深化探究過程 培育核心素養
——以人教版《數學》“最短路徑問題探究”教學為例

■徐曉梅

沒有核心素養作為導向的課堂是沒有靈魂的課堂，那么在課堂中如何更好地滲透學科素養進而培養學生潛在的能力呢？有效的數學核心素養教學必須定位于“學會學習”，體現學生學習能力的增強、思維品質的提高、學習策略運用水平的提升，而不僅僅是知識的傳遞；教學過程中還要創造性地使用教材，打破思維的封閉性，可以借助創設情境、變式訓練等活動喚醒學生學習的內動力。本節課是基于“自覺數學教育思想”的教學，“自覺數學教育思想”獲2017年江蘇省教學成果一等獎，重在關注主導自覺、主體自覺和支持自覺。

一、創設有效情景，奠基知識回顧

俄國教育學家烏申斯基說：“沒有絲毫興趣的強制學習，將會扼殺學生探求真理的欲望。”興趣是學生學習的重要動力。創設學生熟悉的生活情境，讓學生經歷將實際問題數學化的過程，能激發學生的好奇心和探究欲，喚醒學生已有經驗認知，從而引發思維活動。

復習引入環節教學片斷：

圖中兩條小路互相垂直，教師提問：（1）小明帶著他的小狗來到郊外點A處時，不小心松了牽狗的繩子，你認為小狗會沿著小路跑向長椅嗎？（2）小明會怎樣走呢？（3）若假設小狗行走的路線是直的，則為什么會出現這種情況呢？（4）口答這個問題：小明從點A處走到長椅要比小狗多走____米？（5）在這道題目中，用到了哪些數學知識？滲透了哪些數學思想呢？

學生在進行新知學習時，需要他們原有的知識和心智發展水平對新知學習的適合性。這里創設情境，激發學習興趣，尋找與本節課有關聯的知識生長點，建立上下位知識間的聯系，進行同化和順應新知。只有引發學生深度思考，學生才會產生對新知的疑問，才會有自己的想法、思維碰撞的火花、高層次對話的基礎和智慧生成的基礎。

“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞”。創設有效情境并將復習舊知滲透其中是一種教學藝術，合理安排引入環節可以在最短時間內吸引學生注意力，有利于活躍課堂氛圍，提高課堂教學有效性。

二、注重生成過程，培養思維能力

數學新課標提出了“四基四能”，這些能力目標是依靠基本活動經驗的積累、活動過程的感悟提升思維品質來實現的。活動設計要有梯度，注重知識的生成過程，便于引發學生積極思考，實現知識的合理構建。另外，教學設計在揭露數學本質的過程中要讓學生有所感、有所得，能學以致用。

“自覺體悟”環節教學片段：

1.體悟感知，同化新知。

例1.圖1是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？

圖1

圖2

圖3

（1）最優化思想體驗：①拿出折紙臺階，每人設計出一條最短路徑；②比較組內最短路徑，找出比較最短的方法；③展示用數學知識比較最短路徑的過程；④立體圖形中的最短路徑就是展開圖中的哪一部分呢？（直接用幾何畫板反復操作：如圖2展開臺階表面，如圖3還原臺階）⑤如何畫立體圖形中的最短路徑？

（2）“臺階體驗”求最短距離：①給出臺階的長、寬、高，如何求臺階上從A到B的最短路程呢？②能總結解決此類問題的一般步驟嗎？

本道題通過自主探究、小組交流、全班“比較性”展示，訓練學生的發散性思維、比較性思維等，在“做中學”和“協作學習”中讓學生深度感知立體圖形中求最短路程的“核心思路”，為學生舉一反三奠定基礎；通過“觀察猜想—學生操作—數學抽象—演繹推理—數學直觀—數學本質—數學建模—數學計算—學生體悟”等活動的體驗提升元認知水平，這對學生思維的敏銳性、深刻性和批判性的培養很有幫助，豐富了數學活動經驗，提升了思維品質。

2.經驗遷移，講練結合。

例2.如圖4，有一個無蓋圓柱，底圓周長6 cm，高4 cm，一只螞蟻沿側面爬行，要從A點爬到B點，則最短路程為多少？

圖4

圖5

1

圖6

（1）圓柱體最優化思想體驗：①借助學具并利用幾何畫板直觀感受B的位置（展開圓柱體的側面，如圖5；還原立體圖形，如圖4；再展開，如圖6），啟發學生點B1不是點B的正確位置；②簡述解題思路求最短距離；③體驗在立體圖形中畫出最短路徑；④比較圖7、圖8、圖9中哪條路徑最短。（用幾何畫板展開，再合并為圖10。）

圖7

圖8

圖9

（2）數學本質深層次探究：①如圖9，最短路徑是直線段嗎？②你能直接求出這條曲線的長度嗎？③通過對臺階和圓柱體中最短路程問題的研究，你認為將立體圖形展開的目的是什么？

我們知道數學教學并不能只關注活動經驗的簡單積累，應更加重視如何幫助學生在經驗的積累中實現相應的思維發展。這里選臺階作為第一題有兩個目的：1.臺階更貼近生活；2.臺階的展開更易操作，便于揭露出數學本質。這樣做的目的是為了將一切核心學習內容交還給學生，提升學生關鍵能力，改善學生思維品質。

袁振國先生說：“知識是啟發智慧的手段，過程是結果的動態延伸。教學中能夠把結果變成過程，才能把知識變成智慧。”我們要通過有效的、過程性的學習活動，讓學生自覺體悟，促進學生的自我總結、自覺運用，不斷豐富和提升活動經驗。

圖10

三、變式深化本質，培育核心素養

變式訓練作為知識載體，可以打破學生的思維定式和認識上的封閉性，訓練學生的發散思維。因此，我們要進行有機的、靈活的變式教學，使學生在數學活動中學會探究、分析、類比、綜合和經驗遷移，將學生的發展作為數學教育的出發點和歸宿，發展學生的應變能力、創新能力，提高學生的數學素養，促進學生的學習品質向能力型、智力型、開放型轉化。

“變式引領”環節教學片段：變式1 如圖11，有一個圓柱，底圓周長為12 cm，高AB為5 cm，一只螞蟻沿側面從A點爬到B點，B點在A點的正上方，螞蟻爬行的最短路程是多少？

學生利用學具講解。（幾何畫板同步演示略。）

師：比較變式1和例2，你發現有什么本質區別？

生：展開圖中點B的位置不同。

變式2 如圖12，無蓋圓柱體底面圓周長為18 cm，高為12 cm，當螞蟻在外壁爬到距離上底3 cm的點A時，瓶子內壁距離下底3 cm的點B處有一滴蜂蜜，螞蟻從A到達點B處吃蜂蜜的最短路程是多少？

（1）轉化思想體驗活動：

①螞蟻怎樣才能從外壁的點A爬向內壁的點B呢？（學生歸納：先要經過上底面圓周上某點，才能從外壁爬到內壁。）

②手中的半透明折紙對折后，將一面當成外壁，將另一面當成內壁，標記出A、B兩點的相對位置，設計一條從A到B的路徑，如圖13，還原立體圖形后就是圖14。

圖11

圖12

圖13

圖14

③比較組內最短路徑，（如圖13、圖15、圖16。）找出比較最短路徑的方法。

圖15

圖16

④發現螞蟻的爬行路徑都是線段AP與線段BP的和，那么問題轉化成了什么？（學生總結：問題化為當點P在線段a的什么位置時，AP+BP和最短。并在幾何畫板上演示點P的動態過程。）

⑤畫出點P的位置使PA+PB和最短。（學生的完成圖不一樣，如圖17、圖18、圖19。）

圖17

圖18

⑥小組合作探究上述三種找點P的方法，哪種才能使PA+PB和最短？

⑦找點P的過程實際上用到了“將軍飲馬問題模型”，將軍飲馬問題模型的本質做法是什么？（直線上找點P使AP+PB最小，講解過程略。）

⑧做出找點P的正確圖形，并求出螞蟻爬行最短距離。（展示學生作品，如圖20、圖21。）

圖19

圖20

圖21

（2）揭露數學本質體驗：

①通過對本道題的探究，你有什么感悟？

②“將軍飲馬問題”核心手段是通過軸對稱變換實現將直線同側兩點轉化為直線異側兩點；本題中螞蟻在異面兩點間爬行問題可否也有類似轉化呢？（借助學生的學具，直接將折紙展開，幾何畫板動態演示如圖22、圖23。）

圖22

圖23

變式2的綜合性很強，教學設計意在喚醒學生用已有的知識、方法、能力和心智水平去同化或順應新知識。教學的關鍵是引領學生想明白，而不是教師講明白。筆者基于這個理念加了一個“先行組織者”——設計路徑，借助幾何畫板和學具豐富了學生頭腦中的“數學世界圖景”，加強直觀教學的同時，也讓學生看到了問題的本質，提升了學生解決問題的經驗。以問題串引導學生完成核心學習環節，這種“兵導兵”的“專業引領”要勝于教師的講解，既培養了學生的數學語言的“嚴密表達”能力，也增加了幾何作圖的邏輯性。最后不能讓學生的認識停留在“經驗”層面，而是要讓學生感悟，從而得到提升。

在教學中，“關注學生的數學現實、提升學生的數學經驗、拓展學生的數學思維”是我們嘗試探究并實踐的根本目標。教學的一切要以學生的發展為本，要關注學生的已有經驗，創設情境讓數學生活化、現實生活數字化，設計有效學習活動不斷提升學生的數學經驗。教學要讓學生在系統的數學學習中通過體驗、認識與內化等過程，逐步形成相對穩定的思考問題、解決問題的思維方法和價值觀，讓學生關注對知識產生、發展和應用的全方位的體驗，提高學生的元認知水平。通過一題多變等有效的思維訓練讓學生不僅能見數學表象，而且能抓住數學本質。