橢圓及其標準方程教學設計

摘 要：在新課改的要求下，該設計本著以學生為主，主要采用學生動手探究的方法，在活動中探索新知，結合多媒體展示，使用幾何畫板畫制橢圓的圖像，引導學生推導出橢圓公式。

關鍵詞：探究；發現；推導

一、 設計背景

隨著教材、教學、高考的改革不斷深入，高中數學教育對教師的要求已進入了一個新的時期。傳統教學中，學生被動接受教師灌輸的知識，限制了學生的思維，也限制了老師的主導作用。那么如何關注學生的發展，構建有效課堂，是我們一線老師需要思考的。站在學科的高度，從整體和聯系的觀點，本著高效、創新的理念，我設計了這節課。

二、 學情分析

本節是北師大版選修2-1第三章圓錐曲線第一節橢圓的第一課時，是本章的重點內容。在高考中也是重點考查內容之一。學生前面已經掌握了“圓及其標準方程”的知識，本節是作為承上啟下的重要內容，既類比圓的探索過程，又為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎。

三、 教學用具

1. 多媒體課件。

在課件中使用幾何畫板向學生進行動畫展示：（1）籃球在陽光下的投影；（2）畫橢圓的過程。

2. 學生手動畫圖工具：木板、線、圖釘、白紙。

四、 教學過程

（一） 課件展示、引入新課

課件展示太陽系運行圖，先讓學生感受星空的壯麗，觀察行星運行的軌道圖形，認識橢圓，感受橢圓的對稱美。然后讓學生舉生活中的橢圓，我再用課件展示我所發現的生活中的橢圓的例子。教師與學生互動，生活中的實例及多彩的多媒體圖片可激發學生的學習興趣，充分調動學生主動參與的積極性。引出課題，帶領學生去探索這個美麗的圖形。在這里，從生活中的實例入手，體現了“數學源于生活，又高于生活”的本色。

（二） 動手畫圖、得出結論

1. 課件展示籃球在陽光下的投影模型動畫，讓學生感受幾何畫板的魅力，在這個模型中，教師引導學生發現橢圓的定義，并實際動手操作，自己畫橢圓。

2. 學生實驗：三人一組，每組一塊木板，一根無彈性的繩子，兩顆圖釘。結合圓的作圖方法和剛才發現的橢圓的定義，動手畫圖。畫圖的過程中，老師引導學生固定兩點，用筆尖勾直線，移動筆尖，觀察得到的軌跡是什么圖形。

3. 學生畫好之后老師也參與其中，使用幾何畫板畫出橢圓，激發學生的興趣。然后老師提問：剛才在畫圖的過程中，線的長度一定說明什么？學生回答：筆尖到兩定點的距離之和為定值。老師使用計算機，利用幾何畫板展示測量，從數據上來看看是否和為定值。發現結果一致從而引導學生得到橢圓的定義。在這個過程中，讓學生從實踐中體會橢圓上的點所滿足的條件，逐漸把圖形語言轉化為文字語言。當學生定義不準確時，不否定學生，以提問的方式提醒學生注意定義中的關鍵詞，引導學生繼續探索。例如：距離之和的常數不大于兩定點之間的距離，會怎樣？讓學生利用手中的工具，動手操作，通過不斷的移動兩點的距離，畫出扁圓程度不同的橢圓，從而得到結論：當2a=2c時畫出的是線段；當2a<2c，畫不出圖形；通過這樣的實踐，讓學生理解條件2a>2c。

（三） 合理建系、推導方程

橢圓標準方程的推導是本節課的難點。回憶圓的標準方程的推導過程，總結步驟：建系→設點→列式→化簡。類比圓的方程的推導過程，先引導學生如何建系。在這里，我盡可能的給學生建系的機會，利用課件展示學生可能出現的建系情況，發揮學生的直覺思維，在比較的過程中發現最優的建系方法，體會對稱和簡潔美。

建好坐標系（焦點在x軸），學生可以自主完成設點、列式，在化簡的過程中，學生會出現困難的地方是在寫出方程（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a后，需要進行化簡時。有的同學會出現直接平方的現象，教師應鼓勵他繼續，發現矛盾：直接平方，左邊會出現更大的根號運算；尋求解決問題的方法：先移項，得到

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2再進行平方，化簡后得到

a2-cx=a（x-c）2+y2，再次平方，根號就沒有了。讓學生到臺上使用投影儀展示他推導的過程。

除了學生推導的方法外，我又引導學生發現其他的推導方法，解法2：啟發學生觀察（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a（1）左邊的式子的特點，將分子有理化，即可得到

（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2cxa（2），然后進一步引導學生發現，將（1）式減（2）式，得到（x-c）2+y2=a-cxa（3），這樣，我們就將兩個根號轉化成一個根號了，體現了化歸與轉換的數學思想，然后兩邊平方。在這里，進一步拓展學生的知識面：在數學中，（2）式是（1）式的對偶式，在這里用了數學里的對偶思想，而（3）式進一步可以得到橢圓的第二定義。在這里主要想培養學生的探究能力，發現式子中的矛盾，并想辦法解決。解法3：由已知等式（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，引導學生發現：（x-c）2+y2，a，（x+c）2+y2構成等差數列，設此等差數列的公差為d，則

（x-c）2+y2=a-d（3）（x+c）2+y2=a+d（4），將（3）（4）分別平方相減得

d=cax，即（x+c）2+y2=a+cax，然后兩邊平方整理即可。得到焦點在x軸的標準方程后，同理再得到焦點在y軸的標準方程。

在本節課的最后由學生進行反思和評價。由學生談學習本節課的最大收獲，可以是知識上的，也可以是方法能力上的。

五、 教學反思

1. 本節借助幾何畫板的演示功能，使學生通過點的運動，觀察到橢圓的軌跡的特征。多媒體創設問題的情境，讓探究式教學走進課堂，喚醒學生的主體意識，發展學生的主體能力，讓學生在參與中學會學習、學會合作、學會創新。

2. 學生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認識，缺少理性的思考、探索和創新，這與缺乏必要的數學思想和方法密切相關。本節課從實例出發，用多媒體結合本課題設計了一對動點有規律的運動作一些理性的探索和研究。

3. 在教材處理上，大膽創新，根據橢圓定義的特點，結合學生的認識能力和思維習慣在概念的理解上，先突出“和”，在此基礎上再完善“常數”取值范圍。在標準方程的推導上，并不是直接給出教材中的“建系”方式，而是讓學生自主地“建系”，通過所得方程的比較，得到標準方程，從中去體會探索的樂趣和數學中的對稱美和簡潔美。在對教材中“令a2-c2=b2”的處理并不是生硬地過渡，而是通過課件讓學生觀察在當M為橢圓短軸端點時（但這一幾何性質并不向學生交待），特征三角形所體現出來的幾何關系，再做變換。

參考文獻：

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[3]朱小蔓.教育的問題與挑戰[M].南京：南京師范大學出版社，2000：179.

作者簡介：

張海靜，安徽省阜陽市，阜陽市第五中學。endprint