三角函數最值問題的思考

許文捷

摘 要：三角函數是高中數學的重點和難點部分，三角函數的最值問題更是高考考查的熱點問題。基于此，筆者從三角函數的概念入手，分析了三角函數最值問題的解決方法，在具體例題的基礎上，介紹了利用三角函數單調性、三角函數的性質、均值定理以及數形結合思想解決最值問題的方法，希望通過此次研究提升三角函數最值問題的解題能力并為其他學生提供借鑒。

關鍵詞：三角函數；均值定理；數形結合

三角函數的最值問題是綜合性較強的題目，是對我們關于三角函數概念、圖形、性質以及相關公式等內容的全方位考察，更會凸顯出數學中的函數思想。三角函數最值問題在高考中出現的概率也比較高，我們需要認識到三角函數的重要性，積極突破三角函數學習的難點，從而在高考中取得較好的數學成績。

一、三角函數的概念

三角函數是數學教學中的重點內容，由于三角函數中涉及的知識點較多，因此許多學生在進行三角函數學習的過程中耗費了大量的時間，是我們學習過程中的學習難點。三角函數要求我們具有較強的邏輯思維能力以及知識的靈活應用能力，因此在考試過程中，三角函數成為考試的重點考察內容。另外，三角函數表達的意義較為抽象，因此學生在學習過程中常常因為沒有對題目進行深入理解導致最終的學習質量下降，針對這種情況，我們應在平時的學習過程中注意總結方法，在扎實掌握基礎知識的同時，在教師引導下積極進行有針對性的做題訓練。在此過程中，不斷加深對三角函數相關知識的認識，培養三角函數學習自信心。通過采用有效的訓練方法，逐步提高三角函數最值問題的解題能力[1]。

二、三角函數最值問題的解決方法

（一）利用三角函數的單調性解決最值問題

在利用單調性解決最值問題的過程中，主要通過以下兩種方式進行：第一種為利用二次函數的性質求最值，二次函數是學生學習數學階段的重點內容，二次函數圖形中具有明顯的數值變化，同時二次函數具有最大值、最小值以及明顯的單調性，加上二次函數的難度較小，所以我們可以利用二次函數解決三角函數中的最值問題。例如：函數中含有兩個變量，在解決實際問題的過程中，為了保證二次函數的應用質量，需要將其中的變量進行消除，使其成為一個變量，最終以一元方程的形式呈現出來。

第二種為利用導數進行求解，導數是人們研究三角函數中的一項重要工具，導數能夠利用其特殊性質將函數的單調性以及變化規律顯示出來，在解決三角函數最值問題的過程中具有較高的應用價值。在應用導數解決三角函數最值問題的過程中，首先要將題目中具有價值的信息提取出來，找到其相對應的知識點。其次，利用導數的性質確定三角函數的單調性，并將題目中的數值進行帶入。最后，根據三角函數單調性的分析結果對三角函數中的最值判斷以及計算[2]。

（二）利用三角函數的性質解決最值問題

對三角函數的性質進行應用能夠對三角函數的最值問題進行有效解決，例如：正弦函數是函數教學中的重點內容，正弦函數具有一定的界限性以及明顯的單調性，能夠對三角函數中的數值進行明確的區域劃分，降低三角函數最值問題的解決難度。例如：在應用正弦函數解決問題的過程中，由于正弦函數具有一定的界限性，所以函數中的變量必須要在正弦函數變量的范圍之內，利用sin2α+cos2α=1這一規律解決三角函數的最值問題。在選擇正弦函數解決問題的過程中，必須注意以下問題，第一、將原變量向三角函數進行轉化；第二、對三角函數進行整理和變形；第三、利用正弦函數的性質求出最值的數值。

（三）利用均值定理解決最值問題

均值定理能夠通過建立積與和之間不等關系的方式解決三角函數的最值問題，其中“和定求積”以及“積定求和”是其主要的應用原理，由此可以看出均值定理的實際應用價值。在利用均值定理解決問題的過程中需要注意以下問題：第一、三角函數中的變量必須為正數；第二、三角函數各個變量之間必須要滿足一定的定量關系，在實際應用過程中必須要滿足以上兩個條件才能應用均值定理解決問題。如果在實際計算過程中忽略了以上兩點，不僅會增加解題難度，同時還會影響最終的解題質量。

（四）利用數形結合解決最值問題

作為高中數學的重點和難點內容，數形結合主要是利用“以形助數”的思想，應用數學圖形的直觀性解決抽象的數學問題。應用數形結合思想解決三角函數最值問題，可以根據目標函數具備的幾何意義，使三角函數更為具體化與直觀化，從而使我們更為簡單地找到三角函數最值。比如下面一道例題：求y=的最大值和最小值。y=可以看做是定點（2，2）和動點（sinx，cosx）連線的斜率，已知動點（sinx，cosx）在單位圓sinn2α+cos2α=1上，所以可將三角函數最值問題轉變為定點（2，2）和單位圓上某點之間連線斜率的最值問題。根據數形結合思想可知，直線和圓相切的時候即可得出最值。所以，三角函數y=的最大值ymax=；最小值ymin=。由此可以看出，在解答三角函數最值問題的時候，我們可以根據函數的特點，將函數問題轉變為圖形問題，通過圖形的幾何意義解答最值問題。

綜上所述，三角函數的最值問題綜合性較強，對我們邏輯思維能力和知識應用能力提出了一定的要求。通過對三角函數最值問題的分析可知，我們在解答三角函數最值問題時，要熟練運用各種解題方法，全面地掌握各種解題方法的適用性和使用條件，從而提高三角函數最值問題解題效率和準確率，提高數學學習成績。本文的探究仍舊存在不足之處，僅供參考。

參考文獻：

[1]曹廣明，劉成.三角函數中的最值問題求解[J].中學數學月刊，2017（11）：48-50.

[2]楊竣皓.求解三角函數最值問題的常見方法[J].語數外學習（高中版中旬），2017（03）：42.endprint