體現(xiàn)立體幾何思維特征的作圖問題

宋建輝

本文源于筆者在一次聽課中對一個課堂環(huán)節(jié)的思考.

在一次聽課活動中，該節(jié)課的內(nèi)容是人教A版必修2第二章2.3.2平面與平面垂直的判定，授課教師在課堂上的最后一個環(huán)節(jié)提出了以下問題：

授課教師所出示的問題源于課本題的改編，將原來的選擇題改編為證明題，意圖是鞏固本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，這無可非議.而改編最大的不同之處，在于授課教師給出了翻折后的立體圖形的直觀圖，這恰恰是值得商榷之處，也引起了筆者的思考，

課堂上學(xué)生對該題完成的情況可以說是“冰火兩重天”，部分學(xué)生非常迅速流暢解決，部分學(xué)生則遇到了較大困難，在授課教師不斷的提醒“注意翻折前后的幾何關(guān)系”下，才勉強(qiáng)完成，課后筆者對部分學(xué)生進(jìn)行了訪談，了解到學(xué)生問題的原因所在：學(xué)生的思考集中在教師給出的幾何體中去尋找獲取證明面面垂直所需要的條件，而忽略了翻折前后圖形的聯(lián)系，這恰恰是教師給出的翻折后幾何體的直觀圖造成的，讓學(xué)生跳過了探究圖形形成的過程，而去直接證明問題，從而造成了思維的阻斷.

思考1對于這道題來說，最難的一點(diǎn)就是，學(xué)生怎樣畫這個立體圖，怎么畫這個立體圖，老師給畫出來了，讓學(xué)生去證，怎么可能證不出來呢？老師給了圖，就背離這道題的命制意圖，它的價值也就大打折扣了.講這道題最理想的方法，就是讓學(xué)生畫圖，畫圖的過程實(shí)質(zhì)就是證明過程，畫完圖，這題也就證明完了，于是我們可以這樣設(shè)計這道題的教學(xué)：

如圖1，正方形SG1，G2，G3中，EF分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G.

問題1動手操作：請同學(xué)們拿出一張A4紙裁成正方形，根據(jù)題目的要求，折出這個四面體.

問題2根據(jù)你折成的四面體，畫出四面體S-EFG的直觀圖.

問題3請你判斷平面GEF垂直于平面GDS嗎？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由，

問題4你還能提出哪些問題？

作如此的教學(xué)設(shè)計，無疑抓住了立體幾何教學(xué)中最基本、最基礎(chǔ)的作圖問題，充分體現(xiàn)了“實(shí)驗(yàn)操作、直觀感知、推理論證”的課標(biāo)理念，既重視了課堂的生成性，又體現(xiàn)了教學(xué)的過程性，對提高學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力有較大的作用，

預(yù)期1翻折后的圖形有以下幾種畫法：

預(yù)期2提出的問題如下： ①求四面體a-c外接球的體積，②求點(diǎn)G到平面SEF的距離，③求證：點(diǎn)G在平面SEF的正投影是ASEF的垂心，……

思考2作圖問題，課本中就有要求，如人教A版必修2第59頁例3，人教A版必修2第63頁B組第1題，人教A版必修2第78頁A組第2題等；歷年的高考試題也不少，如2016年全國乙卷文18題；2016年四川理18題；2013年福建理19題；2013年福建文18題；2013年湖北理19題；2013年四川理19題，文19題；2013年安微理15題，文15題；2009年安微理18題；2002年全國高考文科22題，于是我們可以看到，這不是新的題型，但是在日常教學(xué)中就被忽視！原因之一是立體幾何作圖問題較少考到；原因之二是廣大教師沒有意識或認(rèn)識到作圖在立體幾何中的教學(xué)價值和問題解決中的作用.

案例2016年全國乙卷文科第18題立體幾何解答題，就是一道蘊(yùn)含推理論證的作圖試題，該題實(shí)測得分率非常低，堪稱2016年文科考生“黑色18題”.

試題呈現(xiàn)（部分）如圖7，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA =6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，點(diǎn)D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.

（I）略；（II）在答題卡第（18）題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積，

筆者曾將該題給理科生做，同樣也完成得非常不理想，這是我們教學(xué)中長期忽略作圖問題的后果，應(yīng)引起廣大教師的關(guān)注，同時應(yīng)思考我們立體幾何教學(xué)的問題所在，

解法1在平面PAB內(nèi).過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

理由如下由已知可得PB⊥PA.PB⊥PC，又EF∥ PB，所以EF⊥PC，因此EF⊥PA，EF⊥PC，又PA∩PC=P，所以EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.（求體積略）

解法2若注意到該題的正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，與正方體這個典型的幾何體相聯(lián)系，將該問題放置在正方體中研究則顯得更為直觀、易證.

如圖9，正方體P-ABC顯然是滿足條件的三棱錐，過點(diǎn)E作EF⊥PA于F，在正方體中，平面PAB上平面PAC，且平面PAB∩平面PAC= PA，所以EF⊥平面PAC，即F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

是題目偏嗎？不是！本題目恰好考查立體幾何最基本的內(nèi)容！立體幾何最基本的內(nèi)容是什么？是證明各種位置關(guān)系和各種計算嗎？不是！課程標(biāo)準(zhǔn)提到立體幾何的教學(xué)原則是：直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算，在這里最基本的是前8個字，本題目考查的內(nèi)容，說高大上就是空間想象能力，說細(xì)致就是立體幾何的繪圖能力，因此，在日常教學(xué)中，我們要認(rèn)識到作圖問題是立體幾何中最基礎(chǔ)、最基本的知識，是學(xué)習(xí)立體幾何最重要的基本功，更要重視蘊(yùn)含“推理論證”的立體幾何作圖問題的研究，通過這些作圖問題可以大大提高學(xué)生的空間想象力和推理論證能力，領(lǐng)悟立體幾何思維的核心，拓展學(xué)生理性思維的廣度和深度，這就是筆者在這節(jié)課聽課后的思考與反思.endprint