利用感生電偶極子推導范德瓦爾斯相互作用勢

楊鎮旭

【摘要】范德瓦爾斯相互作用是原子間相互作用的一個重要組成部分與表現形式。本文利用簡單的感生電偶極子間的靜電相互作用模型，結合量子理論對范德瓦爾斯相互作用勢能函數的形式進行定量的推導。結果表明范德瓦爾斯相互作用源自于靜電相互作用的量子力學效應，勢能函數隨著原子間距離R以1/R6的形式冪函數衰減。本文為人們理解范德瓦爾斯相互作用提供了一個半定量描述的視角。

【關鍵詞】范德瓦爾斯相互作用 諧振子 電偶極子

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）48-0232-02

一、引言

原子間以及分子間相互作用力包括范德瓦爾斯相互作用造成的吸引力、泡利不相容原理造成的斥力、固有電偶極矩間相互作用、氫鍵等等。范德瓦爾斯相互作用的研究對人們了解掌握原子級別微觀世界中的相互作用有著重要意義。近些年隨著對于諸如石墨烯等二維材料的研究的深入，二維材料層間范德瓦爾斯相互作用對于材料性質的影響越來越受到關注。范德瓦爾斯相互作用勢實際上可以利用原子的感生電偶極子之間的靜電相互作用的模型推導得出，該模型同樣適用于理解分子間相互作用力。

二、感生電偶極子模型的哈密頓量

四、模型的有效性和應用

上述討論中沒有考慮原子所處的狀態。從微擾論的觀點來看，-A/R6的勢能衰減來自于電偶極矩間相互作用的二階微擾結果。對于S態的基態原子，電子波函數分布呈完全的球對稱，于是不需要考慮電四極矩的對能量的一階微擾的貢獻。對于非S態的原子，原子具有不為零的軌道角動量與自旋角動量，此時原子有可能具有非零的電四極矩，如果兩個相互作用的原子都具有非零的電四極矩，電四極矩之間的相互作用對能量的一階微擾的結果為1/R5的衰減形式[2]，這一項結果可能是吸引力，也可能是排斥力。另外，全同粒子之間的交換相互作用也有可能造成能量上的變化。不過所有的這些未在模型中考慮的因素，在對基態的角動量分量的所有可能取值做平均后，均會為0[2]，因此上述模型中得到的范德瓦爾斯相互作用勢的表達式可以比較普適地應用在原子間相互作用的描述之中。

在間距R接近原子本身的線度時，電子波函數間的交疊變得不可忽略，由于泡利不相容原理，此時原子間還存在著以1/R12衰減的排斥勢場，這一項產生的排斥力和范德瓦爾斯相互作用勢產生的吸引力相互平衡時，就得到了原子間的平衡距離，這可以用來解釋原子晶體的晶格常數、范德瓦爾斯外延的二維材料的原子層間距等等實驗結果。

五、結語

在本文中，我們利用簡單的原子間感生電偶極子的靜電相互作用模型推導得到在相對原子本身線度較大，相對于發生相對論效應較小的尺度中，范德瓦爾斯相互作用勢的勢能表達形式。推導過程表明，范德瓦爾斯相互作用是一個量子力學的效應。勢能函數的表達形式1/R6可以用來描述原子間以及非極性分子間的相互作用吸引力，結合泡利不相容原理得到的原子間斥力，就可以得到描述原子間相互作用的Lenard-Jones勢[3]，該結果比較普適地描述了中性原子間的相互作用力，應用十分廣泛。

參考文獻：

[1]朗道，栗弗席茲.量子力學（非相對論理論）[M].北京：高等教育出版社，2011：61-64.

[2]朗道，栗弗席茲.量子力學（非相對論理論）[M].北京：高等教育出版社，2011：314-316.

[3]基泰爾.固體物理導論[M].北京：化學工業出版社，2011：44-46.