單樁荷載—沉降關(guān)系的解析算法

馬晨光 崔廣芹

(1.內(nèi)蒙古寅崗建設(shè)集團(tuán)有限公司，內(nèi)蒙古 包頭 014010； 2.內(nèi)蒙古科技大學(xué)土木工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

1 概述

單樁剛度不僅受樁體自身材料、幾何尺寸等的影響，而且與樁側(cè)土、樁端土的力學(xué)特性密切相關(guān)。本文首先在考慮樁土界面應(yīng)力—應(yīng)變非線(xiàn)性及樁土滑移的基礎(chǔ)上建立了樁土荷載傳遞模型，然后基于樁身整體平衡關(guān)系和邊界條件、采用荷載傳遞法分析并推導(dǎo)了不同樁頂荷載下樁身的荷載—沉降和單樁剛度表達(dá)式。

2 樁土荷載傳遞模型的建立

2.1 單樁沉降計(jì)算理論

本文將基于荷載傳遞法進(jìn)行單樁沉降計(jì)算及推導(dǎo)樁身荷載—沉降關(guān)系。此方法概念明確，只要選用合理的傳遞函數(shù)模型，就可以考慮樁周土的非線(xiàn)性及樁土滑移特性，并易得到樁身荷載—沉降關(guān)系的解析解。

文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)了樁土荷載傳遞的基本微分方程及Q(z),τ(z),S(z)之間的關(guān)系：

(1)

(2)

(3)

其中，S(z)為z深度處樁身總位移(包括樁身壓縮變形和樁端土層的壓縮導(dǎo)致的樁身位移)；U，A，E分別為樁身周長(zhǎng)、截面面積和樁體材料的彈性模量；τ(z)，Q(z)分別為z深度處樁側(cè)摩阻力及樁身軸力的大小。

求解式(1)的關(guān)鍵是確定合理的樁土荷載傳遞函數(shù)模型(樁側(cè)土的τ—s關(guān)系模型)。

2.2 荷載傳遞模型的建立

Seed和Reese(1957)利用現(xiàn)場(chǎng)十字板剪切試驗(yàn)測(cè)得土體抗剪強(qiáng)度和扭轉(zhuǎn)位移之間近似呈雙曲線(xiàn)關(guān)系，并以此作為樁土荷載傳遞函數(shù)；Coyle和Reese(1966)經(jīng)室內(nèi)模型樁三軸試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)樁側(cè)土表現(xiàn)出一定的軟化特性。文獻(xiàn)[1]中提出了一些傳遞函數(shù)模型和微分方程的求解方法，以Kraft(1981)的雙曲線(xiàn)模型最為常用，后期又出現(xiàn)折線(xiàn)簡(jiǎn)化模型，如陳龍珠的雙折線(xiàn)彈塑性硬化模型，房衛(wèi)民的三折線(xiàn)模型等等。研究表明，樁端土壓應(yīng)力—應(yīng)變也呈現(xiàn)非線(xiàn)性特性，且樁端土一般所處土層較好，多呈現(xiàn)應(yīng)變硬化特性。

上述模型中，折線(xiàn)模型可以模擬樁側(cè)土的非線(xiàn)性特性，且比雙曲線(xiàn)模型的計(jì)算量小，可以考慮樁土滑移現(xiàn)象，容易推求各階段的解析解，又可以通過(guò)變換直線(xiàn)段的斜率來(lái)模擬樁側(cè)土的剪切應(yīng)變軟化特性，這些是雙曲線(xiàn)模型所不能實(shí)現(xiàn)的。

本文采用三折線(xiàn)模型(如圖1所示)模擬樁側(cè)土荷載傳遞性狀，采用雙折線(xiàn)硬化模型(如圖2所示)模擬樁端荷載及位移(Qb—Sb)的關(guān)系。

樁側(cè)土傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(4)

其中，Su1,Su2均為界限位移；τu1為Su1對(duì)應(yīng)的樁側(cè)摩阻力；τu為極限側(cè)阻；λ1,λ2均為抗剪剛度系數(shù)，kPa/mm，λ2>0時(shí)，表示非線(xiàn)性彈塑性模型，λ2=0時(shí)，表示理想彈塑性模型，λ2<0時(shí)，表示軟化模型。

樁端土傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(5)

其中，Sbu為界限位移；k1,k2分別為樁端土處于界限位移Sbu前、后的抗壓剛度系數(shù)，kN/mm。

本文在計(jì)算過(guò)程中作如下假定：

1)樁身變形為線(xiàn)彈性的；

2)樁側(cè)土為均質(zhì)，沿樁身不變，對(duì)于分層土可取加權(quán)平均值，τ—s曲線(xiàn)斜率沿樁長(zhǎng)不變；

3)不考慮負(fù)摩阻力、樁端沉渣的影響，不考慮側(cè)阻對(duì)樁端沉降的影響。

3 單樁荷載—沉降關(guān)系解析解

3.1 樁端無(wú)位移—樁側(cè)土部分處于彈性狀態(tài)[2]

(6)

根據(jù)式(2),式(3),式(6)及式(4)第一式化簡(jiǎn)得:

則，此狀態(tài)下樁身剛度為一常數(shù)。

(7)

樁頂荷載—沉降關(guān)系為:

(8)

可見(jiàn)，此階段單樁剛度為常數(shù)，只與樁身物理參數(shù)及樁側(cè)土模型參數(shù)λ1有關(guān)。

3.2 樁端有位移—樁側(cè)土全部處于彈性狀態(tài)

側(cè)阻τ(z)=λ1S(z)，由式(1),式(4)第一式及邊界條件：

化簡(jiǎn)得z=0處，樁頂沉降和樁頂荷載表達(dá)式為:

(9)

1)由式(9)，式(5)第一式得樁端土為彈性狀態(tài)時(shí)的單樁剛度表達(dá)式和樁頂荷載—沉降關(guān)系表達(dá)式分別為：

(10)

Q0=Kee·S0

(11)

2)由式(9)，式(5)第二式得樁端土處于硬化狀態(tài)時(shí)對(duì)應(yīng)表達(dá)式分別為:

(12)

Q0=Kep·S0

(13)

由式(9)可得，樁端位移Sb=Sbu時(shí)，對(duì)應(yīng)的樁頂沉降S0cr為：

當(dāng)S0≤S0cr時(shí)，按式(10)計(jì)算單樁剛度；當(dāng)S0cr

可見(jiàn)，此階段單樁剛度Kee,Kep皆為常數(shù)，與樁身物理參數(shù)及模型參數(shù)λ1,k1或k2有關(guān)。

3.3 樁側(cè)土部分處于彈塑性狀態(tài)

樁身上部(AC段)土體進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，長(zhǎng)度記為L(zhǎng)2；下部(CD段)土體仍處于彈性階段，長(zhǎng)度記為L(zhǎng)1。C截面處滿(mǎn)足位移、應(yīng)力協(xié)調(diào)條件，截面位移SC、軸力QC按照彈性階段計(jì)算。通過(guò)式(1),式(4)第二式及C截面邊界條件[3]:

1)當(dāng)樁端土處于彈性狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)表達(dá)式分別為：

(14)

Q0=KpeS0+Rλγ22Su1-KpeRλ(χ22-1)Su1

(15)

2)當(dāng)樁端土處于硬化狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)表達(dá)式分別為:

(16)

(17)

可見(jiàn)，此階段單樁剛度隨彈塑性段長(zhǎng)度L2的變化而不同，當(dāng)L2=0時(shí)，式(14)，式(16)分別與式(10)，式(12)一致。

3.4 樁側(cè)土部分處于塑性滑移狀態(tài)

樁身AB段土體進(jìn)入塑性滑移狀態(tài)，側(cè)阻均勻分布，大小為τu。AB,BC,CD段長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)3,L2,L1(滿(mǎn)足：L1+L2+L3=L)。B截面處滿(mǎn)足位移、應(yīng)力協(xié)調(diào)條件，截面位移SB、軸力QB按照第三階段下樁頂沉降、荷載的計(jì)算方法求解。由式(1),式(4)第三式及B截面邊界條件可得：

1)樁端土處于彈性狀態(tài)時(shí)，單樁剛度及樁頂荷載—沉降關(guān)系解析表達(dá)式為：

(18)

(19)

2)樁端土處于硬化狀態(tài)時(shí)，可得:

(20)

(21)

可見(jiàn)，此階段的單樁剛度隨L1,L2,L3的變化而不同，當(dāng)L3=0時(shí)，式(18)，式(20)分別與式(14)，式(16)一致。

3.5 樁側(cè)土全部處于塑性滑移狀態(tài)

此時(shí)樁端土位移已較大，已進(jìn)入應(yīng)變硬化狀態(tài)，將L3=L，L2=0，L1=0分別代入式(20),式(21)即可得到此時(shí)單樁剛度和樁頂荷載—沉降關(guān)系的解析表達(dá)式:

(22)

(23)

此階段單樁剛度為常數(shù)，與樁身物理參數(shù)及樁端土模型參數(shù)k2有關(guān)。

式(7)，式(8)，式(10)～式(23)即為不同樁頂荷載水平下單樁剛度及樁頂荷載—沉降關(guān)系的解析表達(dá)式，且不同階段的單樁剛度與不同的模型參數(shù)有關(guān)，式中各參數(shù)具有一定規(guī)律，易于編程。

現(xiàn)場(chǎng)單樁靜載荷試驗(yàn)得到的Q—S曲線(xiàn)反映了不同荷載下樁頂荷載—沉降關(guān)系的變化特征，若將本文所求單樁剛度及樁頂荷載—沉降關(guān)系解析表達(dá)式同現(xiàn)場(chǎng)單樁Q—S曲線(xiàn)結(jié)果相結(jié)合，建立二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再配合靜力觸探等其他現(xiàn)場(chǎng)原位試驗(yàn)，即可由實(shí)測(cè)曲線(xiàn)結(jié)果反算出相應(yīng)的傳遞模型參數(shù)，為進(jìn)一步的樁基計(jì)算奠定基礎(chǔ)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以荷載傳遞法作為單樁沉降計(jì)算的基本理論，對(duì)樁側(cè)土和樁端土分別采用三折線(xiàn)模型和雙折線(xiàn)硬化模型，同時(shí)考慮了側(cè)阻與樁身位移、端阻與樁端位移的非線(xiàn)性關(guān)系、樁土滑移及樁側(cè)土應(yīng)變軟化特性。

按照樁頂荷載增加過(guò)程中樁土荷載的傳遞特性，將樁周土所處狀態(tài)劃分為五個(gè)發(fā)展階段。然后，基于樁身整體平衡關(guān)系和邊界條件，分析并推導(dǎo)了不同荷載工況所對(duì)應(yīng)的單樁剛度及樁頂荷載—沉降關(guān)系的解析表達(dá)式。

解析式可以反映單樁剛度與各傳遞模型參數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)將其與現(xiàn)場(chǎng)單樁靜載荷試驗(yàn)的Q—S曲線(xiàn)資料相結(jié)合，并配合其他相關(guān)原位試驗(yàn)即可反算出相應(yīng)的模型參數(shù)，為進(jìn)一步的樁基計(jì)算奠定基礎(chǔ)。

[1] 《樁基工程手冊(cè)》編寫(xiě)委員會(huì).樁基工程手冊(cè)[M].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社,1995.

[2] 曹漢志.樁的軸向荷載傳遞及荷載—沉降的數(shù)值計(jì)算方法[J].巖土工程學(xué)報(bào),1986,8(6):37-49.

[3] 劉 杰,張可能,肖宏彬.考慮樁側(cè)土軟化時(shí)單樁荷載—沉降關(guān)系的解析算法[J].中國(guó)公路學(xué)報(bào),2003,16(2):61-64.