水平井雙封隔器管柱力學(xué)分析

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(西安石油大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710065)

在分層注水和分層壓裂等油田增產(chǎn)措施中，井下管柱需要連接多個(gè)封隔器以實(shí)現(xiàn)油氣井分段分層[1]。由于封隔器坐封工藝的影響，井下封隔器坐封時(shí)會(huì)使管柱發(fā)生變形。這種變形被封隔器約束后會(huì)轉(zhuǎn)化為管柱的軸向應(yīng)力，嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響管柱的強(qiáng)度。為了確保井下管柱及后面下入的井下工具在井下作業(yè)中的安全性，有必要從理論上分析和了解初始狀態(tài)下，封隔器坐封前后對(duì)管柱受力和長(zhǎng)度的影響。

20世紀(jì)60年代，Lubinski[2]首次對(duì)帶有單封隔器的管柱進(jìn)行了受力和變形分析，他運(yùn)用胡克定律和管柱螺旋屈曲理論研究了單封隔器管柱在4種效應(yīng)下的軸向變形；20世紀(jì)80年代，Hammerlindl[3-4]進(jìn)一步研究了雙封隔器管柱的受力及變形問(wèn)題；2001年，李欽道[5-6]等人對(duì)單封隔器管柱受力與變形進(jìn)行了系統(tǒng)性的分析討論。之后還有許多國(guó)內(nèi)外專家和學(xué)者對(duì)封隔器管柱進(jìn)行了研究。但是，他們大部分只以直井中的封隔器管柱以及插管式封隔器為研究對(duì)象，研究?jī)?nèi)容比較單一[7-10]。2014年，呂占國(guó)[11]以水平井封隔器管柱及水力壓縮式封隔器為研究對(duì)象，對(duì)多封隔器管柱進(jìn)行了力學(xué)分析，但是，他只研究了各個(gè)封隔器坐封時(shí)對(duì)管柱受力及變形的影響，而忽略了各個(gè)封隔器之間的相互作用。本文以水平井雙封隔器管柱及水力壓縮式封隔器為研究對(duì)象，綜合考慮各個(gè)封隔器坐封時(shí)對(duì)管柱受力及變形以及對(duì)其余已經(jīng)坐封的封隔器的影響，推導(dǎo)了在井口壓力的作用下，封隔器對(duì)管柱的軸向力、軸向應(yīng)力計(jì)算公式，以及在沒(méi)有封隔器約束時(shí)管柱的變形量計(jì)算公式。

1 研究對(duì)象和基本假設(shè)

本文以水平井雙封隔器管柱、水力壓縮式封隔器及單一尺寸管柱為研究對(duì)象，所做的基本假設(shè)有：

1) 井內(nèi)充滿液體。

2) 不考慮流體摩阻影響。

3) 不考慮封隔器管柱自重力影響。

4) 不考慮水平段管柱屈曲變形影響。

5) 封隔器坐封時(shí)采用逐級(jí)逐次投球加壓的方式。

水平井雙封隔器管柱結(jié)構(gòu)如圖1所示。從靠近井底的封隔器往左依次編號(hào)，分別為封隔器Ⅰ、封隔器Ⅱ。彎曲段末端到封隔器Ⅰ的管柱長(zhǎng)度為L(zhǎng)；封隔器Ⅰ、Ⅱ之間的管柱長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，為第1段管柱；封隔器Ⅱ到彎曲段末端的管柱長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，為第2段管柱。h為井口到水平段管柱的垂深。

圖1 水平井雙封隔器管柱示意

2 封隔器Ⅰ坐封時(shí)管柱力學(xué)分析

當(dāng)封隔器Ⅰ坐封時(shí)，從井口投入1個(gè)直徑較小的鋼球，落入封隔器Ⅰ的球座上，然后在井口施加壓力p1。由拉梅公式可知，井口壓力將會(huì)引起水平段管柱徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力[12]：

(1)

(2)

式中：p1i為井口壓力p1引起的井底管柱內(nèi)壓，MPa，p1i=p1+ρigh，ρi為管柱內(nèi)液體密度，kg/m3；h為水平井垂深，m；po為井底管柱外壓，MPa；D為管柱外徑，m；d為管柱內(nèi)徑，m；di為管柱橫截面中任一點(diǎn)直徑，m。

在上述兩個(gè)應(yīng)力的作用下管柱會(huì)產(chǎn)生徑向變形，從而會(huì)使管柱產(chǎn)生軸向變形。根據(jù)廣義胡克定律，水平段管柱的軸向應(yīng)變?yōu)閇13]：

(3)

式中：E為管柱的彈性模量，MPa；μ為管柱的泊松比，一般取μ=0.3；σ1z為水平段管柱的軸向應(yīng)力，MPa。

則水平段管柱的軸向變形為：

(4)

假設(shè)水平段管柱沒(méi)有封隔器Ⅰ的約束，即管柱不受軸向力作用時(shí)，管柱會(huì)發(fā)生自由變形，此時(shí)管柱的軸向應(yīng)力σ1z=0。

由式(4)得水平段管柱的軸向變形為：

(5)

由于水平段管柱兩端受到彎曲段摩阻和封隔器Ⅰ的約束，所以水平段管柱的軸向變形將會(huì)被限制，從而使封隔器Ⅰ對(duì)管柱作用1個(gè)軸向約束力。這個(gè)約束力使管柱的變形量為0，即ΔL=0。

由式(4)得水平段管柱的軸向應(yīng)力為：

(6)

相應(yīng)的軸向力為：

(7)

式中：As為管柱的橫截面積，m2。

3 封隔器Ⅱ坐封時(shí)管柱力學(xué)分析

當(dāng)封隔器Ⅱ坐封時(shí)，從井口投入一個(gè)直徑較大的鋼球落入封隔器Ⅱ的球座上，然后在井口施加壓力p2，同樣，井口壓力將會(huì)引起第2段長(zhǎng)為L(zhǎng)2的管柱徑向應(yīng)力σ2r和環(huán)向應(yīng)力σ2θ。

在上述2個(gè)應(yīng)力的作用下，第2段管柱會(huì)產(chǎn)生徑向變形，從而會(huì)使管柱產(chǎn)生軸向變形。根據(jù)廣義胡克定律，第2段管柱的軸向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(8)

式中：σ2z為第2段管柱的軸向應(yīng)力，MPa。

則第2段管柱的軸向變形為：

(9)

由于第2段管柱兩端受到彎曲段摩阻和封隔器Ⅱ的約束，所以管柱的軸向變形將會(huì)被限制，從而使封隔器Ⅱ?qū)苤饔?個(gè)軸向約束力。這個(gè)約束力使第2段管柱的變形量為0，即ΔL2=0。

由式(9)得第2段管柱的軸向應(yīng)力為：

(10)

式中：p2i為井口壓力p2引起的井底管柱內(nèi)壓，MPa，p2i=p2+ρigh。

相應(yīng)的軸向力為：

(11)

現(xiàn)將水平段封隔器管柱簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，如圖2所示。圖2中，從左到右第1個(gè)約束為彎曲段摩阻對(duì)管柱的約束，第2個(gè)約束為封隔器Ⅱ?qū)苤募s束，第3個(gè)約束為封隔器Ⅰ對(duì)管柱的約束。

圖2 水平段封隔器管柱簡(jiǎn)化示意

假設(shè)去除封隔器Ⅰ、Ⅱ的約束，則在井口壓力p2的作用下，第2段管柱會(huì)產(chǎn)生自由變形，此時(shí)第2段管柱的軸向應(yīng)力σ2z=0。

由式(9)得第2段管柱的軸向變形為：

(12)

圖3 去除封隔器2約束示意

圖3中，F(xiàn)21為彎曲段摩阻對(duì)管柱的軸向力，F(xiàn)22為封隔器Ⅰ對(duì)管柱的軸向力。若以向右的軸向力為正方向，則由靜力學(xué)平衡條件得：

F21-F2+F22=0

(13)

因?yàn)樯鲜龇匠讨杏幸粋€(gè)已知力F2，2個(gè)未知力F21和F22，但是只有1個(gè)方程，所以此簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)。

根據(jù)以上分析得到變形協(xié)調(diào)方程：

(14)

物理方程：

(15)

(16)

將物理方程(15)、(16)帶入變形協(xié)調(diào)方程(14)得：

F22L1-F21L2=0

(17)

聯(lián)立方程(13)和(17)解之得：

(18)

(19)

從而可知，當(dāng)封隔器Ⅱ的約束存在時(shí)，彎曲段摩阻對(duì)管柱產(chǎn)生的約束軸向力大小為F21，方向與圖3中所示方向相反；封隔器Ⅰ對(duì)管柱產(chǎn)生的約束軸向力大小為F22，方向與圖3中所示方向相反。

由以上分析可知，當(dāng)封隔器Ⅱ坐封時(shí)，封隔器Ⅰ又會(huì)對(duì)管柱產(chǎn)生1個(gè)向左的軸向力，從而使封隔器1對(duì)水平段管柱的軸向力變?yōu)椋?/p>

(20)

4 管柱強(qiáng)度校核

由以上分析可知，當(dāng)2個(gè)封隔器都坐封之后，彎曲段末端到封隔器Ⅱ之間的管柱段所受到的軸向應(yīng)力為：

(21)

封隔器Ⅰ、Ⅱ之間的管柱段所受到的軸向應(yīng)力為：

(22)

應(yīng)用材料力學(xué)中的第四強(qiáng)度理論進(jìn)行校核：

(23)

其中，校核長(zhǎng)為L(zhǎng)1的管柱段時(shí)，式(23)中徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力分別由式(1)、(2)求得，軸向應(yīng)力由式(22)求得；校核長(zhǎng)為L(zhǎng)2的管柱段時(shí)，將式(1)、(2)中的p1i用p2i替換即可求得式(23)中的徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力，軸向應(yīng)力由式(21)求得。

5 算例分析

水平井垂深h為4 000 m，從管柱彎曲段底部到封隔器Ⅱ的長(zhǎng)度L2為600 m，封隔器Ⅰ、Ⅱ之間的管柱長(zhǎng)度L1為400 m，管柱外徑D為88.9 mm，內(nèi)徑d為76 mm，泊松比μ為0.3，彈性模量E為2.1×1011Pa，許用應(yīng)力為758 MPa，完井液密度為1.2×103kg/m3，井底外壓為20 MPa，2個(gè)封隔器坐封時(shí)井口壓力分別為10 MPa、15 MPa。

5.1 封隔器Ⅰ坐封時(shí)管柱受力及變形計(jì)算

由式(5)得當(dāng)沒(méi)有封隔器Ⅰ約束時(shí)水平段管柱的軸向變形為：

由式(6)得水平段管柱的軸向應(yīng)力為：

由式(7)得水平段管柱所受軸向力為：

5.2 封隔器Ⅱ坐封時(shí)管柱受力及變形計(jì)算

由式(12)得當(dāng)沒(méi)有封隔器Ⅰ、Ⅱ約束時(shí)水平段管柱的軸向變形為：

由式(10)得第2段管柱的軸向應(yīng)力為：

由式(11)得封隔器Ⅱ?qū)苤妮S向力為：

由式(19)得第3個(gè)約束對(duì)管柱的軸向力為：

由式(20)得，當(dāng)封隔器Ⅱ坐封時(shí)，封隔器Ⅰ對(duì)水平段管柱的軸向力變?yōu)椋?/p>

5.3 管柱強(qiáng)度校核

1) 長(zhǎng)為L(zhǎng)1的管柱段強(qiáng)度校核。

由式(1)、(2)求得管柱徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力分別為：

σ1r=-36.78 MPa，σ1θ=203.14 MPa

由式(22)求得管柱軸向應(yīng)力為：

由式(23)求得管柱等效應(yīng)力為：

σ4=218.65 MPa<758 MPa

因此第1段管柱安全。

2) 長(zhǎng)為L(zhǎng)2的管柱段強(qiáng)度校核。

由式(1)、(2)求得管柱徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力分別為：

σ2r=-38.99 MPa，σ2θ=232.49 MPa

由式(21)求得管柱軸向應(yīng)力為：

由式(23)求得管柱等效應(yīng)力為：

σ4=235.38 MPa<758 MPa

因此第2段管柱安全。

6 結(jié)論

1) 由于水力壓縮式封隔器坐封條件的影響，封隔器在井下坐封時(shí)會(huì)使管柱產(chǎn)生徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力，從而使管柱產(chǎn)生軸向變形。

2) 由于封隔器對(duì)管柱有約束，限制了管柱的軸向變形，所以此軸向變形會(huì)轉(zhuǎn)化為封隔器對(duì)管柱的軸向約束力，從而在管柱上產(chǎn)生軸向應(yīng)力。

3) 后坐封封隔器在坐封時(shí)會(huì)使它到彎曲段之間的管柱上的軸向應(yīng)力增加，而使它到先坐封封隔器之間的管柱上軸向應(yīng)力降低。所以，危險(xiǎn)截面出現(xiàn)在最后坐封的封隔器與彎曲段管柱之間，而靠近井底的管柱段軸向應(yīng)力減小，管柱趨于安全。

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