如何應對“應用數學處理物理問題的能力”

摘要：數學作為一門工具學科在物理高考中要求很高，關注一下高考物理考試說明即可得出答案來。要求是：能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論；必要時能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析（選自考試說明）。為此我們在平時的教學與學習的過程中要倍加關注，以便在高考中能夠得心應手地運用數學解決物理問題。

關鍵詞：高考；數學知識；物理能力

一、 高考說明中最重要的能力要求——應用數學處理物理問題的能力

高考物理要求考查的能力主要包括五項，其中第四項要求即是“應用數學處理物理問題的能力”，其重要性可見一斑。

眾所周知，數學是學好物理的工具學科。數學的思想、方法和知識始終聯系著整個高中物理的研究和發展過程，如物理量的定義、概念和規律（定律、定理）的準確表述和表達，能夠運用數學語言精確、簡潔明了地來完成。對學生的形象思維及邏輯推理能力的提升提供了不可替代且行之有效的方法，為定量地研究和分析物理問題提供了強有力的工具。

二、 高考中常用的數學知識都有哪些

“應用數學處理物理問題的能力”這一要求主要表現在如下幾個方面。

第一，數學圖像在物理問題中的體現；第二，幾何知識在物理中的運用；第三，極限法；第四，函數的極值；第五，微元法。另外三角函數的運用、不等式的運用、導數的運用等數學知識也經常在物理問題中涉及。如何能夠靈活運用這些數學知識來解決物理問題呢？筆者在多年的教學及高考復習指導中提煉出自己的幾點感悟，現與同仁們共享。

三、 案例分析與應對建議

（一） 運用數學圖像解決物理問題

案例一：如圖1所示，在坐標軸Ox放上一個點電荷Q，坐標軸上A、B兩點的坐標分別為2.0m和5.0m。在點電荷Q電場中，A點放置一個帶正電的試探電荷，B點放置一個帶負電的試探電荷，現測得在A、B兩點的試探電荷受到的電場力方向都跟x軸的正方向相同，電場力的大小跟試探電荷所帶電荷量大小的關系如圖乙中直線A、B所示，求：

（1）A點的電場強度的大小和方向；

（2）B點的電場強度的大小和方向；

（3）試判斷點電荷Q的電性，并確定點電荷Q的位置坐標。

解析：（1）由圖可知，A點的電場強度EA=Fq=40.1N/C=40N/C，方向指向x軸正方向。

（2）同理B點的電場強度EB=Fq=2.5N/C，方向指向x軸負方向。

（3）由題意可知，點電荷Q應位于A、B兩點之間，帶負電荷。設點電荷Q的坐標為x，由點電荷的電場E=kQr2可知EAEB=（5-x）2（x-2）2=402.5

解得：x=2.6。（另解x=1舍去）

點評：可以說圖像問題滲透到高中物理的方方面面，特別是在探究性的實驗中更是如此。同學們在遇到圖像問題時應從哪幾個方面來有序地思考呢？筆者認為應從以下五個方面來關注：第一要清楚坐標軸代表的物理量；第二關注圖線是直線（或折線）還是曲線；第三關注圖線與坐標軸的交點的意義；第四關注圖線的斜率意義；第五關注圖線與坐標軸所圍成的面積的意義。本題圖乙是Fq圖像，圖線形狀為直線，過坐標原點，故為正比例函數圖像。其斜率代表靜電場的電場強度這一物理量。

（二） 運用數學歸納法解決物理問題

案例二：如圖2所示，質量為m的機車頭拖著質量均為m的n節車廂在平直軌道上以速度v勻速行駛，設機車頭和各節車廂受到的阻力均為f，行駛中后面有一節車廂脫落，待脫落車廂停止運動時后面又有一節車廂脫落，各節車廂按此方式依次脫落，整個過程中機車頭的牽引力保持不變，問：

（1）最后面一節車廂脫落后，機車頭和剩下的車廂的加速度是多大？

（2）最后面一節車廂脫落后，當它停止運動時，機車頭和剩下的車廂的速度是多大？

（3）全部車廂脫落并停止運動時，機車頭的速度是多大？

解析：（1）由牛頓第二定律可得：

F-nf=nma，a=F-nfnm=fnm

（2）由速度公式可得：

v1=v+a1t1=v+fnm×mvf=1+nnv

（3）當第二節車廂脫離時：

v2=v1+a2t2=v1+2f（n-1）m×mv1m=（1+n）n-1v1=（1+n）2n·（n-1）v

當第三節車廂脫離時：

v3=v2+a3t3=v2+3f（n-2）m×mv2m=（1+n）n-2v2=（1+n）3n·（n-1）·（n-2）v

歸納推理可得：

vn=（1+n）nn·（n-1）·（n-2）…·2·1=（1+n）nn！

點評：本題除了考查牛頓第二定律外，還運用了數學歸納法尋找通項公式，即第一節車廂脫離后的速度、第二節車廂脫離后的速度、第三節車廂脫離后的速度。在解決這類物理過程比較復雜的具體問題時，常從前幾次出發，類推出第n次的情況，然后用數學歸納法加以證明。此類題要求注意按照數學要求在書寫上的規范。

（三） 運用微元法解決物理問題

案例三：在人民教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書——物理1》中，第二章第三節勻變速直線運動的位移與時間的關系內容，將微元法的基本思想首次加以體現和運用，該教材在第38頁用4幅圖（如圖3所示）較準確和完整地介紹了微元法的基本思想。如圖甲為勻變速直線運動的速度圖像，因為同學們都非常熟悉運用勻速直線運動的速度圖像來求位移了——即利用矩形的面積求。圖乙將圖甲在t時間內的圖像分成5等份，每兩個位置之間的位移就近似等于以15t為寬、以速度為高的細高矩形面積，而5個矩形面積之和就可以粗略地表示整個運動過程的位移了。圖丙在圖乙的基礎上將各位置的時間間隔變得更小些，則這些矩形面積之和就能夠比較準確地表示整個運動的位移了。如果時間進行無限細分，則小矩形的面積就等于BC斜線下的直角梯形的面積——即整個運動過程的位移了。

微元法說白了就是將物理量或物理過程首先進行無限細分，然后再進行求和，與數學的微分、積分一樣的。眾所周知牛頓是偉大的物理學家，是經典物理的奠基人之一。然而當年牛頓在研究物理學時，由于數學計算工具的局限性轉而去研究數學，經過努力一舉創立了微積分，使得當時英國的數學水平領先于其他國家和地區很多。管中窺豹，略見一斑。由此可以看出數學與物理是密不可分的，對為什么在物理高考能力要求中應用數學處理物理問題的能力作為重頭戲也就不難理解了。

參考文獻：

[1]陳鑒深.數學方法在物理問題中的應用[EB/OL].www.jxteacher.com

[2]普通高中課程標準實驗教科書——物理1[M].北京：人民教育出版社，2004.

作者簡介：

臧立志，江蘇省蘇州市，蘇州大學附屬中學。endprint