基于加性分解的軋機液壓伺服位置系統控制

呂書豪，張 磊

（河北工業大學控制科學與工程學院，天津 300131）

0 引 言

液壓伺服位置系統是各種現代機械的重要組成部分，由于其質量比高，響應速度快[1]。常用于各種自動化制造系統，如軋機的輥縫控制、航空航天飛行控制執行器、汽車主動懸架以及各種廣泛自動化制造系統[2]。

液壓伺服系統的主要部件是泵、蓄能器、安全閥、伺服閥和液壓執行器。蓄能器和安全閥分別增加和除去壓力管路中的流體，以保持供應系統的壓力。伺服閥通過輸入電氣信號控制液壓執行器的壓力和運動，液壓執行器驅動負載，到達所需的位移、速度或負載的壓力。然而，固有的非線性特性[3]逐漸限制了系統性能的提升。

另外，建模不確定性[4]，包括參數不確定性和不確定性非線性（未建模的非線性，如外部干擾、泄漏和摩擦等）可能導致控制精度差甚至不穩定[5-6]。

為提高具有非線性和不確定性液壓伺服系統的性能，已有研究提出先進的非線性控制器，如基于誤差的自適應符號積分魯棒控制[7]、自適應魯棒控制[8]、自適應反步控制[9]、反饋線性化控制[10]、基于擾動觀測器的控制[11]等。這些非線性控制器在不確定的非線性液壓系統中解決了控制問題，且得到了實測驗證。與傳統的線性控制器相比，盡管這些控制技術在提高控制性能方面是有效的，但都在不同程度上依賴被控對象或事先需要明確不確定性和擾動。

通常，由于難以直接測量摩擦和負載的干擾，因此需要采用自適應或估計算法來估計干擾。前人的研究[12]中通常使用了包含噪音測量信號的導數，系統可能不穩定。

本文從工程角度出發，設計了一種基于ASD方法的控制器，該控制器簡單可靠，能夠保證軋機液壓伺服位置跟蹤系統最終有界穩定且具有良好的魯棒性和平穩的控制輸入。最后通過仿真驗證了該控制器能夠滿足控制要求。

1 液壓伺服位置系統模型描述

所研究的液壓伺服系統的控制方案如圖1所示。圖中xd為位置期望值，xp為位置反饋值。

液壓缸力平衡方程[13]可以表示為

式中：m——上輥運動部件和柱塞的等效總質量；

xp——負載的位移量（增/減對應于軋機輥縫的減/增）；

P1、P2——液壓缸兩腔的壓力；

A1、A2——兩腔的有效面積；

bp——粘性摩擦系數；

圖1 軋機液壓伺服位置控制方案

ks——負載彈性剛性系數；

fd（t）——作用在柱塞上的外負載力。

其中P1和P2可以表示為

式中液壓缸兩腔有效面積比n=A2/A1，Ps是供油壓力。

不考慮外部泄漏，執行器的流量方程[14]可以表示為

式中：V1（t）=V10+A1xp——活塞無桿腔的總控制體積；

V2（t）=V20-A2xp——活塞有桿腔的總控制體積；

V10、V20——兩腔的初始控制體積；

βe——有效彈性模量；

Q1、Q2——流入無桿腔和流出有桿腔的流量；

Ct——執行器的內部泄露系數。

Cd、w——伺服閥流量系數和面積梯度；

ρ——液壓油密度；

xv——閥芯位移；

Pr——回油壓力。

考慮到研究中使用的伺服閥的響應特性比執行器的運行頻帶高得多，伺服閥的線性模型可以表示為

式中：kxv——伺服閥增益；

u——控制輸出。

結合式（6）、式（7），可以得到：

對于系統模型（11），針對具有各種建模，參數不確定性和未知外部擾動的情況下，目標是使用合適的控制器輸出u使慣性負載位置xp能夠跟蹤特定的運行軌跡。

2 控制器設計

2.1 問題描述

軋機液壓伺服系統模型改寫成誤差模型。首先假定位置期望值xd有界，并且存在且有界。

通過引用文獻[16]，式（12）中的e˙可以使用如下形式表示：

假設式（13）可控，則矩陣 K∈R3×1總是可以滿足A+BKT是穩定的。則：

本文的控制目標是設計一個穩定的控制器u使系統狀態趨于一個很小的值，或者在時變擾動情況下，當t→∞ 時，e→0。

2.2 ASD動態逆設計

ASD原理是將一個非線性系統分解為兩個子系統：1）線性時不變的主系統，包含所有期望和擾動信號；2）不包含期望和擾動信號的次系統[17]。通過ASD，液壓伺服系統首先轉換為一個不確定自由的系統，但是擾動都集中在輸出上，然后針對這個轉換的系統應用動態逆方法；分析最終閉環系統的性能。

2.2.1 定義輸出矩陣

基于矩陣 A+BKT，重新定義輸出矩陣C∈R3×1。

式中 Λ=diag（λ1，λ2，λ3），其中λ1，λ2，λ3為（A+BKT）T的特征值。

定義新的輸出y=CTe，則其導數可以表示為

新的輸出矩陣C使得從u到y的單入單出系統變為最小相位系統。因此，有y→0就有e→0，那么就有動態逆控制y→0。

2.2.2 加性狀態分解

現在考慮系統（16）為原始系統。主系統選為

定義一個次系統輸出ys可以表示為

從原始系統和主系統推導出次系統為

定義傳函：

式中I1為單位矩陣。

重新整理式（16）～式（19）可得：

其中dl的拉普拉斯轉換為

這是集中擾動，es是次系統的狀態。

式（21）可以以傳函形式重寫為

dl集中擾動包括不確定性、擾動和輸入。由于上式中y和yp（s）=G（s）u（s）已知，那么集中擾動可以表示為

通過ASD控制，目標轉換為：針對式（22）設計一個有界控制器u使得輸出y最終在很小的一個范圍內，或者在時變不確定下，當t→∞就有y（t）→0。

2.2.3 動態逆控制

通過ASD，不確定系統（13）首先轉為不確定自由系統（22），針對系統（22），因為G是最小相位和已知的，動態逆追蹤控制器設計表述如下：

但控制器（24）因為分子的階數比分母的階數高，所以不能實現。在這里引入低通濾波矩陣Q（s）=1/（εs+1），其中ε＞0可以看做一個奇攝動參數。 控制器（24）變為

將式（23）代入式（25），即可得到 PI形式控制器：

式中 CTe作為輸入，只要det（CTB）≠0，那么此控制器就可實現。至此完成了基于ASD方法的控制器設計。

3 系統仿真

為了驗證所給出方案的有效性，本文采用Matlab對系統進行仿真，以某1450mm四輥可逆軋機為例。仿真中的主要物理參數如表1所示。

假設油缸期望位置xd=1 cm，初始條件為e（0）=[0.01 0 0]，fd（t）表示作用于柱塞上的慢時變外負載力，fd（t）=106+105sin（0.4πt）N，則d（t）=f˙d（t）/m=83.8cos（0.4πt）N。

利用以上得到的數據，對軋機液壓伺服位置系統進行仿真，將結果與傳統PID控制器獲得的結果進行比較。所有的測試都是在相同的條件下進行的，仿真結果如圖2～圖5所示。圖2顯示了ASD控制系統的實時位置，實際位置和跟蹤誤差,可以看出具有優異的瞬態特性，跟蹤誤差在0.15s時間內快速趨向于0，具有良好的跟蹤性能。圖3顯示出在相同條件下，傳統PID控制系統跟蹤效果不如ASD控制效果。考慮到功率最小化是控制系統的基本標準，從圖4可以看到ASD控制器輸出一個非常低的振幅和相當平滑的控制輸入信號；而傳統PID控制器需要更多的功率來實現跟蹤。圖5為ASD控制系統和PID控制系統的跟蹤誤差速度。可以看出，ASD控制系統瞬態狀態非常好，持續時間小于0.1s。仿真結果表明了ASD控制器可以保證系統信號有界及系統的狀態可以收斂到原點附近的范圍內，驗證了ASD方法的有效性。

表1 1450mm四輥可逆軋機液壓伺服位置系統主要物理參數

圖2 ASD控制系統位置及跟蹤誤差

圖3 PID控制系統位置及跟蹤誤差

圖4 控制器輸入

圖5 跟蹤誤差速度

4 結束語

本文針對具有參數不確定性、非線性模型和狀態不可測的軋機液壓伺服位置系統，提出一種基于ASD動態逆的控制算法，最后通過理論和仿真說明了在外部負載擾動大幅度變化和不確定性因素對系統的影響下，該控制器可以保證系統位置跟蹤精度，滿足軋機對液壓伺服位置系統的要求。下一步將在軋機液壓伺服位置系統的基礎上，研究軋機厚度控制系統，進一步提高系統的穩定性和可靠性。

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