培養運算能力 實現減負增效

劉長玉

摘要：學生在學習數學的過程中，需要花費較多的時間、精力去學習和掌握關于運算的知識和技能。然而，受信息化時代的影響，現階段學生的運算能力并不樂觀。為提升學生的數學運算能力，教師可以采用“熟悉法則，掌握基本技能;關注細節，理清解題思路;善于甄別，提高解題能力;靈活運算，提升綜合素養”的教學方法，和學生一起發現數學的內在美和趣味性，激發學生對數學的興趣。

關鍵詞：運算能力;減負增效;基礎知識;基本技能

2017年9月進行的蘇州市學業質量監測的調查結果顯示：有48.4%的初一學生、60.5%的初二學生、64.7%的初三學生參加了課外輔導班。這次質量監測的數據說明了大部分的學生課業負擔較重，學習效率較低，減負工作勢在必行。監測中還反映出數學學科的減負任務最重，其符號抽象、運算煩難、題海浩瀚、推理枯燥是讓學生產生畏難心理的主要原因。其中，現階段初中生的運算能力受信息化時代的影響較大，學生的動手能力不強，低下的運算能力影響了學生的數學學習體驗。

其實，數學學科本身具有語言簡潔、構造精巧、結構嚴謹、思維縝密的學科魅力。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“運算能力不僅僅是一種操作能力，更是一種思維能力。”[1]培養、發展學生的運算能力對提升學生的數學思維具有重要的意義。教師需要科學合理地組織課堂學習，讓學生在理解數學公式的基礎上合理練習，形成科學合理的運算能力。教師可以通過改變教學方法，拓寬學生的思維廣度與深度，和學生一起發現數學的內在美和趣味性，激發學生的數學學習興趣，培養他們活躍的數學思維和扎實的解題能力，讓更多的學生喜歡數學、研究數學。筆者結合初一年級蘇科版數學教材中“同底數冪的乘法”的教學片段，探討如何組織教學以提高學生的運算能力。

一、經歷過程，加深對法則的理解

教師要正確理解運算能力的含義，不能將其僅僅等同于運算技能，也不能將注意力僅僅集中在對運算法則的記憶、運算過程的技巧訓練上。可以設計如下：

師：an表示什么意義？其中a與n分別叫什么？請回顧一下冪的意義。

生：表示n個a相乘，其中a是底數，n是指數。

師：很好，這是冪的表示方法。根據冪的意義，解釋105表示什么？

生：105表示5個10相乘。這里需要注意底數相同，是相同因數相乘，乘法用乘方表示，可以體現數學的簡潔美。

師：試一試根據乘方的意義，解答下列各題。

102×104=（10×10）×（10×10×10×10）=10 （? ）

104×105=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 10 （? ）

師：如何理解10m×10n（m， n為正整數）？如何表示結果？把乘方相乘，如何考慮？

生：（m+n）個10的積。

師：對的，今天我們來研究am×an等于什么？

熟悉法則是解題的基礎。只追求學生算得對又快而缺少對運算意義的了解，是對運算能力的曲解。教師應該設置有關同底數冪的問題情境，和學生一起理解相關的概念、法則、公式和定理等基礎知識，經歷法則產生的過程，明確實施運算的依據。只有這樣，學生才能理解公式的本質，掌握基本的數學知識。當然，例題的選擇要體現基礎性，不可好高騖遠。

例1 計算：（1）103·105（2）（-x）2（-x）3（3）a3·a5

練習計算：（1）n2·n5（2）（-m）2（-m）3（3）83×84

判斷正誤：x3+x5= x8（? ? ）

設計意圖：通過一組簡單的同底冪的乘法運算，要求學生懂得“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”這一運算法則，并深刻理解：“同底數冪的乘法的兩個要素是：①冪的底數相同，②運算為乘法。這兩個條件缺一不可。結論是：①底數不變，②指數相加”。從基礎教育的目標要求來看，重要的不再是計算的熟練程度和技巧，而是對運算意義的理解。

二、關注細節，理清解題思路

細節決定成敗。關注細節也可以培養學生縝密細致的思維習慣，是數學學科的魅力之一。其實大多數學生運算錯誤率高，并非不理解知識點，而是疏忽了細節，例如符號、括號等。因此，教師在選擇例題時，要注重層次性，不能千題一面、機械重復，應該先引導學生仔細觀察：底數、指數、符號等，多方位、多角度地分析，避免犯錯。教師要在學生理解公式、掌握解題基本技能的基礎上，提醒學生關注解題細節，落實基本方法，積累觀察經驗，提高解題能力。

例2計算：（1）-x4·x6（2）a2n+1·an·a（a為正整數）（3）（a+b）6 （a+b）3 （a+b）

設計意圖：①讓學生進一步理解“同底數冪的乘法法則”中底數一定要相同，但可以是相同的單項式，如“x”等單項式，也可以是多項式，如“（a+b）”。②通過交流，讓學生關注公式運用過程中的一些細節，如（1）中底數為x，不是（-x）;（2）中同底數冪的底數是a，指數是2n+1、n和1，應相加后化簡;（3）中的底數為a+b，指數相加不要漏了最后一個因式的指數1，這是學生經常忽略的地方。

沒有理解公式的練習是低效的，只會越練越糟。教師應采用多媒體技術結合板書的方式，從本質上讓學生清楚數學公式的規范與原理，理清知識方法、凸顯思維過程。教師的板書要工整合理，這樣才能突出例題的知識和示范作用。當然，教師也要適時配上針對性強的模仿練習，讓學生在這樣的模仿練習中理解鞏固，逐步積累解題的經驗，提高解題能力和解題準確率。

三、善于甄別，提高解題能力

在剛剛結束的第59屆國際數學奧林匹克競賽上，美國隊再次斬獲冠軍。自2014年羅博深擔任美國奧數隊總教練后，今年已是美國隊第三次拿下團體第一。這位年輕的華裔教練說：“學數學的目的是為了能夠有創造力的思考并且解決新的問題，而不是用已經知道的知識反復去解很多已經解決過的問題。”在學生了解公式的基本知識后，教學也要對公式進行一些必要的變化。必要的變式可以讓學生學會舉一反三，學會思考。教師可以改變公式中的一些非本質的特征，讓學生根據變化積極思考，設法想出解決方法，提升思考的靈活性。當然這些變式要有“度”，既不能簡單到“機械重復”，又不能復雜到“面目可憎”。

例3計算：（1）3×35×27 （2）a ·（-a）2

（3）（2a+3b）2×（-2a-3b）3

（4）（m-2n）2·（-2n+m）3

設計意圖：1.通過底數不同的冪的乘法算法比較，讓學生明確只有同底數冪相乘，才能轉化為指數相加;底數不同，必須轉化為同底數冪相乘。教師需要多角度地強調運用公式的前提，讓學生加深理解。2.從“知道、領會、理解”到“分析、綜合、應用”，既體現認知目標的發展，又體現思維品質的遞進。在數學學習的過程中，教師應該經常引導學生反思，在比較中發現公式的核心本質，在經歷反思后獲得運算能力。3.數學公式只是起點，對知識的理解與熟練運用才是能力。富有挑戰的題目可以讓學生學會思考，這是數學課堂教學的目標追求。課堂要選擇一些有意義而且學生能夠理解的延伸題目，幫助學生發掘知識的各個方面。這些變化、延伸的題目就像一道道門，讓學生在解題、析題、破題中發現公式的完整和生動。

四、靈活運算，提升綜合素養

培養學生快速而準確的運算能力，是初中數學教學的一個重要任務，也是數學學科減負的重要內容。作為教師，要仔細研讀數學課程標準，合理選擇例題，并且能夠講清講透、示范到位，實現訓練的效率。對于容易出錯的地方，教師要有預判和強調，適時停頓，以培養學生仔細審題、正確處理符號、及時檢查糾錯的良好習慣。[2]

本節課內容是冪的運算的開始，以后幾節課還有冪的乘方、積的乘方和同底數冪的除法等內容，這些都是整式乘法的重要基礎，且公式多、變化活。學生需要先搞清冪的意義，在觀察、分析、比較、猜想、歸納的數學活動中，總結出冪的運算法則，理解法則的來源和本質。

例4求證：32002是42002的倍數。

這道具有一定的典型性和規律性，思維含量較高，不是僅僅依靠記憶和套用公式就可以解決的，需要學生通過深入思考或互相交流，探究解法。

解析：本題其實是求余數的問題。我們通過同底數冪的運算，分別計算出32002和42002的尾數特征，找到規律，解決問題。

證明：∵32002=34×500+2，42002=44×500+2

∴32002，42002與32，42的個位相同，即9和6。

所以32002 +42002是5的倍數。

這樣的解析方式可以優化學生的思維品質，培養創新意識，學會數學思考。

初中階段是學生發展運算思維的重要階段。當然，我們必須清醒地看到，學生運算能力的提高，需要師生共同努力。教師要克服急躁情緒，設計層次性強的例題和練習，讓學生在符號、括號、底數、指數、單項式、多項式等運算內容的不斷變化中積累經驗，實現運算思維的優化及運算能力的逐步提高。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社， 2012：6.

[2]龐彥福，許彬.視錯誤為拐點 提升學生運算能力[J].江蘇教育， 2018（2）：33-35.

Cultivating Students Mathematical Operational Ability and Realizing Burden Relief and Efficiency Enhancement

Liu Changyu

（Suzhou Industrial Park Xingwan School， Suzhou 215021， China）

Abstract： Students need to spend much time and energy in their learning and grasping the knowledge and skills about operation in learning mathematics. However， the influence of information era has resulted in relatively lower ability of students operation. To solve the problem， teachers may adopt the teaching methods as follows： familiarizing themselves with the rules and mastering basic skills; focusing on the details and untangling the ways of tackling the problems; excelling in differentiation and improving cracking ability; and operating flexibly and enhancing the comprehensive accomplishments. Meanwhile， teachers should try to discover the internal beauty and interest of mathematics with their students to spark their interest in mathematics.

Key words： operating ability; burden relief and efficiency enhancement; basic knowledge; basic skill