基于D-S證據理論的CT/ECT圖像融合實驗方法

司志寧，田 沛，張立峰

（華北電力大學自動化系，河北 保定 071003）

0 引 言

現代工業監測過程中存在大量兩相或多相流分布的問題，如電廠輸煤管道中煤、氣分布直接影響煤粉燃燒效率，石油勘探中天然氣、原油和水的比例分配將直接影響開采效率。精確檢測各相分布對于工業過程優化與控制有著重要意義；因此，過程層析成像技術（process tomography，PT）近些年來迅速發展起來，該技術采用非侵入的外置傳感器陣列方式，在線獲取封閉管道內某截面的各相分布狀況[1-2]。

然而，PT技術的成像機理決定了單一模態技術的局限性，如射線層析成像技術（computed tomography，CT），其具有硬場特性，重建圖像分辨率較高，但有限的幾個固定角度獲取的投影數據，使得重建圖像趨于多邊形，與實際流型分布不相符[3]；電容層析成像技術（electrical capacitance tomography，ECT）具有軟場特性，使得重建圖像精度較低，但其電容極板的配置和測量方式使重建圖像能夠較真實地反映被測流型的形狀[4]。同時，欠定方程組的病態問題，以及工業過程實時監測的要求，對PT技術的硬件和圖像重建算法均提出很高的要求。因此，將CT、ECT成像技術雙模融合，可在短時間內以較小的代價獲取單一模態無法獲取的更精確的流型特征[5]。

基于D-S證據理論在不確定性、模糊性方面的優勢，本文提出將D-S證據理論應用于CT/ECT圖像融合，將同一流型的CT、ECT重建圖像像素聚類后，運用D-S合成規則進行融合。

1 D-S證據理論

1.1 基本原理

D-S證據理論摒棄了貝葉斯理論中的統一識別框架、先驗概率以及條件概率等硬性要求，通過識別框架、基本概率賦值函數、信度函數等概念對不確定性進行描述，顯示了其在不確定性、模糊性方面的優勢[6]。

證據理論的基礎是證據的合成和信度函數的更新。識別框架Θ，是關于命題的互斥、可窮舉的有限集合，冪集2Θ表示所有可能的命題集，即包含了Θ的所有子集。證據理論的基本概率分配由基本概率賦值函數（basic probability assignment function，BPAF）表示，其定義[7]如下：

定義1：識別框架Θ上的集函數m：2Θ→[0，1]滿足：

1）空集（空命題）不產生任何概率，即：

2）Θ中全部命題的基本概率分配總和為1，即：

則稱m為識別框架Θ上的基本概率賦值函數BPAF，也稱為基本可信度分配函數或mass函數，反映了命題在某證據條件下所有可能事件的概率大小。

定義 2：設Θ為識別框架，m：2Θ→[0，1]為Θ上的基本概率賦值函數，則稱由：

所定義的函數 Bel：2Θ→[0，1]為Θ上的信度函數（belief function）。

1.2 D-S合成規則

D-S合成規則是一個反映多證據之間聯合作用的法則。兩個或多個相互獨立的置信函數可以用D-S合成規則來組合，通過計算基于不同證據來源置信度的正交得到一個新的置信函數[8]。

定義3：設Bel1和Bel2是同一識別框架Θ上的兩個信度函數，其相應的基本概率賦值函數為m1和m2，焦元分別為Ai和Bj，則 D-S 合成規則[9]為

式中K反映了各個證據之間的沖突程度，系數1/（1-K）稱為正則化因子。由m給定的基本概率賦值函數稱為m1和m2的正交和，記為m1⊕m2。若K=1，則稱m1和m2的正交和m1⊕m2不存在，不能對基本概率賦值函數合成。

2 CT/ECT圖像融合

2.1 基本概率賦值的獲取

D-S證據理論中合理構造基本概率賦值函數是一個與應用密切相關的問題，也是實際應用中的關鍵和難點，直接影響著最終融合結果的準確性和合理性[10]。

在工業油/氣兩相流中，理想流型的圖像常為0和1的二值圖像，而過程層析成像系統重建的圖像為[0，1]的灰度圖像。對于解決圖像中像素層面的信息如何合理轉化為待融合的數據信息問題，受模糊c-均值聚類算法（fuzzy c-means algorithm，FCM）[11]的啟發，本文將[0，1]的灰度圖像劃分為油相和氣相兩大類，進一步說，該問題在像素層面的證據理論的命題有兩個：1）代表氣相的灰度值為0的像素點及其周邊鄰域；2）代表油相的灰度值為1的像素點及其周邊鄰域。這是兩個完全不相容的命題，正符合D-S證據理論的要求。

進一步，需要將圖像表達形式的信息轉化為證據，即重建圖像中，每個像素所包含的灰度信息，應當轉換為對上述證據命題的置信度，即證據理論中的基本概率賦值函數。模糊聚類算法中的隸屬度矩陣代表的是每個像素針對各個類別的歸屬情況，且單個像素在各個類中的所有隸屬度之和等于1，而這正好和證據理論各個命題的置信度的意義相符，因此可以將隸屬度矩陣中的元素看作是證據理論中對應命題成立的基本概率。隸屬度函數[12]如下：

式中：c——類別數，c≥2；

n——像素個數；

dik——聚類中心νi與第k個像素值xk之間的歐幾里德距離（Euclidean distance）；

μik——像素值xk在第i類中的隸屬度，且μik是介于0，1之間的值。

由前所述，本文設定c=2，ν1=0，ν2=1。

2.2 融合過程

CT圖像與ECT圖像的融合過程可轉化為D-S證據理論融合過程。針對同一流型，設CT和ECT重建圖像像素分別是同一識別框架Θ上的兩個信度函數，其相應的基本概率賦值函數為m1和m2，m則表示融合圖像像素的基本概率賦值函數，焦元分別為氣相A1和油相A2，且運用隸屬度函數μik表示基本概率賦值函數，如表1所示。

表1 基本概率賦值函數表

由聚類中心ν1=0，ν2=1，根據隸屬度函數μik可推得融合圖像像素值xk：

即：

據此，完成像素-概率-像素之間的轉化，即：將CT、ECT待融合圖像的像素值聚類化，運用隸屬度表示其基本概率分配，運用D-S證據理論融合得融合圖像概率分配，即融合圖像像素值隸屬度，進而推得融合圖像像素值，重構融合圖像。CT/ECT圖像融合流程圖如圖1所示。

3 實驗及結果

圖1 CT/ECT圖像融合流程圖

分別對3種油/氣兩相流流型進行圖像融合實驗，仿真流型如圖2所示。被測管道直徑為82mm。CT系統采用5源17探測器結構，通過靜態實驗裝置測得射線投影數據；ECT系統采用16電容極板傳感器陣列結構，運用COMSOL仿真軟件獲得電容投影數據[13]。考慮到系統實時性要求以及D-S證據理論融合效果，本文均采用線性反投影算法（linear backprojection algorithm，LBP）重建圖像。LBP算法在圖像重建過程中無需求解大型矩陣的逆，計算量較少，使得圖像重建速度快，但其將投影域按照均勻介質分布劃定，不考慮軟場效應，所以導致重建圖像精度較低[14]。

圖2 仿真流型

為了驗證D-S證據理論在CT/ECT圖像融合中的有效性，分別運用平均值法、小波變換法和D-S證據理論對上述兩種模態的重建圖像進行融合對比；其中，小波變換采用Daubechies小波基db4進行分解，分解層數均為3層，低頻系數采用平均值法融合，高頻系數采用絕對值選大法融合。重建圖像與融合圖像對比如圖3所示，圖像像素灰度值均歸一化至[0，1]范圍內。

從圖中可看出，對于CT系統，5源17探測器的結構，使得重建圖像邊緣呈五邊形，但射線的硬場特性（射線具有直線穿透能力且不因介質分布而改變傳播方向）決定了圖像分辨率較高；而ECT系統，由于敏感場的軟場特性（即敏感場分布受被測介質分布的影響），使得圖像分辨率較低，但16電容極板的對稱配置使重建圖像較真實地反映仿真流型的形狀；線性反投影算法重建圖像質量均不高，偽影現象嚴重。從視覺效果上而言，3種流型融合圖像對比單模態重建圖像的精度均有所提高，融合圖像既改善了CT圖像邊緣失真的缺點，也避免了ECT軟場特性的干擾。

對比3種融合方法的視覺效果可以看出，基于平均值和小波變換的融合方法，由于未考慮CT、ECT圖像特點以及融合目的，僅從圖像本身出發，使得其在核心流和環流中對圖像質量的改善并不明顯，且融合圖像依然存在較大偽影，未達到預期融合目的。而本文采用的基于D-S證據理論的融合方法，充分利用了CT、ECT圖像的先驗信息，在3種流型中融合圖像均更加接近原型，提高了過程層析成像重建灰度圖像的0、1信息度，融合效果最佳。同時，基于小波變換的多分辨分析方法會對系統實時性產生較大干擾，而D-S證據理論基于統計學方法，未進行復雜的頻域多尺度分解，降低了對系統實時性要求的干擾。

對融合前后的圖像質量評價采用均方根誤差指標（root mean square error，RMSE）[15]，即：

式中：Ii（i，j）——仿真原圖坐標（i，j）點像素值；

If（i，j）——融合圖像對應點（i，j）點像素值；圖像的大小為M×N。

RMSE越小，說明融合圖像與理想圖像越接近，也就是說融合效果越好。

評價結果如表2所示，平均值法與小波變換法的融合圖像在層流型中誤差大于CT圖像，在核心流和環流型中稍有減小，而本文采用的D-S證據理論的融合圖像在3種流型中的誤差均明顯降低，提高重建圖像的準確度和信息量，客觀地驗證了D-S證據理論在CT/ECT圖像融合中的有效性。

表2 圖像均方根誤差的比較

4 結束語

圖3 重建圖像與融合圖像對比

本文基于D-S證據理論，運用聚類算法中的隸屬度函數表示證據理論中的基本概率賦值函數，對CT、ECT重建圖像進行融合，實現像素-概率-像素之間的轉化。在提高單模態成像質量的同時，同其他傳統像素融合算法對比，實驗結果表明融合圖像更加接近原流型，客觀評價誤差顯著減小，同時對系統實時性干擾較小，驗證了D-S證據理論在CT、ECT雙模態融合中的有效性。

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