化歸思想在三角函數解題中的應用淺析

王辰飛??

摘要：三角函數是中學數學教學中的重點和難點，其涉及的內容較為廣泛，并且類型題普遍較為復雜，用傳統的方法進行計算，其步驟復雜，并且容易產生計算錯誤，不利于三角函數的解題。因此，要對傳統的解題方法進行優化，通過滲透化歸思想，將原本復雜的內容簡單化，從而提升三角函數解題的效率和準確性，對提升中學數學學習水平具有重要的意義。本文首先分析了化歸思想的基本內涵，隨后闡述了在中學階段三角函數的學習難點，最后提出了幾點三角函數中應用化歸思想的策略，為中學生提升三角函數解題水平起到了借鑒和參考作用。

關鍵詞：化歸思想；三角函數；解題

一、 引言

應用化歸思想不僅能夠有效的提升學生的數學解題水平，還能夠鍛煉學生的思維方式，讓學生能夠從多個角度對一個問題進行分析，并讓學生的思維方式更加流暢，不僅能夠對數學的學習起到推動作用，還能夠有效的促進學生綜合素質的全面發展，達到培養學生數學核心素養的目的。

二、 化歸思想的基本內涵

化歸思想是唯物辯證主義的一種重要的思考方式，其內容即化整為零，將原本復雜的問題利用簡單的方式進行處理。從本質上而言，化歸思想也就是通過利用一些已經掌握的，并且相對較為簡單和具體的知識，將原本復雜的問題簡單化、將抽象的問題具體化、將未知的問題已知化、將特殊的問題一般化、將非典型的問題典型化的思維方式。通過這種方式，可以在知識結構沒有發生較大改變的前提下，解決過往所無法解決的問題。在生活中運用化歸思想，可以解決生活和工作中所出現的難題，將難以解決的問題分割成為若干個小的問題，從而通過逐個解決小的問題，最終解決整體的問題。在中學數學領域內，待定系數法、整體代入法等，都是化歸思想的直接體現。

三、 三角函數的學習難點

三角函數是中學數學學習的重點和難點，其復雜性較高，并且所涉及的內容較多，在學習過程中容易產生較多的問題。三角函數的學習難點主要體現在以下幾個方面：

首先，是學習觀念不正確的問題。相對于初中的三角函數問題，高中的三角函數問題難度倍增，學習起來具有較大的困難。而許多高一新生沒有對三角函數的困難性和重要性有明確的認知，還認為三角函數比較簡單，只需要將公式代入到其中就可以解決問題。導致許多高一新生在學習的過程中，沒有全身心的投入，上課不專注等問題比較明顯。而在基礎知識學習完后，高一新生往往剛體會到三角函數的困難，此時再進行學習就已經顯得有些晚了，存在大量的知識漏洞，導致三角函數的學習產生較大的問題。

其次，是綜合能力不足的問題。三角函數所涉及的內容和公式眾多，需要將多個單元的內容有機結合，并非僅僅學好三角函數知識就能夠解決三角函數問題，對于數學綜合能力的要求較高。而由于數學本身具有高度的抽象性和理論性，學習起來具有較高的難度，因此，大多數學生都很難良好的掌握每個部分的知識，也就導致了大多數學生存在綜合能力不足的問題。

再次，是學習方法不科學的問題。在課堂教學中，教師往往只講解知識點，而不進行學習方法的傳授。學生的學習方法大多是結合自身的學習經驗得來的，這種具有經驗性質的方法不具備科學性，許多學生使用了錯誤的學習方法而不自知，也就會出現學習效率低下的問題。除此之外，許多學生過于依賴教師的講解，在課后沒有將知識進行自主訓練，也就導致了知識學得快，忘得也快，不利于數學學習水平的提升。

接下來，是解題方法不恰當的問題。三角函數本身具有較高的復雜性，針對一個問題，通常會有多種不同的解法，其中，有的解法簡單，并且不容易出錯，而有的解法較為復雜，并且容易產生計算錯誤。在解題的過程中，如果沒有使用正確的解題方法，很容易出現解法較為復雜，并且產生計算錯誤的問題。

最后，是知識性的錯誤。三角函數所涉及的定理、公式、符號等數量眾多，學生需要花費一定的時間記憶，并通過大量的練習靈活的運用這些知識。而如果記憶不夠深刻，或所做的練習不夠多，就會產生一些知識性的錯誤，如定理記不起來、公式記錯、符號記混等，這種問題會對三角函數的解題產生極大的影響，這也就需要學生發揮出自身的能力進行針對性的訓練，從而尋求最合理的解決方法。

四、 化歸思想在三角函數解題中的應用

（一） 一般問題特殊化

數學題目花樣眾多，絕大多數問題都無法直接用公式或定理推導出來。這也就需要對這些問題進行處理，將一些普遍的問題轉化成為所學過的特殊問題，從而解決熟悉程度較低的問題。例如，在解三角函數時，可以通過不斷的推導，將三角函數轉化為二次函數，要想得出三角函數的最值，只需要得出二次函數的最值即可。除此之外，比較難的y=acosx+bsinx可以化歸為更便于計算的y=a2+b2sin（x+y）。

【例1】已知有x∈R，求f（x）=6cosx-8sinx的值域。

解答思路如下：

可以用上述的例子對本題目進行計算，其步驟為：

f（x）=6cosx-8sinx=62+（-8）2sin（x+y）=10sin（x+y）

因此，函數f（x）=6cosx-8sinx的值域為-10，10。

【例2】假設有一三角函數f（x），求f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3的最值。

解題思路如下：

這種題用三角函數的方式進行解決會有較高的難度，而如果將其轉化為二次函數的形式，就成為了學生所熟悉的題型。因此，解答步驟為：

f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3=2cos2x-1+1-cos2x+2cosx+3

經過推導后可得出結論：

f（x）=（cosx+1）2+2

因此，f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3的最大值為6，最小值為2。

【例3】假設有一三角函數tanx=2，求2sinx+3cosxsinx-cosx。endprint

解題思路如下：

此分式的解決難度較大，利用傳統的方法很難解答。而如果利用三角函數公式：tanx=sinxcosx進行解答，可以將分式轉變成為齊次分式，也就是代入公式tanx=sinxcosx后，將整個分式的分子和分母同時除以cosx，從而得出最終的結論。

（二） 三角問題立體化

三角函數具有較高的學習難度，在應用的過程中，也容易受到各種主觀或客觀因素的影響，存在一定的難度。而如果使用化歸的解題思想，可以通過構建幾何圖形的方式，來使得抽象的問題直觀化，從而解決問題。

【例4】假設有三個銳角，分別為x，y，z。并且這三個銳角滿足條件cos2x+cos2y+cos2z=-1，求證tanx·tany·tanz≥22。

解題思路如下：

在面對公式cos2x+cos2y+cos2z=-1時，很容易會聯想到另一個公式cos2x+cos2y+cos2z=1，而這個公式同時又是長方體的關系式。因此，可以將原問題轉換成為長方體，通過對長方體進行求解，從而得到題干中的內容。解題步驟如下：

首先，設三條邊a=cosx，b=cosy，c=cosz，則可以得知tanx·tany·tanz=b2+c2a·a2+c2b·b2+a2c，這也就可以使三角不等式轉化為代數不等式，其解答的難度大大降低。如果a，b，c都大于零，則可以轉為求證：

b2+c2a·a2+c2b·b2+a2c≥22

之后可以轉化為b2+c2a·a2+c2b·b2+a2c≥2bca·2acb·2abc，最終也就可以得到tanx·tany·tanz=22，因此，原問題中的tanx·tany·tanz≥22成立。

利用化歸思想將三角函數問題轉變為幾何問題，不僅可以轉變為立體幾何問題，還可以轉變成為解析幾何問題。

【例5】假設有cos4xcos2y+sin4xsin2y=1，則求證cos4ycos2x+sin4ysin2x=1。

解題思路如下：

通過對兩個公式進行分析，可以得知這個公式與橢圓方程有一定的相似性。而由于缺乏必要的數值參照的情況下，難以構建橢圓進行立體幾何的解答，因此，可以通過解析幾何的方式進行解答。通過分析題意可知，有兩點P和Q，分別為（cos2x，sin2x）和（cos2y，sin2y），這兩點都在橢圓x2cos2y+y2sin2y=1，其中，點Q有一條切線，這條切線的方程為x+y=1。根據上述內容所示，很容易能夠證明出點P仍然在這條切線上，而由于對于一個橢圓而言，一條切線只具有一個切點，因此，可以得知點P和點Q在同一個點上，也就能夠反向推導得出結論：cos4ycos2x+sin4ysin2x=1。

（三） 三角問題代數化

【例6】求證：cos4a·tan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。

解題思路如下：

根據所學的數學知識可知，4a的角度數比2a高一倍，將其代入公式中，假設：tan2a=t，根據公式，可以得到結果：cos4a=1-t21+t2，sin4a=2t1+t2，2tan2atan2a-1=-t。

將上述得到的內容代入到公式中來，也就可以將原本的三角函數問題徹底轉化為代數問題，其解題難度就會極大的下降。解題步驟如下：

設：tan2a=t，根據萬能公式，可得cos4a·tan2a-sin4a=1-t21+t2·t-2t1+t2。將所得的結果進行代數運算，也就可以得出最終的結論：cos4a·tan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。

（四） 多變量問題少變量化

三角函數的問題普遍較為復雜，其主要內容是三角函數問題，所涉及的變量較多，并且公式也比較多。因此，需要將多變量的問題利用化歸思想轉變為變量少的問題，可以利用三角函數的各種正弦、余弦等定理，將多余的部分消去，只留下有用的核心部分，從而有效的降低解題的難度，優化解題步驟。

【例7】在一個三角形ABC中，證明：（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=0。

解題思路如下：

首先要對原題進行分析，根據題意可以得知，這個問題本質上是在探討三角形的邊和角的問題。由于題目本身就帶有余弦定理的部分公式，因此，利用化歸思想，消除掉多余的部分，利用余弦定理公式可以進行證明。其解題步驟如下：

（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=-2bccosA·tanA+2accosB·tanB

對上述等式進行推導，可以得出結論：（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=0。

（五） 數形結合思想

數與形是一件事物的兩個方面屬性，也是數學中最基本的研究對象。在一定條件的限制下，數與形之間是可以進行相互轉化的。在高中階段，已經對數與形有了較為透徹的研究，通過將二者相互融合，取長補短，發揮出各自的優勢，優化數學解題路徑，這也就體現出了數學中數形結合的基本理念。

五、 結語

數學是一門具有較高的難度和抽象性的學科，其知識體系較為復雜，并且一個問題往往涉及多方面的知識，是學生學習的重點和難點。在數學中，許多難題都無法通過常規的計算方法解決，這也就為化歸思想提供了廣泛的應用范圍。三角函數的學習主要有以下幾方面的難點，首先，許多學生的學習觀念不正確，對于三角函數的重視程度不足。其次，三角函數所涉及的內容和公式眾多，學生普遍存在著綜合能力不足的問題。再次，許多學生的學習方法不對，學習效率較低。接下來，許多學生的解題方法過于復雜，容易出現錯誤。最后，部分學生對于三角函數相關的基礎知識掌握不扎實，容易出現錯誤的問題。而利用化歸思想，可以有效的解決上述出現的集中問題，具有重要的意義。

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作者簡介：

王辰飛，河北省石家莊市，石家莊市第15中學。endprint