精算中的概率問題研究

嚴(yán)雨萱

【摘要】賭徒破產(chǎn)問題作為經(jīng)典的破產(chǎn)問題之一，在精算等領(lǐng)域中已經(jīng)有了一定程度的研究。隨著社會的進(jìn)步，消費(fèi)能力的提高，賭徒與賭場之間的博弈受到了愈加廣泛的關(guān)注。本文從概率空間出發(fā)，將簡單隨機(jī)游走情形下的賭徒破產(chǎn)問題進(jìn)一步推廣，利用條件概率和全概率公式，給出非對稱隨機(jī)游走情形下賭徒破產(chǎn)問題中賭徒破產(chǎn)的概率表達(dá)式。

【關(guān)鍵詞】賭徒破產(chǎn)問題 隨機(jī)游走 概率空間 條件概率 全概率公式

【中圖分類號】O21 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）48-0122-02

1.引言

隨著當(dāng)今社會的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)水平的不斷提高，風(fēng)險(xiǎn)理論得到了越來越多的重視，成為了當(dāng)今世界精算等領(lǐng)域的熱門話題。對于風(fēng)險(xiǎn)理論的研究，不光在概率上有著重要的意義，在現(xiàn)實(shí)的生活中也有著重要的影響。在十七世紀(jì)以后，隨著概率體系的不斷完善化，在討論如何研究經(jīng)濟(jì)學(xué)效用值、回歸分析和分散化風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)候，人們開始用概率論的相關(guān)知識來研究賭博問題，試圖對撲克、骰子和輪盤等賭博形式建立數(shù)學(xué)模型，研究勝負(fù)規(guī)律。

賭徒破產(chǎn)問題作為經(jīng)典的破產(chǎn)問題和概率問題，其結(jié)局無非是賭徒完勝、雙方平局或賭徒破產(chǎn)。如何去衡量賭徒破產(chǎn)的可能性，度量賭徒的平均收益，不僅關(guān)系到參與者的切身利益，更時(shí)刻提醒著人們游戲與現(xiàn)實(shí)生活的界限，從而可以更好地加深人們對賭博的認(rèn)識，使得賭徒破產(chǎn)問題引起了國內(nèi)外數(shù)學(xué)界、精算界的廣泛關(guān)注。

2.問題重述

假設(shè)在某地有一賭場，賭場擁有初始本金M元，賭徒甲帶著初始本金m元去賭博，假設(shè)賭徒甲每一局總是贏1元或者輸1元，獲勝的概率為p。當(dāng)賭徒輸光m元（賭徒破產(chǎn)）或者贏了M元（賭徒完勝）時(shí)賭局結(jié)束，那么賭徒破產(chǎn)的概率是多少。

3.數(shù)學(xué)模型建立與推導(dǎo)

我們將在本節(jié)中給出上述問題的數(shù)學(xué)模型的建立及相應(yīng)的賭徒破產(chǎn)概率公式的推導(dǎo)，首先我們先引入本文所需要的一些基礎(chǔ)知識。

3.1理論知識

3.2賭徒破產(chǎn)概率公式推導(dǎo)

在上面一小節(jié)基礎(chǔ)知識的介紹以后，我們將分成兩部分對第2節(jié)賭徒破產(chǎn)模型中的賭徒破產(chǎn)概率進(jìn)行推導(dǎo)：第一部分為簡單隨機(jī)游走情形下賭徒破產(chǎn)概率的推導(dǎo)；第二部分為非對稱隨機(jī)游走情形下賭徒破產(chǎn)概率的推導(dǎo)。

這也就是非對稱隨機(jī)游走情形下賭徒破產(chǎn)問題中賭徒破產(chǎn)的概率表達(dá)式。

4.總結(jié)與展望

本文運(yùn)用概率論中概率空間的知識，結(jié)合首步分析法、條件概率和全概率公式，對賭徒破產(chǎn)問題中賭徒破產(chǎn)概率進(jìn)行了研究。從簡單隨機(jī)游走情形下的賭徒破產(chǎn)模型出發(fā)，在得到這種簡單情況下的賭徒破產(chǎn)概率的數(shù)學(xué)表達(dá)式后，將問題進(jìn)一步擴(kuò)展，變成非對稱情況下的隨機(jī)游走問題，并最終推導(dǎo)出非對稱隨機(jī)游走情形下的賭徒破產(chǎn)模型中賭徒破產(chǎn)概率的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使其更具有一般性。但這兩種模型考慮的問題仍舊相對簡單，為了更加符合生活中的場景，我們還可以進(jìn)一步考慮設(shè)置多個邊界條件，或者多個賭徒同時(shí)參與等問題，將會使得問題變得更加的復(fù)雜和有趣，也使得模型更加的貼近于實(shí)際。

參考文獻(xiàn)：

[1]何書元.本科生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教材， 概率論[M]. 北京大學(xué)出版社， 2006.

[2]趙娟.賭徒破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的進(jìn)一步研究[D]. 燕山大學(xué)， 2010.