結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法基本思路和基本未知量的確定

黃 志 剛

(湖南文理學(xué)院土木建筑工程學(xué)院,湖南 常德 415000)

0 引言

《結(jié)構(gòu)力學(xué)》課程是土建、水利、力學(xué)等專業(yè)的一門重要的學(xué)科基礎(chǔ)課[1]，具有理論性強(qiáng)和靈活性大的特點(diǎn)，搞好它的教與學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生分析和計(jì)算能力的關(guān)鍵，它對新的人才培養(yǎng)模式的實(shí)現(xiàn)起著十分重要的作用。而超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形分析是其中很重要的一項(xiàng)內(nèi)容。

力法和位移法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法[2]。力法是在19世紀(jì)末就已經(jīng)應(yīng)用于各種超靜定結(jié)構(gòu)的分析。隨后，由于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，大量高次超靜定剛架逐漸增多，如果仍用力法計(jì)算將十分麻煩。于是20世紀(jì)初又在力法的基礎(chǔ)上建立了位移法。

力法的基本思路是先解除超靜定結(jié)構(gòu)上的多余約束，代之以多余未知力，以多余未知力為基本未知量，一般取靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。利用位移協(xié)調(diào)條件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后進(jìn)一步求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。位移法的基本思路與力法相反。位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，以一組單跨超靜定梁為計(jì)算的基本單元。先設(shè)法確定出單根桿件的桿端內(nèi)力，用桿端位移來表示，這些桿端位移應(yīng)與其所在結(jié)點(diǎn)的其他桿端位移相協(xié)調(diào)。然后用力的平衡條件建立位移法基本方程，確定出未知的結(jié)點(diǎn)位移，從而進(jìn)一步求出整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

由于位移法思路的獨(dú)特性，在地方性應(yīng)用型本科院校的《結(jié)構(gòu)力學(xué)》課程教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)這塊內(nèi)容時(shí)，往往感到非常迷惑，倍感費(fèi)勁。加之，當(dāng)前《結(jié)構(gòu)力學(xué)》教材中所給出的確定位移法基本未知量的方法，在文字?jǐn)⑹錾喜粔驀?yán)謹(jǐn)，定義不夠明確，容易讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生混淆和導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論[3]。因此，對位移法的基本思路和基本未知量的確定進(jìn)行探析和歸納很有現(xiàn)實(shí)意義。

1 位移法的基本思路

位移法是求解超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本方法，與力法相比，位移法的解題過程比較規(guī)范，便于編制計(jì)算機(jī)程序，但基本思路相對難理解一些，以下以圖1a)所示的剛架為例說明位移法的基本思路。

在荷載作用下，剛架產(chǎn)生的變形如圖1a)中虛線所示，設(shè)結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角為Δ1，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件可知，匯交于結(jié)點(diǎn)B的BA桿和BC桿兩桿端也應(yīng)有同樣的轉(zhuǎn)角Δ1。為了簡化計(jì)算，在受彎桿件中，忽略桿件的軸線變形和剪切變形的影響，假設(shè)彎曲變形很小，因此可以假定結(jié)構(gòu)變形后受彎桿件的兩端之間的距離不變。根據(jù)這些假定，B結(jié)點(diǎn)就只有角位移而沒有線位移。如果能知道B點(diǎn)的角位移Δ1，就可以求出剛架的內(nèi)力。

下面來設(shè)法求出B點(diǎn)的角位移Δ1。假設(shè)在B點(diǎn)處加上一個(gè)附加剛臂，這個(gè)附加剛臂約束了B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。原結(jié)構(gòu)就變成了兩個(gè)相互獨(dú)立的單跨超靜定梁，把它稱為位移法的基本結(jié)構(gòu)，如圖1b)所示。第一步在基本結(jié)構(gòu)上加荷載FP，只有梁BC發(fā)生變形，B點(diǎn)沒有角位移，在附加剛臂中產(chǎn)生了一個(gè)約束反力矩F1P。第二步使基本結(jié)構(gòu)的B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)Δ1，同時(shí)附加剛臂處會(huì)產(chǎn)生一個(gè)反力矩F11。

將第一步和第二步的結(jié)果疊加，得到的基本結(jié)構(gòu)的變形與原結(jié)構(gòu)一致。注意到原結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)并沒有附加剛臂，也不存在約束反力矩，所以：

F11+F1P=0

(1)

這里的F11是基本結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)角Δ1時(shí)，產(chǎn)生在附加剛臂的反力矩。用k11表示基本結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)處發(fā)生單位轉(zhuǎn)角Δ1=1時(shí)，產(chǎn)生在附加剛臂中的反力矩，則式(1)可以寫成：

k11Δ1+F1P=0

(2)

式(2)稱為位移法基本方程。k11，F(xiàn)1P可以用力法(后續(xù)可以通過形常數(shù)和載常數(shù))確定，進(jìn)而求出原結(jié)構(gòu)的全部內(nèi)力。

由以上分析可知，用位移法求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力的要點(diǎn)是：

1)位移法的基本未知量是結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移，如圖1a)中的B點(diǎn)的角位移。

2)位移法以單根桿件作為計(jì)算基礎(chǔ)。通過附加約束，把復(fù)雜結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算拆分為三類基本桿件的內(nèi)力狀況的疊加。三類基本桿件都是等截面桿件，如圖2所示。

3)基本結(jié)構(gòu)的選取：通過在桿端附件約束，限制結(jié)點(diǎn)位移(被約束住的位移即為基本未知量)，把結(jié)構(gòu)所有桿件轉(zhuǎn)化為三類基本桿件。此時(shí)附加了約束的超靜定結(jié)構(gòu)即為基本結(jié)構(gòu)。

4)位移法的基本方程是平衡方程，如式(2)是B點(diǎn)的力矩平衡方程。位移法基本方程的物理意義是基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)獨(dú)立位移和各種因素(荷載、支座位移、溫度變化等)的共同作用下，附加約束上的反力等于零。用數(shù)學(xué)式子表達(dá)的一般形式為：

(3)

其中，kij為基本結(jié)構(gòu)在單位位移Δj=1單獨(dú)作用時(shí)，在第i個(gè)附加約束上產(chǎn)生的反力；FiP稱為自由項(xiàng)，它表示荷載單獨(dú)作用時(shí)，在第i個(gè)附加約束上產(chǎn)生的反力，故又稱為荷載項(xiàng)；FiP,Fic,Fit分別為基本結(jié)構(gòu)在荷載、支座移動(dòng)和溫度變化等因素作用時(shí)，在第i個(gè)附加約束上產(chǎn)生的反力。所有系數(shù)和自由項(xiàng)均取與所設(shè)基本未知量Δj的方向一致為正，反之則為負(fù)。

5)內(nèi)力計(jì)算：將基本未知量求出后，最后的彎矩圖等于基本結(jié)構(gòu)分別在荷載等其他因素和基本未知量單獨(dú)作用下的彎矩圖相疊加，即:

(4)

與力法不同，位移法的基本結(jié)構(gòu)是超靜定結(jié)構(gòu)，荷載、支座位移、溫度變化等因素都有可能引起內(nèi)力。

2 位移法的基本未知量

位移法是以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，基本未知量的數(shù)目等于獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目加上獨(dú)立線位移數(shù)目。

獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目的確定比較簡單：為使結(jié)點(diǎn)不發(fā)生角位移，需要在結(jié)點(diǎn)上施加附加剛臂，則附加的剛臂數(shù)目就是獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移的數(shù)目，它等于全部剛結(jié)點(diǎn)和半鉸結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)數(shù)目。但需要注意的是：鉸結(jié)點(diǎn)的角位移不取為基本未知量；剛度無窮大的梁端若不發(fā)生轉(zhuǎn)角，則與剛度無窮大的桿相連的剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角也不取為基本未知量。例如圖5a)所示，A為剛結(jié)點(diǎn)，B為半鉸結(jié)點(diǎn)，故有兩個(gè)獨(dú)立角位移；而圖5b)中B為剛結(jié)點(diǎn)，A為鉸結(jié)點(diǎn)，故只取B點(diǎn)轉(zhuǎn)角為獨(dú)立角位移；而圖5c)中AB桿剛度無窮大，此時(shí)φA=φB=0，基本未知量只有一個(gè)線位移Δ。

獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目的確定較復(fù)雜，基本可以根據(jù)以下原則而確定：

1)附加鏈桿法(最穩(wěn)妥的方法)。在結(jié)點(diǎn)施加附加鏈桿，使其不發(fā)生線位移，則附加鏈桿數(shù)目即為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目。應(yīng)用此法時(shí)需注意，剪力靜定桿(即自由端、滑動(dòng)支承端或滾軸支承端的與桿軸垂直方向)的線位移不取作基本未知量。

2)鉸化法(應(yīng)慎重使用)。將剛架中剛結(jié)點(diǎn)(包括固定端)全部改為鉸結(jié)點(diǎn)，成為鉸接體系，其自由度數(shù)目即為獨(dú)立線位移數(shù)目。

利用這種方法時(shí)應(yīng)注意，它只適合于桿件的邊界端是固定端、鉸支端和垂直桿軸的滾軸支承端。若邊界是自由端、滑動(dòng)支承端和沿桿軸方向的滾軸支承端，利用此方法會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。如圖6a)，圖6b)表示兩種不同的剛架，鉸化后均為圖7所示的鉸接體系，其自由度為2，而原剛架獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)為1。這是因?yàn)镈結(jié)點(diǎn)的線位移為垂直于桿軸方向，屬于不獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移，不應(yīng)取作基本未知量。

確定位移法的基本未知量數(shù)目時(shí)還應(yīng)注意：角位移和線位移均不包括靜定部分。

3 結(jié)語

位移法既是《結(jié)構(gòu)力學(xué)》課程教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，又是一個(gè)難點(diǎn)。但由于位移法解題思路的獨(dú)特性，較力法而言，相對難理解一些，讓很多學(xué)生摸不著頭腦。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)證明，若能很好地掌握以上歸納總結(jié)，并進(jìn)行系統(tǒng)化練習(xí)，那學(xué)生領(lǐng)會(huì)位移法，并將其運(yùn)用到工程實(shí)際將不再是很困難的事。

[1] 李國華,羅 健,董 軍,等.結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)方法研究[J].高等建筑教育,2012,21(1):81-83.

[2] 龍馭球,包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅰ——基本教程[M].第2版.北京:高等教育出版社,2006.

[3] 唐雪松.一種新的判別位移法基本未知量的方法[J].力學(xué)與實(shí)踐,1999(2):71-72.