數學競賽題求解的一種“由果析因”法

張建軍++宋業新++紀祥鯤

摘 要：本文研究了“由果析因”法對提高數學競賽中解題水平的作用。分析了數學競賽培訓中提高學生分析問題和解決問題能力的重要性，通過典型實例闡明了求解數學競賽試題時如何運用這一方法有效地、有針對性地對問題進行科學分析，并確定出解決問題的路線和方法，幫助參賽學生更深刻地理解和掌握數學競賽中這一重要的思維方法，有助于培養其良好的數學素養。

關鍵詞：數學競賽 高等數學 羅爾定理 分析問題 解決問題

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）11（a）-0231-02

全國大學生數學競賽從2009年開始至今已經舉辦了八屆，作為全國性的高水平學科競賽，為大學生提供了一個展示其數學思維和數學基本功的平臺，對創新人才的選拔意義重大。數學競賽重在考核學生運用所學數學基本理論和基本方法分析問題和解決問題的能力，該項競賽在同類競賽中當屬難度最高。我們指導學生參加該項競賽多年，在歷次競賽特別是近三年中所指導的學生參加決賽均取得佳績，其成績在全國名列前茅?？偨Y該項賽事培訓工作的實踐，我們深深感到，要使得學生在這種重大的單兵作戰的賽事中，在短短的3個小時的時間內，高質量地完成一系列具有相當難度的、平時培訓和訓練中極難見到的難題，殊非易事。很多在高等數學的課程考試中獲得過優異成績的學生，在競賽中對于考核基本功的常規題型，往往能應付自如；但一旦遇到從未見到過的題型，就頓時慌了手腳，不知從何下手，難以考出好的成績。為避免出現這種現象，一方面需要在高等數學課程的日常教學中為學生掌握基本理論和基本方法狠下功夫；更重要的是在進行競賽的培訓授課時，教師不僅要在問題的寬度和深度上狠下功夫，特別要將重點放在培養學生掌握求解數學問題的一系列科學的方法上面，這種方法可以簡單地稱之為“解題的數學思維方法”，使得學生掌握了這種解題的基本思想方法以后，再遇到從未見到的所謂“難題、新題”時，不會感到束手無策，而是能有條不紊地、有針對性地對問題進行科學分析，確定出解決問題的路線和方法，再運用其嚴謹的推理能力和快速準確的計算能力，難題就能迎刃而解了。

1 求解問題的“由果析因”法

本文所提的“由果析因”法，指“由結果分析原因”的一種思想方法，指的是學生在扎實掌握學科的基本理論和基本方法的基礎上，對于要求解的各種問題，通過科學地、有效地分析問題尋求的目標或“果”（即問題中欲證明的結論或欲完成的計算），再采用啟發式和發散思維方法，多層面、多角度地分析其所反映的邏輯關系或數量關系，反向從題中的條件中尋求達到這一目標的前提條件或“因”（即證明欲證結論或獲得計算結果的條件、方法）。實踐證明，在競賽的培訓工作中貫穿這一解題方法，能有益于學生科學性、流暢性、變通性和獨創性思維的形成，有效地培養他們分析問題的數學素養，進而真正提高其解決復雜問題的能力，在數學競賽考試中獲得佳績。本文針對兩個典型的競賽題型，重點介紹我們如何幫助學生科學地運用“由果析因”法去分析問題進而解決問題的過程。

2 “由果析因”法求解數學競賽題的具體做法

運用“由果析因”法求解難題，教師首先應該讓學生明白以下三點：第一是競賽試題常常是難點重重，但無論多難、多新的問題，都必須也可以進行科學的分析，沒有分析就不可能解決疑難問題，要養成分析的習慣；其次也是最關鍵的，如何分析問題是反復思考、自覺訓練形成的一種數學核心素養，絕不是一日之功；最后，分析問題只是解決問題的前提，要解決問題，還要以嚴密的邏輯思維、快速準確的計算作為基礎。教學實踐表明，將這幾個問題講透徹，學生才能自覺加強訓練，在實際解題時就能不斷感受到解題能力的提高。

例1：設函數在上連續，且，，證明：存在，使得。

分析：這是一道較難的題目，很多學生看到要證明的結論，完全沒有頭緒。首先，的表達式沒有給出，不能直接驗證的存在性；其次，這里要證明的“果”是所謂的“中值”的存在性，容易讓學生聯想到羅爾定理等三大“中值定理”，但“果”中滿足的是不等式，運用這些中值定理都很難奏效；再者，盡管泰勒定理有時可用于證明不等式，但要從題中尋求能運用泰勒定理的“因”卻讓人失望，因為函數僅在上連續，遠遠達不到具有高階導數這一條“因”；常規方法都卡了殼，困難出現了，因此需另辟蹊徑。

教師要引導學生進一步深入分析：既然直接證法不奏效，若反過來想：“存在中值滿足不等式”的反面，正是“對于區間中的任意，反向不等式均成立”，可以看到，原來問題的“難”，有可能可以通過采用反證法化解；為什么呢？再深入分析，原來題中提供了所滿足的一組等式，它們可能就是我們要用的“因”。這樣，通過科學地分析問題，就找到了解決問題的方法——反證法，即：假設，均有。要提醒學生，這是一個廣泛性假定，因而可以被用于區間性的量（比如定積分）的計算或估計。同時，如何利用“由果析因”法去導致矛盾呢？其實，分析題中條件可見與任意次多項式相乘后在上的積分都很容易求得，比如，而求得的結果很有可能會與運用上述假定獲得的結論相矛盾。這樣就在心中勾畫出解決問題的過程。

解：假設，均有?？紤]積分，依題意，易見；但根據上述假定又有：

這就導致了矛盾！因此存在，使得。

證明如此之短。可以看出，正是有了對問題的科學分析，才導致了“簡單明了”的證明。教師要使學生明白，分析是解決問題的關鍵，這一切都是“由果析因”法分析的結果！

有的學生一定會問：為何不直接用，或等形式更“簡單”的積分去“導致”矛盾呢？教師可留下這個懸念，讓學生課后討論、親自算一算，看看究竟能不能導致矛盾，體會題中積分的妙處。其實，通過不斷的思維訓練，把“由果析因”法內化成為一種自覺的思維方法和數學素養，這也是競賽培訓的主要目的之一。

例2：若是實數集上的一個無窮次可微的函數，且 ，，試計算（）的值。

分析：要計算在處的各階導數，題中只給出了在序列中各點處的函數值，而沒給出其明確的表達式，那么能否由條件直接解出函數的表達式呢？怎么看都難以下手。該如何選擇具體的解題方法呢？endprint

其實我們并不需要的表達式，要計算問題的“果”即，只需利用已知條件（即問題的“因”）充分研究在的性態，逐步（可能是遞歸地）確定其在該點的各階導數值即可。事實上，由條件容易看出，與函數在處恰好有相同函數值，即函數在數列中各點處的函數值均為零，因此函數與函數在（恰好是數列的極限?。┑母麟A導數值會有密切關系。因此，通過“由果析因”法就找到了解決問題的“突破點”，即本題可采用輔助函數法，只要確定了函數在處的各階導數值，實際上也就求出了在處的各階導數。

問題轉化為確定在處的各階導數值，其實從（）出發，運用羅爾定理就可以獲得一個新的趨于0的數列，且，再由的連續性，就可以求得了，余下的步驟就能水到渠成、一氣呵成了。以下簡要揭示解決問題的過程：

解：令，則亦無窮次可微，依題意，；令，則是一個使（）的單調減少趨于0的數列，由羅爾定理可知，存在相應的單調減少趨于0的數列，使得，，。

由于數列趨于0，由夾逼準則知亦趨于0，再由無窮次可微可知，在處連續，因而；依次對函數采用上述同樣的方法，可得，。由于；上述結果表明與函數在恰好具有完全相同的各階導數值，即，。再由冪級數展開式（），可知：

通過上述兩個問題的教學設計，使學生看到了求解一個復雜問題的過程中，極限的夾逼準則、羅爾中值定理、冪級數展開式、數學歸納思想等高等數學基本理論的綜合運用；更重要的是，讓學生充分意識到分析問題的思想方法的極端重要性，使他們體會到“由果析因”法的魅力；如果僅僅是掌握了競賽大綱中的知識體系要求的基本理論和方法，光是有較強的邏輯思維能力和計算能力，缺乏對問題進行科學分析的素養，可能就會一直局限于會解一些常規的基本問題，要提高解題能力、在競賽中勇創佳績就只能是一句空話。

問題的分析是解決問題的靈魂，授人以魚不如授人以漁。數學競賽是一項高等級的學科競賽，其培訓工作極為重要。近年來的教學實踐表明，培訓不能只是相應理論和方法的簡單堆砌和大量典型題的訓練過程，還應該把提高學生對問題快速科學地進行分析進而有效地解決問題的能力作為培訓的中心和落腳點，相關的各種教學方法的研究必將對此起到很好的促進作用。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 陳兆斗.大學生數學競賽習題精講[M].北京：清華大學出版社，2010.

[3] 張建軍，胡偉文，沈靜.從一題多解看中值定理的應用[J].科技創新導報，2014（1）：95-96.

[4] 段繼楊.創造性教學通論[M].長春：吉林人民出版社，1999.endprint