偏最小二乘法在加工熱誤差中的建模分析

吳桂梅 施曉佳

摘要：通過(guò)采用偏最小二乘回歸方法，首先測(cè)量加工系統(tǒng)的溫度場(chǎng)和熱誤差數(shù)據(jù)，然后建立兩者的多元線性回歸模型，并對(duì)各個(gè)測(cè)溫點(diǎn)的溫度變化與熱誤差之間的量化關(guān)系進(jìn)行了定性研究。經(jīng)研究分析表明，該模型能夠達(dá)到較好的預(yù)測(cè)能力和精度，可滿(mǎn)足加工熱誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)男枰?/p>

Abstract： By using the partial least squares regression method， the temperature field and thermal error data of the machining system are measured firstly， and then the multiple linear regression model of them is established. The research and analysis show that the model can achieve better prediction ability and accuracy， and can meet the needs of real-time compensation of machining thermal error.

關(guān)鍵詞：偏最小二乘法;熱誤差;多元線性回歸;交叉有效性

Key words： partial least square method;thermal error;multiple linear regression;cross-effectiveness

中圖分類(lèi)號(hào)：TG659? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-4311（2018）36-0144-02

0? 引言

多元統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析主要有模型式和認(rèn)識(shí)式兩種方法。傳統(tǒng)的模型式方法普遍采用最小二乘回歸方法，然而在用最小二乘法得到回歸模型時(shí)，回歸系數(shù)的一般解釋作用不適用于自變量高度相關(guān)條件。而認(rèn)識(shí)式方法的不足是原始數(shù)據(jù)中沒(méi)有自變量與因變量的區(qū)別以及解釋作用。[1-2]

偏最小二乘法與傳統(tǒng)的多元線性回歸方法相比：每一個(gè)自變量的回歸系數(shù)容易解釋其實(shí)際意義;回歸建模的條件允許自變量間存在多重相關(guān)性、允許變量個(gè)數(shù)多于樣本點(diǎn)個(gè)數(shù);回歸模型在原有所有自變量基礎(chǔ)上建立完成;系統(tǒng)信息和噪音便于在回歸模型中識(shí)別[3]。

基于以上分析，本研究采用偏最小二乘方法建立回歸模型，以測(cè)量加工系統(tǒng)的溫度場(chǎng)和熱誤差數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，以期獲得最佳模型。在試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，建立溫度場(chǎng)與熱誤差的多元線性回歸模型，實(shí)現(xiàn)軟件預(yù)報(bào)熱誤差檢測(cè)并對(duì)誤差實(shí)施補(bǔ)償優(yōu)化。

1? 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

通過(guò)改變主軸轉(zhuǎn)速200，500，800，1000，1200r/min，測(cè)量得到5組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上建立溫度場(chǎng)與熱誤差模型。在主軸組件相應(yīng)位置安裝32個(gè)溫度傳感器來(lái)檢測(cè)其溫度變化情況，在相同時(shí)間間隔進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，采用五點(diǎn)法測(cè)量Y方向的主軸位移熱誤差[4]。觀察測(cè)量可得主軸軸承是主要熱源之一。

2? 建模方法

偏最小二乘回歸方法會(huì)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)處理，即中心化—壓縮處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)。中心化處理數(shù)據(jù)的原則是坐標(biāo)只進(jìn)行平移變換，壓縮處理數(shù)據(jù)則可以消除由量綱不同所引起的虛假變異信息。

已知偏最小二乘算法的收斂速度是極快的，算法迭代的次數(shù)m一般總小于R（X），在m=1～3時(shí)，即可得一個(gè)滿(mǎn)意的計(jì)算結(jié)果[5]。

其中PRESSh體現(xiàn)了第h步擬和方程的預(yù)測(cè)能力[7]，并能確定最優(yōu)模型。

3? 建立并分析模型

3.1 優(yōu)化變量

通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在問(wèn)題的初步分析：①自變量一共有32個(gè)，個(gè)數(shù)較多;②而樣本個(gè)數(shù)只有5個(gè)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于自變量個(gè)數(shù)。可得如何有效將變量系統(tǒng)優(yōu)化，降低多重相關(guān)性的影響，是急需解決的問(wèn)題。

傳統(tǒng)的變量系統(tǒng)優(yōu)化方法，不能解決數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重多重相關(guān)性的情況。而偏最小二乘法得到的擬和方程系數(shù)實(shí)際意義較為明顯，自變量的回歸系數(shù)實(shí)際反映了對(duì)因變量的解釋作用。所以決定應(yīng)用偏最小二乘法本身來(lái)篩選數(shù)據(jù)。

3.2 建模

對(duì)誤差實(shí)施補(bǔ)償優(yōu)化的原則是每一種誤差確定每一個(gè)方程，在此基礎(chǔ)上，對(duì)Y方向的主軸位移熱誤差進(jìn)行偏最小二乘法的回歸建模。依照變量系統(tǒng)優(yōu)化思路，對(duì)全部原始數(shù)據(jù)運(yùn)用偏最小二乘法建模，每一步計(jì)算的PRESS值如表1。

由表1可知，第二步擬和方程的預(yù)測(cè)誤差平方和最小，故選擇成分t1擬和方程。擬和方程的F值為26.3422，通過(guò)了F檢驗(yàn)，自變量與因變量之間線性關(guān)系顯著，測(cè)定系數(shù)R=0.9815。其對(duì)應(yīng)的原始數(shù)據(jù)回歸方程系數(shù)如表2。

觀察表2的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)測(cè)溫點(diǎn)x1，x2，x3，x5的系數(shù)相對(duì)較小，均小于0.01，即以上變量對(duì)Y向誤差的解釋作用較弱，因此將其刪除。而環(huán)境溫度的變化較小時(shí)，對(duì)熱誤差影響也較小，即可刪除。將篩選后的數(shù)據(jù)重新進(jìn)行偏最小二乘擬和，可得PRESS值如表3。

由表3可知，第二步擬和方程的預(yù)測(cè)誤差平方和最小，故選擇成分t1和t2擬和方程。其模型值如表4。

模型的F值：F=32.1136;測(cè)定系數(shù)R=0.9848。可知自變量與因變量具有顯著的線性關(guān)系，且模型值與觀測(cè)值相關(guān)程度較高。

為了考察所得模型的精度和預(yù)測(cè)能力，作預(yù)測(cè)圖如圖1所示。

當(dāng)樣本點(diǎn)均勻分布或者靠近對(duì)角線時(shí)，能夠得到模型的預(yù)測(cè)能力和擬和精度均較好。

從影響熱誤差的物理意義角度進(jìn)行分析，變量x1，x2，x3表達(dá)的信息重復(fù)，是可以刪除的。而變量x5離主軸位置很遠(yuǎn)，對(duì)Y向誤差的影響可以忽略不計(jì)。從熱誤差的擬和結(jié)果來(lái)看，模型的預(yù)測(cè)能力和擬和精度均達(dá)到了令人滿(mǎn)意的效果，可以滿(mǎn)足加工中心熱誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)男枰?/p>

4? 結(jié)論

本研究將偏最小二乘回歸方法應(yīng)用到熱誤差的建模分析中，取得了較好效果。同時(shí)在將模型的預(yù)測(cè)能力作為評(píng)價(jià)回歸效果的首要因素時(shí)，提出了一種新的變量系統(tǒng)優(yōu)化方法，建立實(shí)驗(yàn)并通過(guò)了驗(yàn)證。偏最小二乘法廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，區(qū)別于其他線性回歸方法會(huì)更加理想。最小二乘回歸法在系統(tǒng)優(yōu)化尺度等方面需要進(jìn)一步探討，從而實(shí)現(xiàn)效果最優(yōu)。

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