考慮微觀結構噪聲的非仿射期權定價研究
——基于上證50ETF期權高頻數據的實證分析

吳鑫育，李心丹，馬超群

(1. 南京大學工程管理學院，江蘇 南京 210093；2. 安徽財經大學金融學院，安徽 蚌埠 233030；3. 湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082)

1 引言

針對市場微觀結構的研究表明, 缺乏流動性、價格不連續、非同步交易等會造成資產價格偏離均衡價值, 使得觀測的資產價格中存在微觀結構噪聲。 A?t-Sahalia等[1]、Bandi和Russell[2]研究了微觀結構噪聲如何影響波動率的估計問題。 Duan和Fulop[3], Huang和Yu Jun[4]和Kwon和Lee[5]研究了存在微觀結構噪聲條件下結構化信用風險的建模以及估計問題, 發現忽略微觀結構噪聲會對模型參數估計產生重要影響, 進而影響對風險價差、違約概率的估計。 Andersen等[6]考察了受微觀結構噪聲影響的不同波動率測度的預測能力, 發現微觀結構噪聲對預測精度有較大的不利影響。 趙樹然等[7]考慮了受非同步和微觀結構噪聲影響的已實現波動率矩陣的糾偏降噪方法。 劉志東和嚴冠[8]基于非參數統計推斷方法對金融資產價格中隨機波動、跳躍和微觀結構噪聲等問題進行全面系統的研究, 發現我國A股市場中噪音交易顯著。 在期權定價中, 波動率是一個重要變量, 忽略微觀結構噪聲可能造成標的資產波動率的非正常高估, 由此造成期權定價誤差[9]。 因此, 更加貼近實際的期權定價應該考慮微觀結構噪聲的影響。

近二十年來, 期權定價的研究取得了快速發展, 凸顯了隨機波動率對于期權定價的重要性。 特別地, 仿射隨機波動率模型, 例如Heston[10]模型及其擴展, 由于其在解析上的易處理性以及能夠給出歐式期權的閉型定價公式, 在實際中得到了廣泛的關注與應用。 與此同時, 眾多研究發現, 仿射隨機波動率模型對于描述標的資產價格以及期權價格動態性并不充分, 提供了強的實證結果支持非仿射隨機波動率模型, 例如GARCH擴散模型。 這類模型能夠刻畫更為現實的波動率路徑及波動率分布狀態, 顯著改進資產組合配置以及期權定價表現, 例如Christoffersen等[11], Hansis[12], Drimus[13], Ferriani和Pastorello[14], Kaeck和Alexander[15], Durham[16], Shi等[17]和吳鑫育等[18, 19]。 Kaeck和Alexander[15]研究發現, 允許非仿射波動率動態性相比引入跳躍對于準確描述標的資產價格波動性更為重要, 特別地, 非仿射GARCH擴散模型相比帶跳躍的仿射隨機波動率模型表現更為優越。 然而, 目前國內外對存在微觀結構噪聲情形下非仿射隨機波動率期權定價的研究還非常少見。

將隨機波動率期權定價模型應用于實際的一個關鍵問題是模型的參數估計。 關于隨機波動率模型參數估計的研究已經取得豐富的成果, 提出的方法有廣義矩方法(GMM)、有效矩方法(EMM)、偽極大似然(QML)和馬爾科夫鏈蒙特卡羅(MCMC)方法等。 然而, 傳統上這些方法采用單一標的資產價格數據估計隨機波動率模型參數, 只能得到模型客觀測度下的參數, 不能夠識別波動率風險溢價, 造成期權定價誤差[20]。 與此同時, 一些學者采用期權價格數據, 提出非線性最小二乘方法來估計隨機波動率模型參數, 例如Broadie等[21]。 這種估計方法的優點在于簡單、易于實現。 但該方法存在過度擬合問題, 且忽略了標的資產價格動態信息。

近年來, 學者們提出同時采用標的資產價格和期權價格數據來估計隨機波動率模型參數的方法, 例如EMM[22]、GMM[23]和MCMC方法[15]。 這些方法可以聯合估計得到模型客觀與風險中性參數, 保證模型客觀與風險中性測度的一致性。 在客觀測度與風險中性測度下, 隨機波動率模型特定參數應保持一致。 Broadie等[21]研究發現, 忽略模型特定參數在理論上的一致性會導致不合理的期權定價結果。 由于同時采用了包含豐富信息的標的資產價格和期權價格數據, 上述方法能夠顯著提高參數估計與波動率估計的精確性。 從而, 這類估計方法在金融學文獻中獲得了廣泛的關注。 但是, 基于期權價格數據的估計方法由于在其估計過程中不可避免地涉及隨機波動率模型下的期權定價, 估計程序非常耗時, 特別當模型缺乏閉型定價公式而需要采用蒙特卡羅方法來計算期權價格時, 估計效率愈加低下。 因此, 提出更為有效的同時采用標的資產價格和期權價格數據信息來估計隨機波動率模型的參數估計方法仍有待拓展。

由于非仿射隨機波動率模型不存在歐式期權的精確閉型定價公式, Monte Carlo模擬方法仍是其最主要的定價方法。 然而, 眾所周知, Monte Carlo模擬方法要求大的計算量, 存在耗時長的缺點, 難以滿足實際應用的需求。 為了克服這個問題, 吳鑫育等[19]通過應用偏微分方程擾動分析法推導了非仿射隨機波動率模型的近似特征函數, 進而采用快速傅里葉變換(FFT)方法對期權進行了定價, 改進了非仿射隨機波動率模型的期權定價效率。 但是, FFT期權定價方法仍存在缺點: 首先, 為了保證期權定價的精確性, 需要數量足夠大的對數執行價格網格, 而這會導致計算效率的損失, 因為大多數的執行價格要么極端小或極端大, 只有對應少數執行價格計算的期權價格有實際意義; 其次, FFT期權定價需要引入阻尼因子, 但阻尼因子參數值的設定較為任意, 不同的設定會產生不同的結果, 也會造成期權定價誤差。

基于以上認識, 本文考慮存在微觀結構噪聲情形下, 基于非仿射隨機波動率模型對我國推出的首個股票期權產品——上證50ETF期權進行定價研究。 基于Lewis[24]的冪級數展開方法, 得到非仿射隨機波動率模型下歐式期權的近似定價公式, 該近似定價公式易于實現, 且具有較高的計算效率以及定價精確性。 運用卡爾曼濾波對觀測的上證50ETF價格中的微觀結構噪聲進行過濾, 得到上證50ETF有效價格, 進而采用上證50ETF有效價格與iVX波動率指數數據, 建立基于有效重要性抽樣的極大似然(Efficient Importance Sampling-based Maximum Likelihood, EIS-ML)估計方法, 對非仿射隨機波動率模型的客觀與風險中性參數進行聯合估計。 中國波指(iVX)是由上海證券交易所發布, 用于衡量上證50ETF未來30日的預期波動。 該指數是根據方差互換的原理, 采用上海證券交易所交易的50ETF期權價格計算編制而得。 該指數包含了豐富的上證50ETF期權價格與波動率動態性信息。 采用iVX進行估計可以避免隨機波動率模型下的期權定價, 從而能夠極大地節省計算時間, 提高模型參數估計效率[25-26]。 本文建立的EIS-ML方法本質上是一種極大似然方法, 所得參數估計具有良好的統計性質, 如一致性、漸近正態性, 且該方法易于實現、有效。 最后, 為了說明本文構建的模型與方法的合理性, 給出基于我國上證50ETF期權5分鐘高頻交易數據的實證研究。

2 模型與定價

本文假設標的資產價格(上證50ETF價格)服從如下非仿射隨機波動率模型(也被稱為GARCH擴散模型)[24]:

(1)

dVt=κ(θ-Vt)dt+σVtdW2,t

(2)

其中μ,κ,θ,σ都是常數,θ是方差的長期均值,κ是方差均值回歸的速度,W1t和W2t是標準的布朗運動, 且有dW1,tdW2,t=ρdt。 實際中通常有ρ<0, 表明存在“杠桿效應”。 研究表明, 杠桿效應對于期權定價具有重要影響, 它能夠捕獲標的資產價格分布負的偏態, 產生“波動率微笑”[22, 27]。

為了對期權進行定價, 需要將客觀測度下的隨機過程(1)和(2)變換到風險中性測度下。 按照Heston[10]的做法, 設定方差風險溢價為方差的線性函數, 即λ(Vt)=λVt, 運用Girsanov定理可以得到風險中性調整的上證50ETF價格隨機過程為:

(3)

(4)

根據Lewis[24]的研究, 上述非仿射隨機波動率模型下的歐式期權價格C(St,Vt,τ)可以根據下式計算得到：

(5)

(6)

v(Vt,τ),Rpq和Ji定義為：

J2=0

3 估計方法

由于市場交易過程中存在著缺乏流動性、價格不連續、非同步交易等市場微觀結構效應, 觀測的上證50ETF市場價格中存在著微觀結構噪聲。 為此, 本文建立以下狀態空間模型：

(7)

lnSt=lnSt-1+Wt,Wt～N(0,Q)

(8)

進一步, 采用上證50ETF有效價格與iVX波動率指數數據, 本文建立EIS-ML方法對非仿射隨機波動率模型的客觀與風險中性參數進行聯合估計。 首先, 將客觀測度下的非仿射隨機波動率模型(1)和(2)Euler離散化, 得到：

(9)

(10)

其中Δ是時間步長,εt和ηt都是均值為0, 方差為Δ的獨立同分布的(i.i.d.)正態分布隨機變量, 且εt和ηt的相關系數為ρ。 對于日度及更高頻率的抽樣數據而言, 上述連續時間模型的Euler離散化偏差可以忽略不計。

其次, 引入包含豐富期權價格數據信息的iVX波動率指數對模型風險中性參數進行估計。 假設iVX觀測值與理論值具有如下的乘性誤差結構：

lniVXt=lniVXt(Vt;Θ)+νt

(11)

其中iVXt是觀測的iVX值,iVXt(Vt;Θ)是風險中性模型隱含的iVX理論值(參見附錄),Θ是模型風險中性參數,νt是均值為0, 方差為δ2的i.i.d.正態分布隨機變量, 且與εt和ηt相互獨立。 誤差項νt代表iVX的度量誤差, 捕獲模型定價誤差以及微觀結構噪聲。

由此, 式(9)-(11)構成非線性、非高斯的狀態空間模型, 待估計的參數向量為Θ={μ,κ,θ,σ,ρ,κ*,δ}, 它包含了非仿射隨機波動率模型的客觀與風險中性參數。 事實上,Θ=Θ∪Θ∪{δ}, 其中Θ={μ,κ,θ,σ,ρ}是模型客觀參數,Θ={κ*,θ*,σ,ρ}是模型風險中性參數。 因為θ*根據θ*=κθ/κ*計算, 由此Θ={μ,κ,θ,σ,ρ,κ*,θ*,δ}≡{μ,κ,θ,σ,ρ,κ*,δ}。 此外, 由于{κ,θ}≡{κθ,κ}, {κ*,θ*}≡{κ*θ*,κ*}={κθ,κ*}, 故理論上參數Θ∩Θ={κθ,σ,ρ}在客觀與風險中性測度下應保持一致。

假設x={x1,x2,…,xT}′,y={y1,y2,…,yT}′,h={h1,h2,…,hT}′, 其中xt=ln(St/St-1),yt=lniVXt,ht=lnVt。 模型似然函數可以寫為：

(12)

其中p(x,y,h;Θ)是x,y和h的聯合密度函數, 可以寫為：

(14)

(15)

實際中, 式(12)是一個復雜的高維積分, 無法通過數值方法直接求解。 為了克服這個問題, 本文建立EIS方法來估計式(12)。 根據Richard和Zhang Wei[29]的研究, 設定EIS密度的形式為：

(16)

其中kt(ht|xt,ht-1,at)是預先確定的參數化密度核,at是EIS輔助參數。

選取密度核

其中EIS輔助參數at=(a1,t,a2,t)′。 此時, EIS密度mt(ht|xt,ht-1,at)是正態密度, 且其均值與方差為：

(18)

(19)

模型似然函數(12)可以改寫為：

(20)

其中p(xT+1|hT,Θ)≡χT+1(xT+1,hT;aT+1)≡1。由此, 得到似然函數?(x,y;Θ)的EIS—蒙特卡羅估計為：

(21)

EIS方法旨在通過選擇合理的輔助參數向量at, 以最小化式(21)的蒙特卡羅估計方差。 根據Richard 和Zhang Wei[29]的研究, 它通過求解如下向后遞歸的輔助最小二乘問題實現:

(22)

綜合起來, 估計似然函數的EIS算法具體步驟如下:

步驟2 向后遞歸地求解最小二乘問題(22), 或等價地做如下的線性回歸(t:T→1):

(23)

步驟4 重復步驟2和步驟3, 直到收斂;

最后, 得到非仿射隨機波動率模型(客觀與風險中性)參數的EIS-ML估計為：

(24)

(25)

4 實證研究

為了考察期權定價模型的定價表現, 本文采用上證50ETF期權從2016年4月7日至2016年4月15日5分鐘高頻交易價格數據進行實證分析。 上證50ETF期權是我國推出的首個股票期權產品, 于2015年2月9日在上海證券交易所上市交易, 正式開啟了我國證券市場期權時代。 上證50ETF期權標的資產是華夏上證50ETF, 每張50ETF期權合約對應10000份華夏上證50ETF。 上證50ETF期權分為認購(看漲)期權和認沽(看跌)期權兩種類型, 均為歐式期權(到期日行權)。 50ETF期權的到期月份包括當月、下月及隨后兩個季月, 最后交易日為到期月份的第四個星期三(遇法定節假日順延), 采用實物交割方式進行交割。 上證50ETF及其期權采用競價交易方式進行交易, 每個交易日的9:15至9:25為開盤集合競價時間, 9:30至11:30、13:00至15:00為連續競價時間。 上證50ETF的市場價格是由基金單位凈值決定的, 并圍繞著基金單位凈值在一個極窄的幅度內上下波動。 上證50ETF期權價格由其標的上證50ETF的價格決定, 其最小報價單位為0.0001元。 上證50ETF期權合約選取為市場上交易較為活躍的四種合約: 50ETF購4月2150、50ETF購4月2200、50ETF沽4月2150和50ETF沽4月2200。 采用上證50ETF期權標的資產上證50ETF與iVX波動率指數5分鐘高頻交易數據來估計模型的參數, 數據抽樣階段選取為2016年2月16日至2016年4月6日。 選取1個月的上海銀行間同業拆借利率(SHIBOR)作為無風險利率的代理指標。 iVX波動率指數數據來源于上海證券交易所網站(http://www.sse.com.cn/assortment/options/volatility/), 其它數據均來源于Wind資訊。

圖1給出了上證50ETF價格和iVX波動率指數5分鐘間隔的時間序列圖。 運用卡爾曼濾波對觀測的上證50ETF價格中的微觀結構噪聲進行過濾, 得到去噪的上證50ETF有效價格。 表1給出了基于未去噪與已去噪的上證50ETF價格計算的上證50ETF(對數)收益率及iVX波動率指數的描述性統計量。 從表1中可以看到, 未去噪的上證50ETF收益率與已去噪的上證50ETF收益率均存在明顯的負偏和尖峰厚尾特征, Jarque-Bera統計量表明拒絕正態分布的假定。 比較未去噪的上證50ETF收益率與已去噪的上證50ETF收益率的描述性統計量, 它們存在著區別, 特別地, 已去噪的上證50ETF收益率的無條件波動率(標準差)小于未去噪的上證50ETF收益率的無條件波動率(0.002194 vs. 0.002257), 表明微觀結構噪聲會造成波動率的高估。 iVX波動率指數的描述性統計量表明, 上證50ETF收益率在抽樣階段內的預期年化波動率約為32.66%, 波動率變動范圍為29.94%到37.70%。

圖1 上證50ETF價格與iVX波動率指數5分鐘時間序列圖: 2016-02-16—2016-04-06

數據最小值最大值均值標準差偏度峰度Jarque-Bera上證50ETF收益率(未去噪)-0.0273200.0116150.0000620.002257-0.92164620.13839219597.6851(0.000)上證50ETF收益率(已去噪)-0.0265220.0113050.0000620.002194-0.92599820.11502719547.0194(0.000)iVX波動率指數29.94160037.69540032.6644211.3765600.5704683.746883122.6542(0.000)

注： ()中是Jarque-Bera統計量的p-值.

基于上證50ETF有效價格和iVX波動率指數聯合時間序列數據, 運用第3部分給出的EIS-ML估計方法得到非仿射隨機波動率模型的參數估計結果如表2所示。 為了比較起見, 表2也給出了基于未去噪的上證50ETF價格數據得到的模型參數估計結果。 從表2可以看到, 基于未去噪的上證50ETF價格數據估計的上證50ETF的方差長期均值為θ=0.0476, 相當于年化波動率約為21.82%, 方差均值回歸的速度為κ=21.3952, 方差的波動率為σ=1.4151, 杠桿效應為ρ=-0.2571, 風險中性參數估計值為κ*=-1.9615。基于已去噪的上證50ETF價格(上證50ETF有效價格)數據估計的上證50ETF的方差長期均值為θ=0.0451, 相當于年化波動率約為21.24%, 方差均值回歸的速度為κ=21.3647, 方差的波動率為σ=1.4036, 杠桿效應為ρ=-0.2585, 風險中性參數估計值為κ*=-3.4799。 基于未去噪和已去噪的上證50ETF價格數據估計的上證50ETF的方差長期均值均低于其無條件抽樣方差0.0587(=0.0022572×240×48)和0.0555(=0.0021942×240×48)(見表1)。 此外, 基于未去噪和已去噪的上證50ETF價格數據估計的風險中性參數κ*均小于零, 表明風險中性測度下的波動率過程不是一個均值回歸過程, 這與Duan和Yeh[30]對美國期權市場的研究結果一致。

表2 參數估計結果

注： Log-lik是對數似然值; ()中是參數EIS-ML估計的標準誤差.

比較基于未去噪和已去噪的上證50ETF價格數據估計得到的模型參數值, 可以看到,基于已去噪的上證50ETF價格數據估計得到的所有參數值均小于基于未去噪的上證50ETF價格數據估計的相應模型參數值。 特別地, 基于已去噪的上證50ETF價格數據估計的風險中性參數值要明顯小于基于未去噪的上證50ETF價格數據估計的風險中性參數值(-1.9615 vs. -3.4799), 這將對期權定價產生重要影響。 最后, 估計得到iVX波動率指數度量誤差的標準誤差約為0.001, 且在統計上顯著, 表明iVX波動率指數確實存在度量誤差。

基于表2給出的模型參數估計結果, 利用EIS算法及式(25)得到濾過的現貨方差如圖2所示。 從圖2可以看到, 基于未去噪的上證50ETF價格數據濾過的現貨方差和基于已去噪的上證50ETF價格數據濾過的現貨方差在整體上具有一致的趨勢, 但兩者也存在著明顯的區別, 基于已去噪的上證50ETF價格數據濾過的現貨方差要明顯低于基于未去噪的上證50ETF價格數據濾過的現貨方差, 表明微觀結構噪聲確實會對資產收益率的波動率的估計產生重要的影響, 忽略微觀結構噪聲會造成波動率的高估。

圖2 濾過的現貨方差: 未去噪 vs. 已去噪

進一步, 通過比較考慮微觀結構噪聲(已去噪)的非仿射隨機波動率模型、未考慮微觀結構噪聲(未去噪)的非仿射隨機波動率模型以及經典的B-S模型的定價結果與實際觀測到的期權市場價格的誤差程度來分析模型的定價表現, 其中B-S模型中的波動率參數采用滾動的歷史波動率方法估計。 選取兩個定價誤差測度, 即絕對均方根定價誤差測度(RMSEa)和相對均方根定價誤差測度(RMSEr)來比較模型的定價表現。RMSEa和RMSEr的構建方法如下:

(26)

與

(27)

運用期權定價公式(5), 得到非仿射隨機波動率模型下的上證50ETF期權定價結果, 進一步根據式(26)和(27)計算得到模型定價誤差如表3所示。 為了比較起見, 表3也給出了考慮微觀結構噪聲和不考慮微觀結構噪聲(已去噪和未去噪)的B-S模型的定價誤差結果。 從表3可以看到, 當考慮微觀結構噪聲, 模型的定價表現能夠得到改進, 已去噪的模型(B-S模型和非仿射隨機波動率模型)都比相應未去噪的模型具有更高的定價精確性, 表明微觀結構噪聲會對期權定價產生重要影響。 另外, 無論考慮微觀結構噪聲與否, 非仿射隨機波動率模型都比B-S模型具有更高的定價精確性(更低的RMSEa和RMSEr), 特別對于看跌期權, 非仿射隨機波動率模型相比B-S模型具有明顯更為優越的定價表現(非仿射隨機波動率模型的RMSEr相比B-S模型的RMSEr降低明顯), 表明非仿射波動率能夠改進期權定價表現。 最后, 從表3還可以看到, 未考慮微觀結構噪聲的非仿射隨機波動率模型相比考慮微觀結構噪聲的B-S模型具有更高的定價精確性, 表明非仿射波動率相比微觀結構噪聲對于期權定價具有更大的影響。

表3 上證50ETF期權定價誤差

5 結語

當前, 基于隨機波動率模型的期權定價已經成為學者們研究的熱點。 然而, 已有關于隨機波動率期權定價的研究沒有考慮到微觀結構噪聲的影響, 且主要集中于仿射隨機波動率模型。 近年來, 越來越多的實證開始支持非仿射隨機波動率模型。 基于此, 本文考慮了存在市場微觀結構噪聲情形下基于非仿射隨機波動率模型的期權定價問題。 通過利用冪級數展開方法得到了非仿射隨機波動率模型下歐式期權的近似定價公式。 運用卡爾曼濾波對觀測的上證50ETF價格中的微觀結構噪聲進行過濾, 得到了上證50ETF有效價格, 進而采用去噪的上證50ETF有效價格與iVX波動率指數數據, 建立了基于有效重要性抽樣的極大似然(EIS-ML)估計方法, 對非仿射隨機波動率模型的客觀與風險中性參數進行了聯合估計。 采用上證50ETF期權5分鐘高頻交易數據進行實證研究, 結果表明: 微觀結構噪聲會對期權定價產生重要的影響, 當考慮微觀結構噪聲, 模型的定價表現能夠得到改進; 無論考慮微觀結構噪聲與否, 非仿射隨機波動率模型都比B-S模型具有更高的定價精確性, 表明非仿射波動率能夠改進期權定價表現; 未考慮微觀結構噪聲的非仿射隨機波動率模型相比考慮微觀結構噪聲的B-S模型具有更高的定價精確性, 表明非仿射波動率相比微觀結構噪聲對于期權定價具有更大的影響。

附錄: iVX閉型表達式推導

根據風險中性波動率過程(4), 運用Ito引理得到:

故有

因此

從而, 根據iVX的定義, 有:

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