完全維修適用于故障后維修元件， 如處于人難以介入環境中的元件， 只有當這類元件失效之后才能采取維修措施。 非完全維修的維修效果與工程實際比較吻合， 經歷維修， 故障失效元件有可能直接恢復到正常運行狀態， 也有可能恢復到某一中間狀態。

對于時刻處于狀態監測條件下的元件、 系統，如機載捷聯慣導系統、 火控系統等， 適合采取更有效的維修措施， 即視情維修[11-12]（Conditional Based Maintenance，CBM）。 視情維修根據元件的故障機理影響分析， 參照傳感器狀態實時監測結果， 對出現了退化現象的元件采取包括換件維修在內的維修措施， 從而避免了元件發生“功能故障”， 避免

系統發生嚴重故障， 有效降低元件和系統的故障發生率。

1 無維修條件下多狀態元件可靠性建模

1.1 多狀態元件定義

多狀態元件包括正常運行狀態、 中間退化狀態和故障失效狀態。 根據不同的狀態劃分標準， 中間退化狀態可以分為一級退化狀態、 二級退化狀態等多個狀態。 假設某元件具有k個狀態， 可表示為g={g1， g2， …， gk}， 對于任意狀態等級i， 有gi+1≥gi。 假設元件當前的狀態函數為G（t）， 有G（t）∈g， 性能水平函數為W（t）， W（t）∈w={w1， w2， …， wm}， 對于滿足使用要求的元件， 滿足條件：G（t）≥W（t）。

1.2 無維修條件下的狀態轉移模型

定義一個離散狀態連續時間隨機過程{X（t）|t≥0}， X（t）∈{1， 2， …，K}， 時間參數t連續取值， t∈[0， ∞）。 對于t0<t1<t2<…<tn-1<tn<t， 條件概率分布函數滿足[13]：

Pr{X（tn）=xn|X（tn-1）=xn-1， …， X（t1）=x1，X（t0）=x0}=Pr{X（tn）=

xn|X（tn-1）=xn-1}（1）

則隨機過程{X（t）|t≥0}稱為Markov過程。

多狀態元件發生漸變劣化和突變劣化的狀態轉移過程， 以λ表示失效率，如圖1所示。在初始時刻， 元件處于完好無損狀態k， 隨著時間推移可能發生從狀態k到k-1的漸變劣化過程， 或者發生從狀態k到狀態i（i<k-1）的突變劣化過程。

根據元件的狀態轉移關系， 可以建立如下的微分方程組：

dpk（t）dt=-pk（t）∑k-1e=1λk， e

dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e，

i=2， 3， …， k-1

dp1（t）dt=∑ke=2λe， 1pe（t） （2）

式中：

λi， j為元件從狀態i轉移到狀態j的劣化密度函數;

pi（t）為元件處于狀態i的概率函數。

微分方程的初始條件滿足：

pk（0）=1， pk-1（0）=pk-2（0）=…=p1（0）=0（3）

2 考慮維修因素的多狀態元件可靠性建模

當元件為多狀態可修元件時， 除了發生漸變劣化和突變劣化的狀態轉移過程外， 還包括相應的最小維修和較大維修， 以μ表示維修率， 如圖2所示。 最小維修， 使元件從狀態i轉移到狀態i+1; 較大維修， 使元件從狀態i轉移到狀態k（k>i+1）。 在任意時刻t， 元件處于狀態i， 下一時刻元件可能發生到狀態j（j≠i）的轉移， 或者繼續停留在狀態i。

當元件發生故障失效時， 即處于狀態1， 完全維修可以使元件通過維修從狀態1回到完好狀態k， 不完好維修可以使元件通過維修從狀態1回到任一上級狀態i（1

以圖2為例， 完全維修使得元件從狀態1回到狀態k， 非完全維修使得元件從狀態1回到狀態任一上級。 視情維修通過對出現性能退化的元件進行維修， 可以使元件從退化狀態j恢復到較好的任一狀態i（j<i≤k）。 根據元件的狀態轉移關系， 分別建立元件在完全維修、 非完全維修和視情維修下的微分方程組：

dpk（t）dt=μ1，kp1（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e

dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e，

i=2， 3， …，k-1

dp1（t）dt=-μ1，kp1（t）+∑ke=2λe， 1pe（t） （4）

dpk（t）dt=μ1，kp1（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e

dpi（t）dt=μ1， ip1（t）+∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e

dp1（t）dt=-p1（t）∑ke=2μ1， e+∑ke=2λe， 1pe（t） （5）

dpk（t）dt=∑k-1e=1μe，kpe（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e

dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）+∑i-1e=1μe， ipe（t）-

pi（t）（∑i-1e=1λi， e+∑ke=i+1μi， e）

dp1（t）dt=∑ke=2λe， 1pe（t）-p1（t）∑ke=2μ1， e ?（6）

式中：

μj， i為元件從狀態j轉移到狀態i的維修密度函數。

微分方程的初始條件同式（3）。

以狀態4元件為例， 根據狀態間轉移關系建立完全維修、 非完全維修和視情維修條件下的狀態轉移關系矩陣， 如表1～3所示。

3 案例分析

某系統由元件A和元件B并聯構成， 元件A為狀態3元件， 失效率和維修率分別為λA=5-1y， μA=85-1y;元件B為狀態4元件， 失效率和維修率分別為λB=4.5-1y， μB=80-1y。 統計歷次故障數據與維修信息， 可對模型作如下假設：

對于狀態3元件A有：

對于元件A， 考慮元件的劣化與維修過程， 構建如圖3所示的狀態轉移關系模型。

參照表1～3可建立狀態轉移微分方程， 其中視情維修條件下的微分方程為

dp3（t）dt=-（λ3， 2+λ3， 1）p3（t）+μ1， 3p1（t）+μ2， 3p2（t）

dp2（t）dt=-（λ2， 1+μ2， 3）p2（t）+λ3， 2p3（t）+μ1， 2p1（t）

dp1（t）dt=-（μ1， 2+μ1， 3）p1（t）+λ3， 1p3（t）+λ2， 1p2（t） （7）

經Laplace Stieltjes變換與反變換， 確定元件A在3種維修方式下以gA1<w≤gA2為性能水平的可靠度曲線， 如圖4所示。

顯然， 在采取維修措施之后， 元件A能夠保持很高的可靠度水平， 完全維修條件下的可靠度指標明顯高于非完全條件下的可靠度指標。 由于視情維修充分考慮了元件的性能退化過程， 對出現的“潛在故障”進行及時維修， 使得元件保持更高的水平。

對于元件B， 構建如圖5所示的狀態轉移關系模型， 建立在視情維修條件下的狀態轉移微分方程， 如式（8）所示。 經Laplace Stieltjes變換與反變換， 確定元件在視情維修條件下不同性能水平下的可靠度曲線， 如圖6所示。 作為對比， 以gB1<w≤gB2為性能水平， 確定元件B在3種維修方式下的可靠度曲線， 如圖7所示， 可以得出與元件A類似的結論。

分系統的可靠度可以通過建立元件A和元件B并聯后狀態組合的微分方程組確定， 為了解算方面， 可以利用通用生成函數求解， 具體方法參見文獻[14-15]， 此處不作闡述。

4 結論

由于現有研究多從完全維修和非完全維修角度出發， 進行多狀態元件/系統的可靠性分析， 本文在分析元件狀態轉移關系的基礎上建立了基于Markov過程的視情維修模型：

（1） 基于Markov過程的多狀態元件視情維修模型充分考慮了元件的漸變劣化、 突變劣化等失效過程， 以及可能發生在任一退化狀態的維修過程， 這正好反映了視情維修的核心思想， 即對出現“潛在故障”的元件進行及時維修;

（2） 視情維修條件下， 元件的可靠度相對于完全維修和非完全維修條件下更高， 這也正是傳統維修方式逐漸向視情維修轉變的原因。 對關鍵元件視情維修模型的構建有利于提高元件的可用度， 避免不必要的故障停機， 從而保證系統處于可用狀態。 當然， 如何合理協調多個多狀態元件之間的維修時機、 減少不必要的停機時間和節約維修成本是下一步的研究重點。

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Reliability Modeling for Repairable Multi StateElements

Based on Markov Process

Li Zhiqiang1，Xu Tingxue1，Gao Song2，Deng Chunrao3，Zhao Jianzhong1

（1. Navy Aeronautical University， Yantai 264001， China;2. Air Force Logistic Academy， Xuzhou 221000， China;

3.91206 of PLA， Qingdao 266108， China）

Abstract： On the basis ofperfect repair and imperfect repair of existing multi state repairable elements， the reliability analysis model of multi state repairable elements is established by using theMarkov process.

Based on the definition of multi state elements， the state transition relationship of multi state elements under without repair conditions is analyzed， and the state transition differential equation and relation matrix are developed under the condition of perfect repair， imperfect repair and conditional based maintenance. The example of state 3 elements and state 4 elements of a repairable system is given. The simulation results show that compared with to perfect repair and imperfect repair，conditional based maintenance can maintain higher reliability and availability of multi state elements.