區間值最小二乘核仁解及在供應鏈合作利益分配中的應用

劉家財，李登峰，胡勛鋒

(1.福州大學經濟與管理學院工商管理研究院，福建 福州 350116；2.福建農林大學交通與土木工程學院，福建 福州 350002)

1 引言

合作對策的重要解概念有很多，比如，核心、核仁、夏普利值，等。上述解概念均是基于經典合作對策即清晰聯盟及清晰效用函數的情形下提出。事實上，任何合作對策都需要考慮環境與條件的不確定性[1-2]、信息的不準確性[3]、局中人目標的多樣性與不確定性[1,4]、局中人的主觀期望與風險態度[1,5-6]、局中人參與聯盟的程度[7]等。換句話說，在現實的經濟管理問題中，常存在不確定性及模糊性，導致局中人只能以一定的概率參與聯盟或者聯盟值(或特征函數)無法用精確實數準確表達。近年來，在合作對策的研究中，常用區間數來表示聯盟值(或特征函數)，由此出現了一類支付值為區間數的合作對策，這類合作對策常被簡稱為區間值合作對策。區間值合作對策是模糊合作對策的一種重要形式。模糊合作對策是經典合作對策的推廣，經典合作對策的模糊延拓有三種形式：第一種是聯盟模糊而效用清晰的合作對策[7]。第二種是效用模糊而聯盟清晰的合作對策[8]。第三種是聯盟和效用均模糊的合作對策[9]。早在1974年，Aubin[7]利用美國著名控制論專家L.Zadeh教授提出的模糊集表示局中人參與聯盟的程度(或參與率)，提出了模糊聯盟的概念，這是合作對策最早涉及模糊不確定性的一類形式。隨后，Aubin[10-11]又定義了模糊合作對策的核心，為日后區間值合作對策核心的廣泛研究奠定了基礎。國外學者Branzei[12-14]、Alparslan[15-17]、Mallozzi[18]等圍繞區間值合作對策開展了大量研究。Branzei等[12]針對凸區間值合作對策，提出類似Shapley值的解，為模糊合作對策區間Shapley值的研究奠定了基礎。Branzei等[13-14]對區間值合作對策的研究進行了總結與展望，并對區間值合作對策的超可加性、凸性、區間優超核心等進行了定義。Alparslan等[15-17]運用區間數的運算規則對區間值合作對策重新進行定義，對確定條件下即經典合作對策的部分重要解概念及其解法進行拓展，從而發展形成區間值合作對策的解概念及其解法，并對區間值合作對策的核心的一些重要性質進行了探討。Mallozzi等[18]拓展區間值合作對策模型，提出一種求解區間值合作對策的類似于核心的解概念，并提出一種確保類核心的解非空的均衡性條件。

我國也有諸多學者圍繞區間值合作對策做了相關研究，如，李登峰[19]針對聯盟值(或特征函數)表示為區間數的多人合作對策，通過研究其合作對策分配值(即解)具有的單調不減性質，提出了相應的簡化約束條件，從而利用聯盟區間值的左、右端點值，簡單、快捷地確定每個局中人分配值(區間值)的左、右端點值，進而確定區間值多人合作對策的區間值分配解，相繼提出了區間值合作對策的多種區間值分配解，如，區間值Shapley值，區間值團結(solidarity)值，區間值Banzhaf值，區間值核心分配解，等，并研究了它們的一些重要性質。于曉輝、張強[20]利用區間數運算的性質，將經典Shapley值的三條公理拓廣到區間值合作對策中，提出具有區間支付的Shapley函數的具體形式，并且通過論證，證明區間Shapley函數和經典的Shapley函數具有形式上的一致性。高作峰等[21]給出了區間合作對策在增廣系統上的定義，并利用相應的公理體系及區間數運算的性質，構造出區間合作對策在增廣系統上的區間Shapley值，并對該區間Shapley值的一些重要性質進行探討。由此可看出，區間值合作對策的研究引起國內外諸多學者的關注。

在經典合作對策中，核心是1953年Gillies[22]引進，后經著名對策論專家Shapley和Shubik[23]發展成為合作對策的解概念。核心是目前使用較多的合作對策的集合解概念，要求滿足個體合理性、集體合理性與聯盟合理性。核仁是1969年Schmeidler[24]以超量衡量聯盟的滿意程度，并從最小化聯盟的不滿意程度出發，提出的合作對策的解概念。核仁后來又進一步發展為多種形式，比如，最小核仁、弱核仁、比例核仁等。盡管在經典合作對策中，核心、核仁等解概念要么包含很多(甚至是無窮多)個元素，要么一個也沒有即為空集，我們仍然希望在區間值合作對策中尋找其核心解，給出核心解存在的條件，并討論其重要性質。本文的主要工作是提出區間值合作對策的最小二乘法預核仁和核仁，并討論諸如存在性、可加性、匿名性等區間值合作對策解的一些重要性質。與供應鏈合作利益分配同類研究[25-26]相比較，本文提出的模型與方法考慮了供應鏈節點企業開展合作時經常出現的模糊不確定性，著重研究聯盟的收益表示為區間數時的合作利益分配策略，不僅如此，利用多維線性拓展方法，還可將本文提出的區間值最小二乘核仁解自然拓展至聯盟收益表示為三角(梯形)模糊數以及三角(梯形)直覺模糊數的情形。容易證明，利用該方法得到的模糊合作對策的最小二乘核仁解，均具有存在性和唯一性、有效性、匿名性、對稱性等合作對策解的良好性質。

2 預備知識

2.1 支付值為區間數的合作對策

2.2 區間值最小二乘法預核仁和核仁及其解概念

(1)

和

(2)

(3)

(4)

和

(5)

即，

(6)

利用同樣的方法，有，

(7)

至此，引理1得證。

根據式(1)、式(4)和式(6)，結合區間值運算規則[27]，式(3)可改寫成如下形式：

(8)

3基于平方超量的區間值最小二乘法預核仁和核仁的二次規劃求解方法

3.1 考慮有效性的區間值最小二乘法預核仁

引理2 區間值最小二乘法預核仁是基于最小化平方超量之和且滿足有效性的區間值合作對策的一種分配方案，解二次規劃模型(8)便可得區間值最小二乘法預核仁。

證明 根據拉格朗日乘子法，模型(8)可寫成如下形式，

(9)

和

(10)

由于

(11)

根據式(9)和(11)，可得，

又因為

(12)

(13)

其中，s表示聯盟S?N的個數。

將式(13)代入式(12)，有，

(14)

(15)

下面，我們討論區間值合作對策的區間值最小二乘法預核仁的一些重要性質。

證明 根據式(14)和(15)，定理1直接得證。

證明 根據式(14)和(15)，結合區間值運算規則[25]，有，

證明 根據式(14)，有，

證明 對于局中人i∈N和k∈N(i≠k)，根據式(14)，有，

和

證明 由式(14)和(15)，定理5容易得證 (證明過程略)。

3.2 同時考慮有效性和個體合理性的區間值最小二乘法核仁

(16)

(17)

特別地，令mL=mR=0,很明顯可看出，模型(8)的區間值最優解等價于模型(18)的區間值最優解，即，

(18)

模型(16)的區間值最優解等價于模型(19)的區間值最優解，即，

(19)

區間值最小二乘法核仁的下界和上界的算法流程分別如圖1、2所示。

圖1 區間值最小二乘法核仁下界算法流程

圖2 區間值最小二乘法核仁上界算法流程

結合上面的討論，給出求解區間值最小二乘法核仁的步驟框圖，如圖3所示。

圖3 區間值最小二乘法核仁的求解框圖

4 供應鏈合作創新利益分配實例應用

由于現實經濟管理活動存在諸多不確定性和模糊性，區間值合作對策在經濟、政治、管理、環境等多個領域均有著廣泛應用。下面結合供應鏈合作創新中的利益分配問題，驗證本文所提方法的實用性和合理性。

4.1 案例背景描述

根據式(14)，可得區間值最小二乘法預核仁的下界，即，

利用同樣的方法，可計算得到，

根據算法1，有，

令局中人1所分配得到的收益為0，將-1.5625平均分攤給局中人2，3和4，得，

40.4167,41.6667)T

78.125)T

[37.9167,70.625],[40.4167,83.125],[41.6667,78.125])T,

即，四個節點企業的區間值收益分別為：

4.2 計算結果分析

在本例中，假設四個節點企業均無法單獨研發新產品，即，如果供應鏈協同創新系統中的四個節點企業不尋求合作，他們將無法獲得任何收益。然而，通過參與大聯盟聯合開發新產品后，四個節點企業均獲得了極為可觀的收入。具體如下：通過合作，原材料供應商(即局中人1)能獲得最少為0、最多為18.125的收益；生產商(即局中人2)能獲得最少為37.9167、最多為70.625的收益；分銷商(即局中人3)能獲得最少為40.4167、最多為83.125的收益；零售商(即局中人4)能獲得最少為41.6667、最多為78.125的收益。根據Moore[25]的區間值運算規則，可知四個節點企業參與合作獲得的區間值收益均遠遠大于單干時的收益，即，最終分配結果滿足個體合理性。

為驗證本文所提的模型和方法的合理性和有效性，用Lingo軟件對上述實例進行求解。根據式(19)，在代碼窗口中編寫如下語句：

min=(xL1-0)2+(xR1-0)2+(xL2-0)2+(xR2-0)2+(xL3-0)2+(xR3-0)2+(xL4-0)2+(xR4-0)2+(xL1+xL2-0)2+(xR1+xR2-0)2+(xL1+xL3-0)2+(xR1+xR3-0)2+(xL1+xL4-0)2+(xR1+xR4-0)2+(xL2+xL3-80)2+(xR2+xR3-110)2+(xL2+xL4-80)2+(xR2+xR4-100)2+(xL3+xL4-80)2+(xR3+xR4-120)2+(xL1+xL2+xL3-85)2+(xR1+xR2+xR3-130)2+(xL1+xL2+xL4-90)2+(xR1+xR2+xR4-120)2+(xL1+xL3+xL4-100)2+(xR1+xR3+xR4-150)2+(xL2+xL3+xL4-100)2+(xR2+xR3+xR4-150)2+(xL1+xL2+xL3+xL4-120)2+(xR1+xR2+xR3+xR4-250)2;

xL1+xL2+xL3+xL4=120;

xR1+xR2+xR3+xR4=250;

點擊Lingo軟件的Solve按鈕，可得到與用算法1、2求解完全一致的結果。

5 結語

本文提出的區間值最小二乘法預核仁和核仁的求解方法具有如下4個明顯優點：

(1)方便、快捷、計算量小。據式(14)、(15)及算法1、2，可快速獲得區間值合作對策的區間值最小二乘法預核仁和核仁。

(2)有效避免區間值減法運算。本文提出的方法未直接使用區間值減法運算，可有效避免由于區間值減法運算導致的不確定性放大等問題。

(3)分配結果合理、有效。利用部分現有區間值合作對策的求解方法，局中人分配得到的收益可能為負值，這不符合實際情況。運用本文所提方法，特別是區間值最小二乘法核仁，能確保局中人獲得非負收益。

(4) 提出的解滿足若干合作對策解的重要性質。本文提出的區間值最小二乘法預核仁和核仁滿足諸如存在性、唯一性、有效性、可加性、對稱性、匿名性等良好的性質。

本文所提方法可以很好的解決合作聯盟產生的收益為區間值時的供應鏈合作利益分配問題，并且可以運用到經濟、軍事、環境、教育、科技等其他具有模糊性和不確定性的復雜合作聯盟中，為其合作利益的分配提供一種新的行之有效的解決方法。盡管如此，在現實的很多經濟管理問題中，有時用區間值難以貼切地表達其中的模糊性和不確定性。現實中的各種經濟管理系統不僅涉及系統內部的人、物、資金、資源、信息等眾多要素，而且涉及系統外的政策、環境、人文、社會習俗與行為規范等多種因素。特別地，經濟管理系統不僅涉及到人，而且人是作為經濟管理系統的決策主體。決策主體行為的復雜性、目標的多樣性、知識經驗的局限性等，進一步增加了經濟管理系統的復雜不確定性。在此情境下，運用具有兩標度特征的直覺模糊集能更加細膩、有效、貼切地刻畫模糊性，因此，聯盟值(或特征函數)表示為直覺模糊數的合作對策預核仁解和核仁解將是進一步研究的重要方向。

[1] 李登峰.模糊多目標多人決策與對策[M].北京: 國防工業出版社，2003.

[2] Branzei R, Dimitrov D, Tijs S. Models in cooperative game theory: Crisp, fuzzy and multichoice games[M]. Berlin,Heidelberg:Springer,Verlag,2005.

[3] Butnariu D. Stability and shapley value for an n-person fuzzy game[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1980, 4(1): 63-72.

[4] Mares M. Fuzzy cooperative games: Co-operation with vague expectations[M]. Heidelberg: Physica-Verlag, 2001.

[5] Li Dengfeng. Decision and game theory in management with intuitionistic fuzzy sets[M]. Heidelberg: Springer-Verlag, 2012.

[6] 李登峰.直覺模糊集決策與對策分析方法[M].北京:國防工業出版社，2012.

[7] Aubin J P. Coeur et valeur des jeux flous à paiements latéraux[J]. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A, 1974, 279 (A): 891-894.

[8] Hinojosa M A, Mármol A M, Fernández F R. Set-valued cooperative games with fuzzy payoffs. The fuzzy assignment game[J]. European Journal of Operational Research, 2013, 225(1):85-90.

[9] Borkotokey S. Cooperative games with fuzzy coalitions and fuzzy characteristic functions[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2008, 159(2): 138-151.

[10] Aubin J P. Cooperative fuzzy games[J]. Mathematics of Operations Research, 1981, 6(1): 1-13.

[11] Aubin J P. Locally lipschitz cooperative games[J]. Journal of Mathematical Economics, 1981, 8(3): 241-262.

[12] Branzei R, Dimitrov D, Tijs S. Convex fuzzy games and participation monotonic allocation schemes [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2003, 139(2): 267-281.

[13] Branzei R, Branzei O, Alparslan G?k S Z, et al. Cooperative interval games: A survey [J]. Central European Journal of Operations Research, 2010, 18(3):397-411.

[14] Branzei R, Alparslan G?k S Z, Branzei O. Cooperative games under interval uncertainty: On the convexity of the interval undominated cores [J]. Central European Journal of Operations Research, 2011, 19(4):523-532.

[15] Alparslan G?k S Z, Branzei O, Branzei R, et al. Set-valued solution concepts using intervaltype payoffs for interval games[J]. Journal of Mathematical Economics, 2011, 47(4-5), 621-626.

[16] Alparslan G?k S Z, Branzei R, Tijs S. The interval Shapley value: An axiomatization[J]. Central European Journal of Operations Research, 2010, 18(2), 131-140.

[17] Alparslan G?k S Z, Miquel S, Tijs S. Cooperation under interval uncertainty[J]. Mathematical Methods of Operational Research, 2009, 69 (1), 99-109.

[18] Mallozzi L, Scalzo V, Tijs S. Fuzzy interval cooperative games[J]. Fuzzy sets and systems, 2011, 165(1), 98-105.

[19] Li Dengfeng. Models and methods for interval-valued cooperative games in economic management[M]. Cham, Switzerland: Springer, 2016.

[20] 于曉輝，張強.具有區間支付的合作對策的區間Shapley值[J].模糊系統與數學，2008,22(5)：151-156.

[21] 高作峰，鄒正興，馬棟，等.區間合作對策在增廣系統上的區間Shapley值[J].模糊系統與數學，2013,27(4)：148-156.

[22] Gillies D B. Some theorems on n-person games[M]. Princeton: Princeton University Press, 1953.

[23] Shapley L S, Shubik M. On the core of an economic system with externalities[J]. American Economic Review, 1969, 59(4): 678-684.

[24] Schmeidler D. The nucleolus of a characteristic function game[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1969, 17(6): 1163-1170.

[25] 徐偉，鄭石橋，陳丹萍.閉環供應鏈中制造商與銷售商合作創新模型研究[J].中國管理科學，2014，22(7)：116-123.

[26] 程永波，陳洪轉，何利芳，等.復雜裝備主制造商-供應商主從合作激勵協調Stackelberg模型[J].中國管理科學，2016，24(1)：91-96.

[27] Moore R E. Methods and applications of interval analysis[M]. Philadelphia: Studies in Applied Mathematics, 1979.

[28] Ruiz L M, Valenciano F, Zarzuelo J M. The least square prenucleolus and the least square nucleolus. Two values for TU games based on the excess vector[J]. International Journal of Game Theory, 1996, 25(1):113-134.

[29] 鐘昌寶，魏曉平，聶茂林，等.一種考慮風險的供應鏈利益兩階段分配法—正交投影熵值法[J].中國管理科學，2010，18(2)：68-74.

[30] 趙曉麗，乞建勛.供應鏈不同合作模式下合作利益分配機制研究—以煤電企業供應鏈為例[J].中國管理科學，2007，15(4)：70-76.