微V槽機床基于熱平衡維系條件誤差建模的研究*

鄒華兵 丁躍澆 張 敬 蔡安輝 張曉紅 周 勇

(湖南理工學院機械工程學院，湖南 岳陽 414000)

微V槽是光纖列陣、平面光波導器件PLC、波分復用器等無光源器件中最重要的基本元件[1]。隨著其加工精度的方法，但這對微V槽超精密機床來講已經很難。誤差補償法是通過修改數控加工指令，使刀具達到理想的運動軌跡，從而實現對機床精度軟升級的一種有效方法。該方法的實施無需投入大量資金，便可以收益高精度的工件[4]，其相關研究近年來受到國內外相關科研學者的高度重視[5]。精密的誤差模型是實現誤差精密補償的前提，因此，誤差建模的研究是誤差補償研究的關鍵。

微V槽超精密機床的熱誤差是其加工誤差的最大誤差源，甚至有時占到了總加工誤差的70%左右[6-9]。而熱誤差屬于動態誤差，其大小或方向會隨加工時間而變化，這就增加了用數學模型來描述其變化趨勢的難度。因此，對熱誤差的研究一直是誤差補償研究的熱點和難點。若在普通的加工環境中研究熱誤差，其誤差模型的準確性就很難把握。本文探究出基于熱平衡維系條件，微V槽超精密機床的熱誤差會變得更有規律可循并逐步趨近于某個常量，從而極大的簡化了其精密建模的難度。

1 微V槽機床的熱狀態分析

微V槽超精密機床的熱源可以分為外部熱源和內部熱源[10]。外部熱源主要是由機床所處的環境所造成并受外部環境變化的影響，主要與室內溫度、冷卻液等因素有關。內部熱源主要是由機床內部的構件之間以及刀具與工件之間的相互運動而產生的摩擦和導線的通電等因素所造成，具體與導軌、齒輪、刀具、工件等構件的摩擦系數和電動機的通電發熱系數等有關。無論是內部熱源還是外部熱源產生的熱量都可能造成機床相關部件的受熱變形，從而造成機床的加工誤差。常將這種加工誤差稱為熱變形誤差，簡稱為熱誤差。在外部熱源和內部熱源的協同作用下，微V槽超精密機床往往會經歷3個階段，即升溫階段、熱平衡階段和降溫階段。

1.1 升溫階段

微V槽超精密機床啟動后，由于機床的各個運動構件間、刀具與工件間的摩擦和電動機的通電等發熱因素，其各個構件都將從常溫狀態慢慢升溫。此時，機床的外部散熱小于機床的內部生熱，工件和機床的各部件會受熱膨脹。隨著溫度的升高，膨脹量也會增加，工件的加工誤差同時也會增大。

1.2 熱平衡階段

隨著加工的進行，機床各部件及工件的溫度先會不斷地升高。隨著溫度的升高，其升高的速度會慢慢地放緩，而散熱速度會不斷地加快并最終會出現等于生熱速度的情況。將生熱速度等于散熱速度的這種臨界狀態稱為熱平衡狀態。在此狀態下，工件和機床各零部件的溫度不變。

1.3 降溫階段

外部熱源或內部熱源的微妙變化都會瞬間打破處于臨界狀態的熱平衡。如當外部的散熱條件不變時，增加機床的轉速會使得相應部件間的摩擦發熱量和電動機的電流發熱量增加，從而使得加工系統再次出現升溫現象；相反，如果降低機床的轉速，相應的發熱量就會減少，加工系統就會出現降溫的現象。讓加工系統出現降溫現象的因素還有很多，如一個工件加工完成換另一個待加工的常溫工件、降低冷卻液的溫度等。

1.4 熱平衡維系條件

為了讓動態的熱誤差變得更有規律可循，簡化其研究難度，我們就需要對熱平衡狀態進行維系，即讓加工系統的散熱量與生熱量保持相等。實現這一目標的主要條件有：微V槽超精密機床的加工環境穩定，不受外界干擾；機床維持在一個常用的切削速度、進給量和背吃刀量(切削三要素)條件下工作；冷卻液的溫度恒定；待加工工件的溫度應與加工中熱平衡時工件的溫度保持一致。

2 誤差模型的推導

由圖1和圖2可知，微V槽的中心距(Pitch)是決定微V槽性能的關鍵[11-12]，其制造精度由機床在Z軸方向的加工精度決定，因此本文主要以微V槽超精密機床在Z軸方向的加工誤差作為研究對象。

在熱平衡維系條件下，工作中的微V槽超精密機床同樣會經歷升溫、熱平衡和降溫3個階段。但熱平衡維系條件會使得加工系統擁有一個穩定的加工環境，并最終使得加工系統中的生熱量和散熱量趨近相等，即趨近于一個穩定的熱平衡狀態。因此，基于熱平衡維系條件，啟動后的加工系統溫度會經過一個封閉的循環過程并最終趨近于一個穩定的輸出溫度，如圖3所示。

基于熱平衡維系條件，微V槽超精密機床會有一個穩定的電源輸入，這使得微V槽超精密機床從啟動到整個加工過程其內部熱源的生熱量為一個恒定值。可見，基于熱平衡維系條件的電源輸入可被視為階躍響應信號，如圖4所示。

由圖3和圖4可知，基于熱平衡維系條件，微V槽超精密機床的輸出溫度為欠阻尼二階系統的階躍響應。熱誤差和幾何誤差是引起機床加工誤差的主要原因，當幾何誤差恒定時，熱誤差是其主要來源[13]。而引起熱誤差的直接原因是微V槽超精密機床的輸出溫度。因此，基于熱平衡維系條件的加工誤差與微V槽超精密機床的輸出溫度的變化機理是相同的，其變化過程也為欠阻尼二階系統的階躍響應。那么，加工誤差E(t)與加工時間(t)的函數表達式可描述為公式(1)。

(1)

其中：ωn為自然振蕩頻率；ξ為阻尼比；K為系統增益。將公式(1)繪圖可得加工誤差E(t)隨加工時間(t)變化的函數曲線，如圖5所示。

最大超調量

(2)

峰值時間

(3)

讓微V槽超精密機床每次都生產同型號的產品，并將待加工的工件固定在運動平臺內的相同位置，把加工好的微V槽按其加工的時間順序排放好。采用全自動影像測量儀對每個工件上的相同位置處的兩條V槽間的中心距進行測量，如圖6所示。以在第一個微V槽上測得的數據為基準，在之后的微V槽上測得的數據與之作差。這些差值主要就是由熱誤差引起的加工誤差。這些加工誤差與時間的函數曲線，其特性如圖5所示。觀察該函數曲線可得出該函數的增益K和峰值時間tp，并能求出該函數的最大超調量Mp。將這3個參數分別代入公式(2)和(3)，可求出該函數的阻尼比ξ和自然振蕩頻率ωn。再將求出的自然振蕩頻率ωn和阻尼比ξ分別代入公式(1)便可求出微V槽超精密機床基于熱平衡維系條件其加工誤差與時間的函數模型。由于微V槽超精密機床在空間同一位置處產生的幾何誤差是相同的，因此公式(1)主要體現的是熱誤差與時間的函數關系。又因為整個加工過程都是基于熱平衡維系條件進行的，因此微V槽上每一條溝槽的熱誤差與時間的函數模型都可以用相同的函數關系來描述。

3 誤差模型的求解

采用全自動影像測量儀測量出基于熱平衡維系條件生產的微V槽的加工誤差與時間的函數關系假定如圖7所示。

從圖7可知：

增益K=21

最大超調量

(4)

峰值時間

(5)

解方程(4)和方程(5)得：

ξ=0.33，ωn=9.25×10-4

那么，微V槽超精密機床基于熱平衡維系條件其加工誤差與時間的函數關系為：

(6)

可見，測量出峰值時間tp、最大加工誤差和增益K=21就可求出基于熱平衡維系條件加工誤差與時間的函數模型。

4 結語

(1)本文探究了維系熱平衡所需的條件，并提出基于熱平衡維系條件動態的熱誤差會變得更有規律可循，從而極大的簡化了加工誤差精密建模的難度。

(2)本文敘述了微V槽超精密機床在空間同一位置處產生的加工誤差的主要成分是熱誤差，基于熱平衡維系條件該誤差的變化過程是一個欠阻尼二階系統的階躍響應。

(3)本文根據欠阻尼二階系統階躍響應的特性探究出基于熱平衡維系條件加工誤差與加工時間的數學模型，并通過分析發現該數學模型的求解過程簡單、可靠。

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