矩形截面永磁環構成的Halbach永磁軸承結構優化

田錄林，吳少華，田亞琦

（1.西安理工大學水電學院，陜西西安 710048；2.重慶江北中學，重慶 400714）

Halbach[1-2]陣列是用少量永磁體產生氣隙強磁場的一種新型永磁體結構，在永磁軸承領域具有廣闊的應用前景[3-5]。目前，永磁軸承的研究主要集中在雙環永磁軸承，其磁力計算往往采用一些復雜的數值算法或經驗公式[6-8]。陳殷等[6]先根據安培分子環流假說，用面電流法對矩形永磁體的空間磁場等效，從而推導出其空間磁場的表達式；再通過疊加原理和坐標變換，得到了Halbach陣列磁場的計算公式，可是并沒有建立該陣列的磁力計算公式。徐飛鵬、李鐵才等[7-8]對不同磁化方向的矩形截面永磁環組成的Halbach永磁軸承軸向磁力進行對比分析，得出在滿足受力和剛度要求時90°旋轉磁化方案是更易于實現的結論，但該文僅僅是仿真論證，既沒有便于工程計算的磁力解析模型，也沒有涉及永磁軸承的結構優化。在Halbach永磁軸承的磁力研究方面存在的主要問題是對Halbach永磁軸承的磁力研究基本都采用數值仿真算法，缺少便于工程技術人員掌握并能進行快速計算的磁力解析模型；在Halbach永磁軸承組裝過程中，待安裝磁環與已疊裝磁環間的磁力大小相差較大，造成安裝困難。安裝Halbach永磁軸承時，待安裝的磁環所受磁力相差較大的原因與構成Halbach永磁軸承的矩形磁環截面結構尺寸有關，因而對其結構進行優化就十分必要。該文基于田錄林[9-11]、艾訓鵬[11]等的相關文獻首先建立由矩形截面永磁環構成的Halbach永磁軸承軸向磁力解析模型，接著建立待安裝磁環所受磁力相差最小的優化目標函數及其約束條件，再采用布谷鳥搜索（Cuckoo search，CS）算法優化結構尺寸，最后用ANSYS軟件仿真驗證。本文旨在建立便于工程計算的由矩形截面永磁環構成的Halbach永磁軸承轉子裝配時，待裝矩形磁環所受軸向磁力解析模型和便于Halbach永磁軸承裝配的待裝磁環受力差別最小的磁環尺寸比例關系。

1 Halbach永磁軸承轉子待裝磁環所受軸向磁力解析模型

1.1 兩不同矩形截面永磁體軸向磁力公式

單位長度的兩細條形永磁體之間軸向磁力[12-13]：

縱向長度為L的兩個同向磁化的不同矩形截面永磁體參數如圖1所示。箭頭為永磁體磁化方向。β1、β2分別為j1和j2與X軸方向夾角；θ為rPM與X軸正方向夾角[14]。

圖1 兩個不同矩形截面永磁體Fig.1 Two PMs of different rectangular section

式中：

式（2）和式（3）是縱向長度為的同向磁化的不同矩形橫截面永磁體磁力公式。適用任意磁化方向的兩不同矩形截面永磁體的軸向磁力公式為

式中：

1.2 矩形截面永磁環構成的HALBACH永磁軸承轉子待裝磁環所受軸向磁力解析模型

圖2所示Halbach永磁軸承的定子、轉子分別由5個矩形截面永磁環組成，其中a和e（b和d）為兩個不同矩形截面永磁環的徑（軸）向尺寸，定子、轉子相對磁環尺寸相同。本文建立轉子磁環安裝時所受的軸向磁力。

圖2 矩形截面永磁環構成的Halbach永磁軸承結構圖Fig.2 Structure chart of Halbach PM bearing constituted by rectangular section PM rings

根據圖2所示，按編號從小到大，從左向右依次安裝轉子磁環，分析待裝磁環所受的軸向磁力。

1）當β1+β2=0、β1+β2=π 時分別代入式（4）得軸向磁力Fz：

式中，當β1+β2=π 時取“+”號、當β1+β2=0或 2π時取“-”號。

1)貯養穴的位置和數量。貯養穴應位于根的集中分布區，一般在樹冠投影邊緣向內50～70厘米處。數量根據樹冠大小及土壤條件決定，貴州山地果園7～10年生冠徑為3.5～4米，設4個穴，成年樹設6～8個穴。

2）當時分別代入式（4）得軸向磁力：

式中，當β1+β2=π/2時取“+”號；當β1+β2=-π/2時取“-”號。

式（5）和（6）是縱向長度為的兩平行矩形截面永磁體的軸向磁力公式，亦可用于計算兩矩形截面永磁環間的軸向磁力。則安裝第i個永磁環時，第i個永磁環所受軸向磁力解析模型如下：

式中：c=0（圖1所示磁環距z軸的距離），i∈[2，n]n為轉子總的永磁環個數；

2 永磁軸承結構優化

2.1 優化的目標函數

為了實現Halbach永磁軸承裝配的待裝磁環受力差別最小的目標，該文以5個磁環構成轉子為例建立待裝磁環受力差別最小的目標函數為：

其中:

考慮磁環加工工藝及安裝的方便性，磁環尺寸取值范圍如下（約束條件）：

式中：Fz2，Fz3，Fz4、Fz5表示安裝第i個永磁環時所受的軸向磁力。

2.2 CS優化算法

該文基于布谷鳥優化算法對上文的目標函數進行尋優計算。布谷鳥算法的思想是：布谷鳥繁殖時將蛋產在宿主巢中讓其孵化，并采用兩種途徑更新鳥巢位置：1）鳥蛋被發現后，會被宿主擠出鳥巢或者宿主棄舊巢覓新巢，因此布谷鳥必須重新尋巢，此局部搜索過程可用發現概率Pa表示。2）布谷鳥采用具有全局搜索功能的萊維飛行模式尋巢。

可用以下3點理想化條件概括CS算法[15-16]：

1）每只布谷鳥一次只產一枚蛋，并隨機選擇鳥巢放置它。

2）最好的鳥巢將保留至下一代，且可利用的宿主鳥巢數量n不變。

3）宿主發現外來鳥蛋的概率為Pa。

2.3 CS優化結果

該文運用MATLAB2010軟件編寫CS算法程序，通過搜索軸向磁力分布函數η的最小值，尋得其最優結構。該算例參數設置如下：CS算法鳥巢種群數量為n=25，布谷鳥鳥蛋被宿主鳥發現的概率為Pa=0.25。當算法進行10 000次迭代且精度達到10-5后終止。η函數的維度設定為4維，萊維常數為1.5，磁環長度=1 000 mm，徑向參數a、和e限定在[20，30]mm，軸向參數b和d限定在[15，25]mm。算法優化結果：

3 ANSYS仿真驗證解析模型

該文選用稀土NdFeB作為永磁軸承材料，其性能尺寸：Br=1.13T，矯頑力Hc=800 kA/m，相對磁導率為μr=1.124，磁環長度=1 000 mm。

將結構參數代入式（7）得到的解析模型計算值，再代入式（8）得到待裝磁環受力差別最小的目標函數計算值，并與其ANSYS仿真值對比分析。下文圖中RM、RA分別為待裝磁環受力差別最小的目標函數計算值η、ANSYS仿真所得的待裝磁環受力差別最小的目標函數值。具體計算結果如下：

待裝磁環受力差別最小的目標函數值與圖2結構參數的關系

1）待裝磁環受力差別最小的目標函數值η與參數a的關系

e=27.50 mm，b=19.30 mm，d=18.81 mm，a[20，30]時待裝磁環受力差別最小的目標函數值η與仿真值如圖3所示。

由圖3可以看出：η隨著結構參數a的增大呈現先大幅減小后劇烈增加的趨勢，且在a=27.5 mm處取得最小值，其與ANSYS仿真結果的最大誤差為15.38%，最小誤差為0.96%，平均誤差為7.33%。

圖3 待裝磁環受力差別最小的η值與仿真值對比Fig.3 Comparison of the η value of the to-be-installed PM ring of minimum axial magnetic force difference with the simulation value

2）待裝磁環受力差別最小的目標函數值η與參數e的關系

a=27.50 mm，b=19.30 mm，d=18.81 mm，e[20，30]時待裝磁環受力差別最小的目標函數值η與仿真值如圖4所示。

圖4 待裝磁環受力差別最小的η值與仿真值對比Fig.4 Comparison of the η value of the to-be-installed PM ring of minimum axial magnetic force difference with the simulation value

由圖4可以看出：η隨著結構參數e的增大呈現先緩慢減小后大幅增加的趨勢，且在e=27.50 mm處取得最小值，其與ANSYS仿真結果的最大誤差為19.28%，最小誤差為0.27%，平均誤差為8.46%。

3）待裝磁環受力差別最小的目標函數值η與參數b的關系

a=27.50 mm，e=27.50 mm，d=18.81 mm，b[15，25]時待裝磁環受力差別最小的目標函數值η與仿真值如圖5所示。

由圖5可以看出：η隨著結構參數b的增大呈先急劇減小后不斷增加的趨勢，且在b=19.30 mm處取得最小值，其與ANSYS仿真結果的最大誤差為10.27%，最小誤差為1.98%，平均誤差為4.97%。

圖5 待裝磁環受力差別最小的η值與仿真值對比Fig.5 Comparison of the η value of the to-be-installed PM ring of minimum axial magnetic force difference with the simulation value

4）待裝磁環受力差別最小的目標函數值η與參數d的關系

a=27.50 mm，e=27.50 mm，b=19.30 mm，d[15，25]時待裝磁環受力差別最小的目標函數值η與仿真值如圖6所示。

圖6 待裝磁環受力差別最小的η值與仿真值對比Fig.6 Comparison of the η value of the to-be-installed PM ring of minimum axial magnetic force difference with the simulation value

圖7 ANSYS仿真圖Fig.7 The simulation diagram of ANSYS

由圖6可以看出：η隨著結構參數d的增大呈先緩慢后逐步增加的趨勢，并在d=18.81 mm取得最小值，其與ANSYS仿真結果（圖7）的最大誤差為11.72%，最小誤差為1.98%，平均誤差為7.06%。

4 結論

該文建立了由矩形截面永磁環構成的Halbach永磁軸承轉子待裝磁環所受軸向磁力解析模型，并通過CS算法求出了便于Halbach永磁軸承裝配的待裝磁環受力差別最小的磁環尺寸比例關系，ANSYS仿真驗證了該文解析模型及優化結果的正確性。對比分析結果表明：η值隨各結構參數增加都呈先減小后增大的趨勢，都在最優結構時取得最小值，且a、e（b、d）變化時η的變化趨勢基本相同。另外，優化結果及其較小的誤差亦表明采用CS算法優化永磁軸承結構是行之有效的。

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