外齒式轉臺軸承傳動誤差的模擬分析*

張玉杰 潘尚峰

(清華大學機械工程系，北京100084)

轉臺軸承集支撐、傳動、旋轉、固定等多種功能于一身，結構緊湊、安裝簡便、傳動誤差小，多用在雷達、數控機床、醫療設備和測量儀器等精密回轉機構上。外齒式轉臺軸承是由帶齒的外圈、內圈、滾動體和保持架等四部分組成，每部分的加工精度對外齒式轉臺軸承的傳動誤差都產生影響[1]。實際加工中，為保證外齒式轉臺軸承的傳動精度，往往會對各個部件的加工精度控制過嚴，增加了加工費用。因此，可以利用計算機模擬技術，分別模擬出各個部件的加工誤差，再根據各個部件誤差對外齒式轉臺軸承傳動誤差的影響進行統計模擬，從而確定各個部件最經濟的加工精度。在保證外齒式轉臺軸承傳動精度的同時，避免精度浪費、降低加工成本。

1 外齒式轉臺軸承傳動誤差分析

對于齒輪傳動系統，傳動誤差是指從動齒輪實際位置與理想位置之間的差異，受齒輪制造誤差、安裝精度等因素的影響，傳動誤差是不可避免的。外齒式轉臺軸承的傳動系統與齒輪傳動系統相似，也是通過齒輪之間的嚙合傳遞運動。通常，外齒式轉臺軸承傳動系統是由主動齒輪和外齒式轉臺軸承兩部分組成，如圖1所示。理想狀況下主動齒輪齒廓A點與被動外齒式轉臺軸承齒廓B點相嚙合，帶動外齒式轉臺軸承外圈轉動；受制造誤差和安裝精度的影響，外齒式轉臺軸承的實際齒廓位于B′處，主動齒輪需多轉動一個δ角度才能與外齒式轉臺軸承嚙合，所以外齒式轉臺軸承外圈的實際轉動角度和理想轉動角度存在誤差，此誤差即為轉臺軸承的傳動誤差。

通常使用軸承內外圈的軸向跳動、徑向跳動來定量評價轉臺軸承的回轉精度[2]，但對于具有傳動功能的外齒式轉臺軸承，使用角值傳動誤差來衡量外齒式轉臺軸承的傳動精度更為準確。為簡化外齒式轉臺軸承傳動誤差分析過程，可將外齒式轉臺軸承分為齒輪和軸承兩部分，首先單獨分析每一部分的傳動誤差，然后再將軸承的跳動誤差當作齒輪的固有位置誤差，綜合分析外齒式轉臺軸承的傳動誤差。

2 各個部件加工誤差分析

2.1 齒輪固有位置誤差

齒輪固有位置誤差可以分為大周期齒輪固有位置誤差和小周期齒輪固有位置誤差兩種。在齒輪加工過程中，由于齒坯中心與加工工作臺旋轉中心不重合從而產生齒輪的幾何偏心，幾何偏心會產生徑向誤差。運動偏心則是由于在加工過程中加工刀具回轉中心存在運動偏心而導致的加工誤差，運動偏心主要產生切向誤差，導致齒距不相等。齒輪幾何偏心和運動偏心會產生大周期齒輪固有位置誤差，使齒輪的齒沿分度圓分布不均勻。齒輪的基節誤差和齒輪的齒形誤差是由于刀具本身誤差、加工工藝水平等形成的，基節誤差和齒形誤差綜合作用，產生了齒輪小周期固有位置誤差[3]。齒輪固有誤差影響齒輪傳動運動的準確性，進而影響外齒式轉臺軸承的傳動精度。

使用綜合偏差來描述齒輪的固有位置誤差較為直觀、清晰，它包括切向綜合偏差和一齒切向綜合偏差兩部分。切向綜合偏差是指當被測齒輪與測量齒輪單面嚙合檢驗時，被測齒輪一轉內，齒輪分度圓上實際圓周位移與理論圓周位移的最大值，切向綜合偏差可以綜合反映齒輪幾何偏心和運動偏心導致的大周期傳動誤差。一齒切向綜合偏差是指被測齒輪轉動一齒過程中，齒輪分度圓上實際圓周位移與理論圓周位移的最大值，一齒切向綜合偏差可以反映基節誤差和齒形誤差導致的小周期傳動誤差[4]。齒輪的固有位置誤差E可以用式(1)表示。

(1)

2.2 軸承外圈跳動誤差

外齒式轉臺軸承的內圈通過螺栓固定在安裝支座上，在軸承外圈加工出齒輪，軸承外圈與齒輪一起轉動，其結構如圖2所示。軸承外圈跳動相當于使齒輪產生了幾何偏心，造成了外齒式轉臺軸承的傳動精度下降。

軸承的內圈滾道幾何誤差、外圈滾道幾何誤差、滾動體的直徑誤差等相互作用共同決定了軸承的回轉精度。此外，徑向游隙、滾動體的個數等內部結構參數也對軸承的回轉精度有影響[5]。國內外學者對軸承回轉精度進行了大量研究，可以根據各個部件的加工精度分析計算軸承的回轉精度。對外齒式轉臺軸承傳動誤差進行分析時，為簡化分析過程，僅使用軸承外圈徑向跳動來衡量轉臺軸承的傳動誤差，不對每一個部件的加工精度展開分析。軸承外圈徑向跳動誤差可以用式(2)表示。

E′=esinθ

(2)

式中：e為軸承外圈徑向跳動誤差，μm，服從正態分布；θ為軸承轉動的角度，rad。

2.3 外齒式轉臺軸承系統裝配誤差

外齒式轉臺軸承系統是由外齒式轉臺軸承和小齒輪組成，裝配誤差主要來源于小齒輪實際回轉中心對理論回轉中心的偏移，是由齒輪孔與軸的間隙e1、小齒輪安裝處軸徑跳動間隙e2、軸承的徑向間隙e3三部分組成。系統裝配誤差E″可以用式(3)表示。

(3)

式中：ei為裝置的各跳動量，μm，均服從正態分布；θi為間隙相位角，rad。

3 數學模型

3.1 各組成部分加工誤差建模

可以使用最大誤差法、統計計算法來分析外齒式轉臺軸承的傳動誤差，但這兩種方法未充分考慮加工誤差的隨機性，最終計算出的誤差偏大[6]。蒙特卡洛方法則根據每個部件加工誤差的分布規律產生隨機數，然后進行抽樣對外齒式轉臺軸承系統加工誤差進行統計模擬，最后在一定置信度下根據抽樣分布確定最終傳動誤差。采用蒙特卡洛方法分析傳動誤差方便直觀，更加符合工程實際情況。

在外齒式轉臺軸承傳動誤差分析過程中，需要將外齒式轉臺軸承與小齒輪組成一個轉動系統來分析傳動誤差。由于小齒輪的制造難度較小，容易獲得較高的精度，故在轉動系統傳動誤差分析中可以忽略小齒輪的固有位置誤差，僅考慮小齒輪的裝配誤差和由外齒式轉臺軸承引入的誤差。

齒輪固有位置誤差中(ΔFi-Δfi)/2和Δfi/2具有瑞利分布形式，其分布函數見式(4)，采用直接抽樣方法，求得抽樣公式為式(5)，分布參數η1、η2見式(6)、式(7)。

(4)

(5)

式中：X1為服從瑞利分布的隨機變量；R1為服從[0,1]區間均勻分布的隨機變量；η為瑞利分布的分布參數。

(ΔFi-Δfi)/2的分布參數η1為

(6)

Δfi/2的分布參數η2為

(7)

小齒輪的裝配誤差和由于轉臺軸承外圈偏心造成的裝置誤差，都服從正態分布，其分布函數見式(8)，由變換抽樣法可得其抽樣公式(9)，分布參數見式(10)。

(8)

(9)

(10)

式中：X2為服從正態分布的隨機變量；μ為正態分布均值；σ為正態分布標準差；R2、R3為服從[0,1]區間均勻分布的隨機變量；e為裝置的跳動量，μm。

3.2 外齒式轉臺軸承傳動誤差綜合

(11)

式中:Δθ為傳動系統的角值傳動誤差，rad；r1表示小齒輪分度圓半徑，mm；r2表示外齒式轉臺軸承的分度圓半徑，mm；α為分度圓壓力角，rad。

4 工業CT機用外齒式轉臺軸承傳動誤差模擬分析實例

在某型號多模式工業CT機中，為實現對平板構件的層析成像，需要采用外齒式轉臺軸承機構，如圖3所示。該外齒式轉臺軸承外圈有安裝孔，可以固定平板型被測物體，內圈通過螺栓固定在支撐基座上。工作時，小齒輪帶動外齒式轉臺軸承外圈轉動，進而帶動平板型被測物體繞軸承中心旋轉，從而使得X射線能夠從不同的角度穿透被測平板構件，采集足夠的信息以進行層析成像。

根據實際應用條件，選用齒數194，模數3 mm的外齒式轉臺軸承，齒寬18 mm，內圈直徑500 mm。小齒輪齒數為25，通過減速機與伺服電動機連接。經過對CT重建算法的理論分析，要達到系統要求的成像質量，此外齒式轉臺軸承傳動誤差需小于0.02°。為避免精度浪費，控制加工成本，根據國家標準中規定的齒輪、軸承不同加工精度等級對應的允許誤差[8,9]，對外齒式轉臺軸承的傳動誤差進行蒙特卡洛模擬。齒輪和軸承不同加工精度等級對應的允許誤差如表1、表2所示。

表1 齒輪不同加工精度等級對應允許誤差 μm

表2 軸承不同加工精度等級對應允許誤差 μm

根據前文介紹的蒙特卡洛模擬方法，通過MATLAB仿真分析齒輪和軸承不同加工精度組合的情況下，最終獲得的外齒式轉臺軸承傳動誤差。模擬分析過程中，小齒輪的裝配誤差取均值為0，標準差為10的正態分布，置信概率取99.7%，仿真結果見表3。

表3 傳動誤差模擬分析結果 (°)

仿真結果表明，當齒輪加工精度高于7級精度且軸承部分加工精度高于6級精度，或者齒輪加工精度高于5級精度且軸承部分加工精度高于0級精度時，該外齒式轉臺軸承系統傳動精度能夠滿足設備使用要求。當齒輪選用7級加工精度，軸承部分選用6級加工精度時，進行100 000次抽樣，該外齒式轉臺軸承的傳動誤差分布如圖4所示。從最優化加工成本考慮，齒輪選用7級加工精度，軸承部分選用6級加工精度，既滿足設備傳動誤差的需求，也具有良好的經濟性。

5 結語

將外齒式轉臺軸承誤差分為齒輪固有位置誤差和軸承跳動誤差兩部分，利用蒙特卡洛方法能夠簡便快捷地分析外齒式轉臺軸承的傳動誤差。外齒式轉臺軸承的軸承部分跳動誤差對傳動誤差的影響較為明顯，在外齒式轉臺軸承加工時，應適當提高軸承部分的加工精度、降低齒輪的加工精度，以降低加工成本、避免精度浪費。

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[8]GB/T 307.1-2005 滾動軸承向心軸承公差[S].

[9]GB/T 10095-2008 圓柱齒輪精度制[S].