海浪隨機過程模擬的快速算法

劉磊 郭曉芳

摘要：本文基于譜表示-隨機函數方法，通過引入快速傅里葉變換（FFT）技術，發展了一類海浪隨機過程模擬的快速算法，進一步提高了譜表示-隨機函數方法的模擬效率，并與傳統的Monte Carlo方法進行了對比分析。結果表明，引入FFT技術的譜表示-隨機函數方法可在海浪隨機過程的建模中獲得令人滿意的模擬效果，且所需的基本隨機變量最少，模擬效率較高，生成的所有代表性樣本構成一個完備的概率集，同時在模擬精度方面亦具有優勢。

Abstract： This paper develops a fast algorithm for simulating the stochastic sea wave processes. According to the spectral representation-random function approach， the simulation efficiency of the proposed approach is greatly improved by applying the Fast Fourier Transform （FFT） technique. And the comparisons of the simulation results with the conventional Monte Carlo method are also presented in the paper. Numerical investigations indicated that a satisfactory simulation result can be obtained with minimum elementary random variables using the proposed approach. Meanwhile， all the representative samples can constitute a complete probability set. Numerical examples also revealed the significant advantages in terms of simulation accuracy.

關鍵詞：譜表示;FFT技術;隨機函數;海浪;隨機過程

Key words： spectral representation;FFT technique;random function;sea wave;stochastic processes

中圖分類號：P731.22;O324? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2018）36-0205-03

0? 引言

近年來，海浪災害頻發，給人類生產生活帶來極大威脅，海浪災害作用的研究備受關注，隨著研究的不斷發展，時至今日，國內外學者已提出了諸多模擬海浪災害作用的方法[1]：物理模型法、幾何模型法、粒子系統法和譜分析法。其中，譜分析法是以現有的海浪譜為基礎，將海浪過程視為隨機過程進行研究，譜分析法在實時性上能夠滿足一般的工程要求，且模擬結果具有一定的真實感，因而得到廣泛的應用。

對于海浪隨機過程的譜分析法研究，近年來，各國學者均取得了豐碩成果。Pierson[2]建立了海面位移隨機過程與海浪譜之間的關系，開辟了應用海浪譜研究海浪隨機過程的先河。俞聿修[3]采用譜分析法對一維海浪隨機過程進行模擬，并取得了較好的模擬效果。張金春[4]等人通過對多種海浪譜的綜合運用，克服了傳統的譜分析法以單一海浪譜為核心所導致的頻帶范圍局限性問題。楊懷平[5]和白連平[6]等結合方向譜模擬了三維海浪的實時過程，并對模擬效果進行優化，獲得了較好的波面模擬效果。

上述應用譜分析法研究海浪隨機過程均是以Monte Carlo方法為理論基礎，均需要大量的隨機變量才能保證其模擬精度，極大地增加了海浪隨機過程模擬的計算量。為了克服這一困難，文獻[7-9]進行了有益探索，引入隨機函數的約束形式。進一步地，本文在譜表示-隨機函數方法[10]的基礎上，通過引入FFT技術，發展了一類海浪隨機過程模擬的快速算法，實現了隨機海浪過程的高效模擬。

1? 譜表示-隨機函數模擬的快速算法

1.1 譜表示-隨機函數模擬方法

對于一個一維、單變量、零均值、實平穩隨機過程X（t），基于正交隨機變量的平穩隨機過程的譜表示為[10]：

式中，Sx（ω）為隨機過程X（t）的雙邊功率譜密度函數。ωk=kΔω，Δω為頻率步長。{Xk，Yk}為一組標準正交隨機變量[10]。

根據隨機函數思想[8]，可定義{Xn，Yn}（n=1，2，…，N）為基本隨機變量Θ的正交函數形式，即：

式中，Θ為在區間（-π，π）上均勻分布的基本隨機變量。

然后，需將式（2）定義的標準正交隨機變量{Xn，Yn}通過確定性的一一映射轉換為式（1）中的目標標準正交隨機變量{Xk，Yk}，即：Xn→Xk，Yn→Yk具體可參見文獻[9]。于是便可得到一維、單變量、零均值的實平穩隨機過程的譜表示-隨機函數模擬公式，即[9]：

1.2 FFT算法的引入

研究表明，基于隨機相位角的傳統譜表示模擬方法，因其可引入FFT技術以高效地模擬海浪隨機過程，故而得到廣泛應用。基于這一認識，故式（3）可轉換如下形式：

對比式（8）和式（3）可以發現，引入FFT技術后，式（8）中的頻率求和項被FFT技術替代，從而極大地提高了隨機過程模擬的計算效率。

2? 海浪隨機過程的數值模擬

在海浪隨機過程模擬的理論中通常將海浪視為平穩隨機過程。應用本文方法，高效模擬了平穩海浪隨機過程。以經典Pierson-Moscowitz譜為目標譜，其單邊功率譜密度函數表達式為[12]：

綜合表2、表3可以看出，在模擬相同數量的樣本（如nsel=144條）時，模擬時間大致相同，但本文方法的均值相對誤差及標準差相對誤差均小于Monte Carlo方法，這是因為本文方法的基本隨機變量是確定性抽樣且在（-π，π）上均勻分布，而Monte Carlo方法則為隨機抽樣且概率不守恒，由此本文方法的模擬精度更高模擬效果更好。此外，本文方法生成144條樣本與Monte Carlo方法生成1000條樣本的模擬精度接近，但Monte Carlo方法生成樣本時間大致是本文方法生成樣本時間的14倍。更進一步地，從兩種方法模擬所需的隨機變量數量來看，本文僅需1個基本隨機變量，而Monte Carlo法則需要N=1024個隨機變量，并且，本文方法生成的144條海浪隨機過程代表樣本集合構成一個完備的概率集，這為基于概率密度演化方法實現大型復雜海洋結構的隨機動力響應與動力可靠度精細化分析奠定了堅實基礎。

3? 結論

本文結合海浪Pierson-Moscowitz譜，基于譜表示-隨機函數法，通過進一步引入FFT技術，實現了海浪隨機過程的高效精細模擬。算例表明，本文具有如下特點：

①本文將FFT技術應用于譜表示-隨機函數方法中來模擬海浪隨機過程，可顯著提高譜表示-隨機函數方法的模擬效率，而且在模擬精度方面亦具有明顯優勢。

②本文方法不僅可實現海浪隨機過程的快速模擬，且所需要的代表性樣本數量少，每條代表性樣本具有給定的賦得概率，所有的代表性樣本構成一個完備概率集，進而可與概率密度演化方法相結合實現大型復雜海洋結構的概率密度演化分析。

參考文獻：

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[3]俞聿修.海浪的數值模擬[J].大連理工大學學報，1981，20（2）：84-90.

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