可控變質率下基于商業信用的易逝品庫存優化模型

魏廣明，秦娟娟，王 坤，張 茜

(1. 天津財經大學經濟學院，天津 300222； 2. 天津財經大學商學院，天津 300222)

1 引言

商業信用是賣方向買方提供的一種信用，允許買方從賣方購得商品而不需要立刻支付貨款，是企業間普遍采用的融資方式[ 1-2]。據金融時報報導，2007年全球商品貿易的資金90%是通過商業信用來提供的，約25萬億美元；2009年3月，Wal-Mart的資產負債表中，有28.8萬億美元的應付賬款，占其持有庫存的75%。許多采用商業信用支付的企業會銷售易逝產品，如Wal-Mart銷售蔬菜水果等易變質產品。同時，這些企業會通過一定的技術投入來降低產品的變質率，如Wal-Mart會通過提供保鮮等冷藏設備來降低蔬菜等產品的變質率。因此，論文從現實情景出發，整合易逝品供應鏈中，商業信用和保鮮技術投入的研究，探討易逝品供應鏈中，商業信用和保鮮技術投入下，采購商的最優庫存和技術投入問題，豐富有關的理論研究。

Goyal[3]首先提出了基于商業信用的EOQ模型。此后，有許多學者許多方面對上述模型進行了擴展，如缺貨[ 4-5]、兩級商業信用[6]、不同的市場需求函數[7]等。但上述研究常假設產品不會發生變質，但現實中許多產品價值會隨著時間的推移發生變質而產生損耗，如電腦芯片，新鮮果蔬等。因此，許多學者在商業信用框架下探討易逝品的庫存策略。Aggarwal和Jaggi[8]和Chu等[9]考慮了損耗性商品在固定需求和商業信用期限下的批量問題。Jamal等[10]和Dye[11]研究了信用支付情況下，變質產品在允許缺貨條件下的訂貨策略。Chen和Kang[12]擴展了Jamal等[10]的模型，考慮持有費用比率、收入利息、支出利息均為模糊的情形。Ouyang等[13]研究非瞬時變質產品的情形。

近年來，Balkhide[14]考慮資金的時間價值，假設存在時變變質率和時變需求率，構建了庫存優化模型，結合搜索算法給出了求解步驟。Liao和Huang[15]考慮了延期支付及常數變質率下兩倉儲的庫存決策問題。Liang Yanlai和Zhou Fangming[16]同樣研究了延期付款條件下的常數變質率的庫存決策問題，但其模型中租賃倉庫的保管成本要高于自有倉庫。Mahata[17]在指數變質率及兩級商業信用下，探討了在供應鏈管理中采用經濟生產批量模型的采購商最優補貨策略，其中假設采購商提供給顧客部分商業信用。Chang等[18]在指數變質率及兩級商業信用下，構建了經濟生產批量模型。Sarkar等[19], Mahata[20]，Teng等[21]等慮了商業信用下，易逝品存在固定生命期限的采購商最優策略。

但是上述研究都沒有考慮產品變質率的可控性，變質率常被假定為外生變量，然而現實中，通過技術的投入可影響產品的變質率的大小。但是，保鮮技術一方面可以降低易逝品的變質率，另一方面因保鮮技術投資會增加總成本的支出，因此，對商業信用下易逝品庫存管理產生了難以忽略的影響(尤其是對一些高變質率的產品，如鮮花、水果)。在不考慮商業信用支付方式下，有些學者對易逝品的技術投入做了探討。如Yang 和 Wee[22]發現了高變質率會導致高成本和低需求率。Ouyang等[23]研究了在允許延期付款的條件下，非瞬時易逝品的最優補貨策略，最后提出了如果采購商通過提高易逝品儲存能力可以有效地降低易逝品變質率，那么相關庫存總成本也會相應降低。許多企業都投資保鮮設備來降低變質率，并且延長產品的保質期。Hsu等[24]在考慮缺貨的情況下探討了允許采購商進行保鮮技術投資的易逝品的最優庫存策略。Dye和Hsieh[25]在此基礎上，假設了易逝品的變質率隨時間變化，最終證明了存在唯一的最優補貨策略，并且發現了在給定的補貨周期下每單位時間的總利潤是保鮮技術成本的凹函數。上述文獻中，都假設需求為常數。Hsieh和Dye[26]同樣建立了一個考慮保鮮技術投資的易逝品庫存模型，但假設需求隨時間變化。而He Yong和Huang Hongfu[27]假設了需求與價格呈線性關系，討論了考慮保鮮技術投資的季節性易逝品的最優庫存策略和價格政策。

因此，本文將可以降低易逝品變質率的保鮮技術引入商業信用下易逝品庫存模型中，從采購商的角度出發，考慮到保鮮技術對總利潤的影響，分析了在商業信用支付策略下易逝品的最優庫存策略及技術投入策略。首先，分兩種情形討論了考慮保鮮技術投入后，采購商的利息收入和利息支出，建立了相應的決策模型。其次，通過模型的分析求解，得出了采購商的最優訂貨周期和最優保鮮技術投資水平的判定方法；最后，通過數值分析對有關結論進行了驗證，并進一步分析了各參數對采購商最優決策的影響。

2 符號與假設

2.1 主要符號

論文用到的主要符號如下：

A: 采購商的固定訂貨成本；

s：采購商的單位銷售價格；

c：采購商的單位采購價格，s≥c;

h:采購商的單位庫存持有成本(不計利息支出)；

D：產品的市場需求量；

Ie：單位利息收入率；

Ik：單位利息支出率；

T：采購商的訂貨周期，為決策變量；

Q：采購商的訂貨批量；

M：供應商提供給采購商的商業信用期；

θ：產品的自然變質率；

β：單位時間內保鮮技術的投資成本，為決策變量；

I(t)：隨著時間t變化的庫存水平；

TP: 單位時間采購商的銷售利潤。

2.2 模型假設

(1)考慮由供應商和采購商組成的兩級供應鏈，采購商只采購一種產品，不允許缺貨。

(2)訂貨提前期為0，即瞬時補貨。

(3)供應商提供給采購商的商業信用期為M。在商業信用期內，采購商不需要支付貨款，且可以利用銷售收入獲得一定的利息。

(4)為了減少產品變質給企業所帶來的損失，企業可以通過保鮮技術的投入來降低其變質率。例如，企業可以通過運行冷藏設備等來降低蔬菜水果的變質率，那么在單位時間內，冷藏設備的運營成本即為單位時間內保鮮技術的投資成本。引入保鮮技術后產品的變質率為θ-η(β)，且η(β)=θ(1-e-?β)，其中?η(β)/?β<0，?2η(β)/?β2>0。θ為自然變質率，滿足0≤θ<1；是保鮮技術投資對變質率的敏感系數，?≥0；β為單位時間內保鮮技術的投資成本，β≥0，為決策變量[26-27]。

3 模型構建

在訂貨周期T內，庫存水平的下降由市場需求和產品的變質引起，因此，采購商的庫存水平變化可以用以下微分方程來表示：

dI(t)/dt=-D-[θ-η(β)]I(t)

(1)

其滿足的邊界條件為.

由式(1)，計算可得采購商的庫存水平為：

(2)

采購商單位周期的訂貨量為：

(3)

采購商的單位周期利潤由以下幾部分構成：銷售收入，固定訂貨成本，采購成本，庫存保管成本，保鮮技術投資成本，利息支出和利息收入。

(1) 單位時間保鮮技術投資成本：β；

(2) 銷售收入：sD；

(5) 單位時間的庫存保管成本(不包括庫存資金成本)：

(6) 利息收入和利息支出的分析見3.1 和3.2。

根據商業信用期M和訂貨周期T之間的關系，采購商的利息收入和利息支出分為以下2種情況：M>T和M≤T.

3.1 情形一.M>T

當供應商提供給采購商的商業信用期M大于銷售商訂貨周期T時，采購商在信用期M內取得了所有的銷售貨款，可以及時地向供應商支付采購費用，因此，無需支付庫存資金成本，即利息支出為0。

采購商在T時刻取得了全部銷售收入，因此在[0,T]內可以獲得已取得銷售收入的利息收益，而在[T,M]內可以獲得全部銷售收入的利息收益。因此，利息收入為：

(4)

3.2 情形二.M≤T

由于供應商允許延遲付款，因此在[0,M]內采購商可以取得已取得銷售收入的利息收益。因此，利息收入為：

(5)

由于M≤T，在信用期M內，采購商沒有取得所有銷售貨款，因此需要支付在[M,T]內的庫存資金成本。因此，利息支出為：

(6)

通過以上分析，可得采購商的利潤表達式：

采購商單位周期的利潤=銷售收入-固定訂貨成本-采購成本-庫存保管成本-保鮮技術投資成本-利息支出+利息收入

其中，

(7)

(8)

4 最優解分析

4.1 最優訂貨周期T

情形一 .T≤M

為了求解該區間內采購商的最優訂貨周期，可以對T求一階、二階偏導數，計算一階導數可得：

其中：

(9)

易得：

(10)

TP1(T|β)對T的二階導數為：

滿足以上條件的T1就是可以使式(7)取得最大值的T。如果0

通過分析，我們可以得到命題1。

命題1.對于任意β≥0

(1)T1不但存在而且是唯一解。

(2)如果0

(3)如果T1≥M，TP1(T|β)在T≤M的條件下可以在M處取得最大值。

情形二.M≤T

為了得到最優的訂貨周期，我們可以求TP2(T|β)對T的一階偏導：

(11)

其中：

(12)

f2(T|β)對T求偏導可得：

(13)

TP2(T|β)對T求二階偏導為：

通過以上分析，可得命題2。

(1)T2不但存在而且是唯一解。

(2)如果0

(3) 如果T2≥M，函數TP2(T|β)在T≥M的條件下可以在T2處取得最大值。

通過以上命題1、2的分析，易得定理1(關于最優訂貨周期的決策)。令：

Δ=f1(T|β)|T=M=f2(T|β)|T=M

定理1. 對于任意β≥0,當A-sDIeM2/2>0時

(1)如果Δ>0,采購商的最優訂貨周期是T2.

(2)如果Δ=0，采購商的最優訂貨周期是M.

(3)如果Δ<0，采購商的最優訂貨周期是T1.

4.2 最優保鮮技術投資ζ

情形一.T≤M

由式(8)，可知利潤函數TP1(|β|T)可寫為：

由泰勒展開式可證：

(15)

(16)

(17)

δ′(x)=-Tη′(x)<0;δ″(x)=-Tη″(x)>0

(18)

λ′(x)=-cDTη′(x)<0;λ″(x)=-cDTη″(x)>0

(19)

由此，可計算：

[λ(x)φ(δ(β))]′=λ′(x)φ(δ(β))+λ(x)φ′(δ(β))δ′(β)

[λ(x)φ(δ(β))]″=λ″(x)φ(δ(β))+2λ′(x)φ′(δ(β))δ′(β)+λ(x)φ″(δ(β))δ(β)2+λ(x)φ′(δ(β))δ′(β)>0

情形二.M≤T

由式(9)，可知利潤函數TP2(|β|T)可寫為

(20)

與情形一的分析類似，可得定理3.

5 數值分析

5.1 算例

為了說明模型及定理的可行性，下面我們來舉例說明。

例：設定某采購商制定某產品的進貨策略，數據如下：A=20元/次，D=100件/年，s=25元/件，c=15元/件，h=5元/件/年，M=0.1天/年，θ=0.2/年，?=0.5，Ie=0,09，Ik=0.14.

易證：A-sDIeM2/2=17.75>0，滿足命題2的條件。因此，計算可得采購商的最優策略為：

5.2 敏感性分析

在算例的基礎上，調整模型各參數值，可以得到采購商的最優決策結果見表1。通過敏感性分析，可以更清楚的看出參數的變化對零售商的最優訂貨策略和最優技術投入策略的影響。

表1 參數對最優決策的敏感性分析

從表1的各參數對最優解的靈敏度分析，可以得出以下結論：

(1) 當保鮮技術投資對變質率的敏感系數增加時，最優保鮮技術投資量會降低，最優訂貨周期和總利潤會增加。也就說，對企業而言，如果保鮮技術投資對產品變質率有較強影響時，采購商不需要太多的保鮮技術投資投入，同時由于技術投入引起產品變質率的降低，因此采購商不需要太頻繁的訂貨，可以延長最優訂貨周期。反之，當保鮮技術投資對變質率的敏感系數減小時，為了降低變質率，采購商會增加對保鮮技術的投資。

(2) 當產品的自然變質率增加時，最優保鮮技術投資量會增加，最優訂貨周期不變，總利潤會減少。當產品的變質率減小時，采購商會降低保鮮技術投資量，則其利潤會增加。

(3) 隨著采購商訂貨費用的增加，采購商的最優保鮮技術投資量和最優訂貨周期增加，總利潤減少。結論表明，當采購商的單次訂貨費用支出較高時，采購商可能會增加每次的訂貨量從而增加了訂貨周期的長度，由于訂貨數量的增加需要加大保鮮技術投資以降低變質率。

(4) 隨著市場需求率的增加，采購商的最優保鮮技術投資量和總利潤會增加，最優訂貨周期減小。當市場需求較好時，采購商為了滿足市場需求將提高訂貨頻率，相應的訂貨周期長度會減小，由于市場需求增加，產品的庫存時間相應縮短，保鮮技術的投資也會降低。

(5) 當供應商給予采購商的商業信用期增加時，最優保鮮技術投資量和最優訂貨周期都會減小，而利潤會增加。當供應商給予采購商的商業信用期較長時，采購商可以相應獲得更多的利息收益，因此可以抵消由于訂貨周期減少而帶來的訂貨成本的增加，并且因為訂貨批量的下降，可以進一步減少變質損失，減少保鮮技術投資量。

(6) 當產品的售價增加時，采購商的最優保鮮技術投資量和最優訂貨周期會減少，總利潤會增加。當易逝品價格增加時，消費者需求會降低，采購商為了降低成本，會縮短訂貨周期和保鮮技術的投資量。

(7) 隨著采購商單位庫存持有成本的增加，最優保鮮技術投資量、最優訂貨周期和總利潤都會減小。對于采購商來說，當單位庫存持有成本增大時，采購商會減少訂貨周期來降低庫存持有成本，相應也會減小保鮮技術投資。

(8) 隨著采購商采購產品的成本增加，最優保鮮技術投資量會增加，最優訂貨周期不變，總利潤會減少。當采購商采購產品的成本增加，采購商為了節約成本會加大保鮮技術的投資以降低產品變質率。

6 結語

文章在商業信用支付模式下，探討了考慮產品保鮮技術投入下，采購商的最優訂貨策略及技術投入策略。首先，分兩種情形構建了采購商的庫存模型；其次，根據采購商的庫存模型，求解其最優訂貨周期、最優訂貨量及其最優技術投入策略；最后，通過數值分析對文章中的有關結論進行了驗證，并對有關參數進行了靈敏度分析。

研究發現：當保鮮技術投資對產品變質率有較強影響時，采購商不需要太多的保鮮技術投資，同時由于技術投入引起產品變質率的降低，因此采購商不需要太頻繁的訂貨，可以延長最優訂貨周期；產品的自然變質率增加時，采購商為了降低變質率會增加保鮮技術投資量，總利潤會減少。當產品的自然變質率減小時，采購商會降低保鮮技術投資量，利潤會增加；當采購商的單次訂貨費用支出較高時，采購商可能會增加每次的訂貨量從而增加了訂貨周期長度，由于訂貨數量的增加需要加大保鮮技術投資以降低變質率；當市場需求較高時，采購商為了滿足市場需求將提高訂貨頻率，相應的訂貨周期長度會減小，由于市場需求增加，產品的庫存時間相應縮短，保鮮技術的投資也會降低；當供應商給予采購商的商業信用期增加時，最優保鮮技術投資量和最優訂貨周期都會減小，而利潤會增加。

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