全面剖析初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)

叢小明

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要模塊，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系始終. 數(shù)學(xué)思想能夠反映人分析和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的意識(shí)和思維邏輯，其是從大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息中總結(jié)出的系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)和解決問題的策略、關(guān)鍵. 中小學(xué)數(shù)學(xué)教育重點(diǎn)要求學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)思想以及分類討論思想等. 本文針對(duì)分類討論思想進(jìn)行論述.

[關(guān)鍵詞] 分類討論；價(jià)值；誤區(qū)；應(yīng)用

分類討論思想始于《九章算術(shù)》中對(duì)“盈虧問題”的探討，該思想常常被運(yùn)用于解決開放型數(shù)學(xué)問題，即解決思路不唯一的問題時(shí)，學(xué)生需根據(jù)問題所給的具體條件對(duì)問題中可能出現(xiàn)的所有情況逐一分析，再根據(jù)所學(xué)知識(shí)和邏輯思維判斷，將問題條件劃分為多個(gè)更加單一的細(xì)化條件，將大問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)小問題后逐一解決，最后進(jìn)行綜合分析，得出一個(gè)或多個(gè)答案. 但在實(shí)際教學(xué)中，很多教師對(duì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重視程度不夠，原因在于其不了解數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生思維及分析能力發(fā)展的重要性，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂出現(xiàn)諸多數(shù)學(xué)思想教學(xué)誤區(qū). 下面，筆者將以數(shù)學(xué)思想中的分類討論思想為例，從其教學(xué)價(jià)值、教學(xué)誤區(qū)以及教學(xué)應(yīng)用三方面來談一談初中數(shù)學(xué)思想的高效教學(xué)策略.

分類討論思想的教學(xué)價(jià)值

1. 形成分類思考意識(shí)，掌握信息分類方法

隨著信息時(shí)代的快速發(fā)展，人們每天主動(dòng)或被動(dòng)接受的信息量與日俱增，想要不被雜亂的信息所困擾，就需自身具備對(duì)信息進(jìn)行分類處理的能力. 分類討論雖為數(shù)學(xué)思想，但在運(yùn)用該思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，也能有效鍛煉學(xué)生分類處理信息的能力，養(yǎng)成對(duì)各種信息進(jìn)行分類的良好習(xí)慣，這樣便能輕松應(yīng)對(duì)日常學(xué)習(xí)和生活中對(duì)繁雜信息的處理問題，提高學(xué)習(xí)和工作效率. 教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先為學(xué)生介紹高效的分類技巧，即根據(jù)實(shí)際情況或已知條件自主制定分類標(biāo)準(zhǔn)，并針對(duì)各類信息做對(duì)應(yīng)的分析和總結(jié).

2. 培養(yǎng)思維發(fā)散意識(shí)，鍛煉一題多解能力

思維定式是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不利影響. 傳統(tǒng)的以教師講解為主的數(shù)學(xué)課堂，嚴(yán)重制約了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的自主思考方向，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)同類題型產(chǎn)生定向思維，以單一的角度看問題，從而在面對(duì)新題型或變式問題時(shí)不知變通，無從下手. 教師應(yīng)當(dāng)摒棄傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教師主講而學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的課堂模式，設(shè)計(jì)更多開放型問題供學(xué)生自主思考、合作學(xué)習(xí)，促使學(xué)生解決問題的角度更加具體、全面，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維意識(shí)和一題多解意識(shí)，從而更加全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乜紤]問題.

3. 科學(xué)建構(gòu)知識(shí)體系，形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)

初中是學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)從打牢基礎(chǔ)到能力提升過渡的關(guān)鍵階段. 系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生具備對(duì)不同知識(shí)進(jìn)行分類、概括、總結(jié)的能力，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的自主消化，提升自主學(xué)習(xí)能力和思考能力. 分類討論思想的滲透有助于學(xué)生養(yǎng)成對(duì)不同信息進(jìn)行分類的良好習(xí)慣，在個(gè)人數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)中，能夠?qū)?fù)雜、繁多的知識(shí)點(diǎn)歸類理解，從而大大提高學(xué)習(xí)新知和理解記憶的效率. 教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解各模塊知識(shí)之間的聯(lián)系，從而促使學(xué)生從知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系這一方面來進(jìn)行知識(shí)的分類匯總，形成一張更加趨于完整和實(shí)用的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生搜索知識(shí)點(diǎn)及綜合運(yùn)用.

分類討論思想的教學(xué)誤區(qū)

1. 理念陳舊，缺少創(chuàng)新

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教學(xué)應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生的個(gè)性發(fā)展要求. 隨著中小學(xué)教育的不斷發(fā)展，學(xué)生的個(gè)性發(fā)展要求也在不斷地提升，傳統(tǒng)模式的“教與學(xué)”課堂已經(jīng)不符合對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng). 但在實(shí)際教學(xué)中，部分教師仍然秉持陳舊的教學(xué)理念，忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，往往為了解題而解題，無法看到數(shù)學(xué)問題背后對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的引導(dǎo)，這樣的陳舊觀念無法促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行更加深入的思考. 教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)新教學(xué)模式，如可以將分類討論思想作為教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)，設(shè)計(jì)更多開放式的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，有效培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思維.

2. 被動(dòng)學(xué)習(xí)，效率低下

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式除了教學(xué)理念陳舊，影響學(xué)生的個(gè)性發(fā)展而外，被動(dòng)學(xué)習(xí)也使得學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣和熱情消磨殆盡. 學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)時(shí)，無法主動(dòng)探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)思維得不到有效運(yùn)用，這樣即使學(xué)生了解分類討論等數(shù)學(xué)思想，也同樣無法將其準(zhǔn)確運(yùn)用于數(shù)學(xué)問題的解決中，無法自主建立起知識(shí)之間的相互聯(lián)系，從而無法實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和解決問題能力的有效提升.

3. 應(yīng)試教育，能力不足

應(yīng)試教育是當(dāng)下中小學(xué)數(shù)學(xué)教育普遍存在的一個(gè)教學(xué)誤區(qū)，面對(duì)升學(xué)壓力和緊湊的課堂時(shí)間，教師往往會(huì)選擇“題海戰(zhàn)術(shù)”，要求學(xué)生通過練習(xí)大量的數(shù)學(xué)題型來形成思維習(xí)慣. 表面上看，其同樣是以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為目的，但實(shí)際上卻是一味地通過練題來強(qiáng)迫學(xué)生在數(shù)學(xué)思維上達(dá)到熟能生巧的一種十分刻板的教學(xué)模式，并且頻繁使用分?jǐn)?shù)來衡量學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，這一做法不利于學(xué)生真正掌握和學(xué)會(huì)運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，甚至還會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性造成反作用，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

分類討論思想的教學(xué)應(yīng)用

分類討論思想可運(yùn)用于解決不同知識(shí)模塊的數(shù)學(xué)問題，筆者選擇了以下四個(gè)方面的分類討論思想教學(xué)應(yīng)用實(shí)例加以闡述.

1. 絕對(duì)值運(yùn)算

解決含有絕對(duì)值的問題時(shí)，有時(shí)需要應(yīng)用分類討論思想. 做題的過程中，我們要善于分析問題，要考慮到絕對(duì)值具有非負(fù)性.

例如，筆者在講解含絕對(duì)值符號(hào)的加減運(yùn)算時(shí)，給出了這樣一道簡(jiǎn)單的例題：要使x+1-x=1，變量x應(yīng)當(dāng)滿足什么條件？

這道例題出現(xiàn)了兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，因此筆者引導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)含絕對(duì)值符號(hào)的式子分開討論，于是有x+1<0，x+1≥0，x≤0和x>0四種情況，這四種情況經(jīng)過一定的整合，最終將數(shù)軸分為了三段，即x<-1，-1≤x≤0以及x>0這三種情況，最后得出只有當(dāng)x>0或x=0時(shí)，等式才成立，于是得出“當(dāng)x≥0時(shí)，等式成立”的結(jié)論.endprint

2. 與方程有關(guān)的問題

在解一元二次方程時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)題中某項(xiàng)系數(shù)未知的情況，而根據(jù)一元二次方程的定義和實(shí)根的判別方法，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用根的判別式來判斷未知參數(shù)在什么范圍下才能滿足方程是否有實(shí)數(shù)根的條件.

例如，教學(xué)“一元二次方程”時(shí)，筆者給出了這樣一道例題：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

在這道例題中，a是二次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)中的未知參數(shù)，根據(jù)一元二次方程根的判別式，要想使方程有實(shí)數(shù)根，則Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤. 本題還應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)注意的是，題中未指明該方程是一元二次方程，因此當(dāng)a=0時(shí)，該方程就變成一個(gè)一元一次方程，經(jīng)檢驗(yàn)，這樣的情況顯然是合理的，因此應(yīng)當(dāng)放入分類討論中（即分a=0和a≠0兩種情況進(jìn)行討論），實(shí)現(xiàn)該題的完整解答.

3. 函數(shù)問題

分類討論問題在函數(shù)中的應(yīng)用甚為頻繁，函數(shù)的種類也十分繁多，尤其是當(dāng)具體問題中并未指出函數(shù)類別時(shí)，更應(yīng)當(dāng)對(duì)函數(shù)的不同類別進(jìn)行分類討論.

例如，講解函數(shù)圖像的有關(guān)知識(shí)時(shí)，筆者給出了這樣一道例題：求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

與上一道例題相似，題中并未給出函數(shù)的具體類型，因此教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用發(fā)散思維，對(duì)可能的函數(shù)類型進(jìn)行分類討論. 例如，k=1和k≠1是一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別；當(dāng)k≠1時(shí)，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函數(shù)與x軸是否有交點(diǎn)的區(qū)別. 針對(duì)討論情況較多的問題，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生理清思路，防止思維混亂，促使問題解決得更加有條理.

4. 幾何問題

幾何圖形具有多變的特點(diǎn)，其使得分類討論思想在幾何問題中的運(yùn)用非常頻繁，需要學(xué)生根據(jù)圖形的形狀、位置以及關(guān)系等方面的條件來對(duì)問題進(jìn)行合理地分類討論.

例如，筆者在講授有關(guān)三角形各邊長(zhǎng)度的問題時(shí)，曾給出這樣一道例題：在△ABC中，AB=6，AC=2，BC邊上的高AD=3，求BC的長(zhǎng).

這道題并未給出具體的三角形圖形，因此學(xué)生可運(yùn)用空間想象能力將三角形分為點(diǎn)D在BC邊上和在BC邊的延長(zhǎng)線上兩種情況，然后分別求出這兩種情況下BC邊的長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷.

總之，每一種數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的思維能力都有不同角度的提升作用，分類討論思想則注重對(duì)學(xué)生思維邏輯嚴(yán)密性進(jìn)行鍛煉. 教師首先應(yīng)當(dāng)對(duì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)引起足夠的重視，在引導(dǎo)學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地滲透分類討論思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，結(jié)合學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度和認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)更多符合學(xué)生思維能力提升要求的開放題型，通過階梯型難度的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地提升分類討論思想的運(yùn)用能力，養(yǎng)成良好的發(fā)散思維習(xí)慣，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).endprint