位移加載時的塑性優(yōu)化設(shè)計中改進的盤格抑制方法的有效性研究

摘 要：針對位移加載時的非線性材料結(jié)構(gòu)，本文采用ESO方法進行塑性拓撲優(yōu)化設(shè)計。通過對算例的數(shù)值模擬結(jié)果進行分析，驗證了改進的棋盤格抑制方法在位移加載時的有效性。為相關(guān)研究人員在以后進行有關(guān)問題的研究時，提供一定的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：位移加載，塑性設(shè)計，棋盤格抑制方法，有效性

1 引言

結(jié)構(gòu)的輕量化研究現(xiàn)如今已變得日益重要，尤其在汽車、航空航天等領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)自重的減小，就意味著有更多的承載空間。拓撲優(yōu)化設(shè)計是在結(jié)構(gòu)的初始拓撲關(guān)系未知的情況下，尋求結(jié)構(gòu)的組成材料在設(shè)計空間的拓撲形式，以實現(xiàn)最佳傳力路徑，從而達到節(jié)約材料用量、減輕結(jié)構(gòu)自重的目的。拓撲優(yōu)化很大程度上能夠保證結(jié)構(gòu)后續(xù)的尺寸和形狀優(yōu)化在初始拓撲最優(yōu)的情況下進行，對于所設(shè)計產(chǎn)品的有效性往往具有決定性意義[1，2]。

目前對于線彈性材料的拓撲優(yōu)化研究已經(jīng)很多，H.A. Eschenauer等[1]和M.P. Bendsoe等[3]給出了比較詳盡的論述。對于非線性優(yōu)化設(shè)計的研究還相對較少，文獻[4， 5]考慮結(jié)構(gòu)的動力學響應(yīng)特性，對防撞擊結(jié)構(gòu)進行了非線性優(yōu)化設(shè)計，得到了更符合實際的拓撲構(gòu)型。

但上述文獻甚至現(xiàn)有的大多數(shù)文獻所進行的非線性優(yōu)化研究，僅考慮了力加載的情形，未考慮位移加載的情形。然而，對于某些結(jié)構(gòu)的設(shè)計，比如防撞結(jié)構(gòu)，考慮位移加載的情形會更符合實際。在這方面，X. Huang等[6]采用改進的BESO （Bidirectional Evolutionary Structural Optimization）方法進行了塑性優(yōu)化設(shè)計研究，得到了優(yōu)于只考慮材料線性時的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。

棋盤格是采用固定有限元網(wǎng)格進行拓撲優(yōu)化時在優(yōu)化結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，使得優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)單元呈現(xiàn)出類似棋盤格式的排列，從而造成結(jié)構(gòu)形狀的提取及制造都比較困難，因此在拓撲優(yōu)化中應(yīng)盡量避免[7]。棋盤格的產(chǎn)生本質(zhì)上來說是數(shù)值誤差造成的，Li等[8]專門針對ESO（evolutionary structural optimization）法提出了一種簡單實用的棋盤格抑制方法，其核心是盡可能的校正有限元近似所產(chǎn)生的數(shù)值誤差從而抑制棋盤格的出現(xiàn)。文獻[9]提出了一種靈敏度高階再分配方法，對棋盤格的抑制也具有較好的效果。但文獻[8，9]并沒有從一般意義上給出權(quán)重因子的解析表達，從而使棋盤格抑制方法在實際編程應(yīng)用時受限。文獻[7]在文獻[8]的基礎(chǔ)上針對權(quán)重系數(shù)的計算，提出了物理意義明確且更具一般性的公式，并將該方法應(yīng)用到了力加載情形下的非線性材料的拓撲優(yōu)化，得到了較好的抑制效果。但這種改進的棋盤格抑制方法是否同樣適用于位移加載時的情形，仍需作進一步驗證。

本文采用ESO法，對位移加載情形下的非線性材料結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，通過對數(shù)值算例的分析，驗證了改進的棋盤格抑制方法在位移加載時的塑性優(yōu)化設(shè)計中的有效性，為以后相關(guān)學者在進行位移加載的塑性優(yōu)化設(shè)計研究時，提供一定的理論參考。

2 剛度優(yōu)化的數(shù)學模型

結(jié)構(gòu)剛度是結(jié)構(gòu)的一個重要性能指標，反映結(jié)構(gòu)在一定載荷條件下抵抗變形的能力。以材料用量為約束、以最大化結(jié)構(gòu)剛度（即最小化結(jié)構(gòu)柔度）為目標的優(yōu)化是拓撲優(yōu)化研究中最常見的一種類型[10]。在材料用量約束條件下，剛度優(yōu)化的數(shù)學模型為：

式中C為結(jié)構(gòu)柔度，F(xiàn)為節(jié)點載荷矢量，U為節(jié)點位移矢量，Vi為第i個單元的體積，V*為給定的材料用量，δi 為設(shè)計變量（表示第i個單元的存在狀態(tài)），n為離散結(jié)構(gòu)的單元總數(shù)。結(jié)構(gòu)的塑性設(shè)計未被反映在優(yōu)化模型中，而是反映在有限元的迭代計算中。

3改進的棋盤格抑制方法有效性的算例驗證

算例采用文獻[7]提出的改進棋盤格抑制方法，以驗證該方法在位移加載情形下的有效性。

算例：待優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖1，為一矩形橫截面的簡支梁，橫截面尺寸為100mm×10mm，其它幾何尺寸如圖所注。在梁底部的中間位置施加位移載荷u。本例中材料模型仍取雙線性材料模型，如圖2所示，彈性模量E0=210GPa，泊松比μ=0.3 ，硬化模量Er=2445MPa，屈服應(yīng)力σs=275 MPa。將設(shè)計域劃分成1600個面積相同的正方形單元，單元邊長5mm，單元類型為四節(jié)點的PLANE42。

本算例進行了未采用抑制方法和采用改進的抑制方法的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化， u分別取1mm、1.5mm、2mm、2.5mm、3mm、3.5mm、4mm，所得的拓撲構(gòu)型分別如圖3 （a）～（g）、4 （a）～（g）所示。

分析圖3（a）～（g）、6（a）～（g）各拓撲構(gòu)型圖可知，雖然圖3各圖并沒有明顯的棋盤格式，但圖3（a）、（b）、（g）存在單節(jié)點連接單元或微小孔洞，這些在結(jié)構(gòu)設(shè)計中都應(yīng)該避免，并且圖3中結(jié)構(gòu)內(nèi)部構(gòu)型比較復(fù)雜，不易制造。對圖4各構(gòu)型圖分析可知，拓撲構(gòu)型相比于圖3比較簡單，結(jié)構(gòu)的提取和制造都相對容易，且不存在單節(jié)點連接的單元和內(nèi)部微小孔洞。此外，除圖4（a）外，圖4（b）～（g）的各圖具有相似的拓撲構(gòu)型（但不完全相同，這是由于塑性設(shè)計對所給定的位移載荷有依賴關(guān)系[11]），而圖3（a）～（g）則無此規(guī)律。這也從側(cè)面說明了采用改進的抑制方法所得到的拓撲構(gòu)型的合理性。據(jù)上分析可知，改進的棋盤格抑制方法對于采用位移加載方式進行的非線性優(yōu)化設(shè)計也具有很好的抑制效果，顯示了該棋盤格抑制方法的有效性。

4結(jié)論

本文采用ESO方法對位移加載情形下的非線性材料結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，并采用文獻[7]提出的改進的棋盤格抑制方法進行棋盤格的抑制，驗證了該改進的棋盤格抑制方法的有效性。本文的驗證性研究可以為以后的相關(guān)研究人員在進行有關(guān)位移加載情形的塑性優(yōu)化設(shè)計的研究時，提供一定的參考依據(jù)。

參考文獻：

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作者簡介：

豆麟龍，工程力學碩士，主要研究方向工程結(jié)構(gòu)的力學性能分析，現(xiàn)任職于四川建筑職業(yè)技術(shù)學院。endprint