經歷“生成”過程，讓新知自然“發生”——以《數系的擴充》為例談概念課教學

江蘇省南京市第十二中學 韓 靜

概念課的教學是高中數學教學中的一個重要環節，而“概念不清”也是很多教師在進行高三復習時對學生最多的評價，究其原因，很多是因為在新授課時教師本身忽視了概念課的教學，對于概念一帶而過，課堂上重練習輕理論。目前有一種新課模式就是：概念5分鐘，例題、練習一節課，這樣的課堂短期內可能學生做題效果還不錯，但對于學生數學基本素養的培養是極其不利的。本文結合《數系的擴充》這一課題，談談這節課的設計及感想。

一、背景分析

《普通高中數學課程標準》中提道：在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系。

本節是蘇教版數學選修2-2第三章第一節，復數的引入實現了中學階段數的概念的最后一次擴充。本節課是該章的起始課、基礎課，是一節典型的概念課，在教學中起著承上啟下的作用，通過讓學生回憶數系擴充的過程，能使學生對數的概念有一個初步完整的認識，從而體會到虛數引入的必要性和合理性，學生通過理解復數的相關概念，掌握復數相等的充要條件，為后續復數四則運算的學習奠定基礎。

二、設計思路

1．問題情境

從一個簡單的問題“求兩個數使得它們的和為10，積為21”開始，然后把“積改為22,再改成40”，將意大利數學家卡爾丹遇到的問題進行改編，用熟悉的解方程問題作為情境，從直接看出根到用求根公式再到Δ＜0，方程無實根，讓學生體會數的概念的擴充過程，感受到現有的數不夠用了，形成認知沖突，意識到實數系需要擴充，充分激發其對研究新知識的欲望。

2．虛數單位i的引入

虛數單位i的引入是本節的一個難點，這也是數學發展過程中一次重要的“發明”，而要突破這一難點，就需要學生回顧之前每一次數系擴充的過程，并且認識到在數系擴充過程中所遵循的一般性原則，然后通過類比，才能夠讓i的出現水到渠成。

結合以上解方程環節中出現的數，讓學生回顧學習過的數集有哪些，圍繞三個問題：“1.每一次數系的擴充是怎么做的？2.數系擴充的原因是什么？3.引入新數后，對它的運算又是如何規定的？”進行小組討論并匯報。

設計意圖：復習回憶學生已經學習過的數集，在此基礎上幫助學生再次建構數系的擴充過程，這是本節課的生長點。組織學生小組討論，對前幾次數系的擴充進行梳理，讓學生感受到數系擴充既是數學內部矛盾的需要，也是社會實際的需求，讓學生體會數的概念發展的合理性和必需性。總結概括出數系擴充的一般原則：（1）引入新數；（2）在新的數集中，原有的運算及其性質仍然適用，同時解決了某些運算在原來的數集中不是總可以實施的矛盾，為下面數系的進一步擴充做好理論準備。

3．建構數學

通過問題：“在引入i后，它在原來的實數集中是孤家寡人啊，要怎樣讓它去跟實數建立起關系呢？”再次類比每次數系擴充的原則，得到對虛數單位的規定：①i2=-1；②實數可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立。有了這個規定，可以讓學生自己寫出一些新的數，鼓勵其多用原來的數和i進行加減乘除運算，最后把這些數從特殊到一般進行歸納，得到復數的一般形式。

在這個過程中，學生一開始會比較“保守”，只會寫出如“2i，3-i，5+i…”這樣的數，教師要耐心等待，也可以適時地自己寫出一個數，學生的思路一旦打開后，就不難寫出更加豐富多彩的數來了，如這時候，老師可以引導其總結以上數的結構特征，當然對于學生寫出的一些“特別”的數，可以適當化簡，有的還需要進行解釋，如“lni”，我們高中數學階段研究的對數中，真數都是大于0的實數，當學生親身體驗過這一過程并把心中的疑惑消除后，復數的一般形式a+bi（a,b∈R）便會很容易地從特殊中提取出來了，這時候再給出實部、虛部的定義，復數的分類，最后再進行一些例題和練習的訓練來鞏固對概念的理解和辨析。

三、課后反思

本節課是很多公開課以及賽課常選的課題，這節課的難點是在虛數i的引入這個環節上。

教材中給出了兩條平行的線索來敘述數系的擴充過程：1.社會發展的需要；2.數學內部的矛盾驅使。在公開課中常見的引入是兩條線索齊頭并進，一邊從社會發展、生產的需要來看，人們是怎樣經歷從N→Z→Q→R的擴充，一邊再由數學內部來看，如方程x+4=0在自然數集中無解，為此引入負數，方程3x-2=0在整數集中無解，為此引入分數，方程x2-2=0在有理數集中無解，為此引入無理數，最終將數集擴充到了實數集。這樣的兩條線均衡用力的方式，會削弱情境的價值，不能突出主題，讓學生有種被推著走的感覺。

“問題是數學的心臟”，所以，用問題串的方式來作為概念課引入的情境設置不失為一個好的模式。認真重視概念課的教學，讓學生多經歷、多感悟，參與“再創造”，才能使知識的獲得更加有效和長效。