基于實值三線性分解的互耦條件下雙基地MIMO雷達角度估計算法

楊 康, 文方青, 黃冬梅, 張 磊, 王 可

(1. 中國電子科技集團公司第二十八研究所, 南京 江蘇 210007; 2. 空中交通管理系統與技術國家重點實驗室, 南京 江蘇 210007; 3. 長江大學電子信息學院, 荊州 湖北 434023; 4. 海軍指揮學院信息系, 南京 江蘇 210016)

0 引 言

伴隨著多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)技術在移動通信領域的不斷成功與發展,MIMO技術在雷達領域應用的研究方興未艾。利用匹配濾波處理及虛擬通道的思想,MIMO雷達可獲得遠優于傳統相控陣雷達系統的性能。MIMO雷達技術是學術界、工程界的研究熱點之一,該研究方向不僅有重大的理論和學術意義,而且應用前景廣闊,特別是具有巨大軍事應用價值和民用價值,美、英、日等科技強國均把它作為發展未來智能化探測系統的重點突破的技術[1-3]。為了對敵目標進行有效監測與阻擊,需要雷達系統能夠快速、精確對敵目標進行定位。角度估計是MIMO雷達目標定位的基本任務之一,因而引起國內外學者的廣泛關注。迄今為止,已涌現大量優秀的角度估計算法。典型的MIMO雷達角度估計算法有譜峰搜索法[4]、求根方法[5]、基于旋轉不變技術的估計算法[6]、傳播算子法[7]、張量方法[8-13]、稀疏表示法[14]等。其中,張量類算法由于能夠挖掘MIMO雷達數據的結構相關特性,因而是近幾年的研究熱點。

然而,上述算法的優異性能均是在理想的陣列條件下獲得的。實際上,由于雷達系統往往在非理想的環境下,因而上述算法在實際工程中難以獲得理想的性能。陣列MIMO雷達的非理想環境之一是陣元互耦影響,其主要表現為相鄰的幾個陣元間數據的相互影響。為克服MIMO雷達陣列的互耦效應,已有部分學者開展這方面的研究。文獻[15]提出一種基于Capon算法和迭代思想的DOD與DOA及互耦估計算法,文獻[16]提出了一種基于降維多重譜峰搜索的算法。上述兩種算法均將角度估計轉換為二次優化的問題,雖然可有效降低運算量,但是譜峰搜索過程仍然具有較大的復雜量。此外,由于二次優化求解目標角度過程中,陣列受互耦的影響可能會產生模糊效應,因而角度估計的精度可能會嚴峻下降。利用互耦矩陣的對稱Toeplitz結構,文獻[17]提出了一種基于旋轉不變技術(estimation method of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)的雙基地MIMO雷達角度估計算法,通過選擇性矩陣可以消去陣列的互耦效應。為利用陣列數據的多維結構,文獻[18]提出了一種基于實值高階子空間分解(higher-order singular value decomposition,HOSVD)算法。文獻[19]則提出一種基于三線性分解的DOD與DOA估計算法,其可改善張量分解的精度和計算復雜度。文獻[20]采用最小二乘+譜峰搜索的策略進行角度估計,提高了[19]中角度估計的精度,并改善了[19]中的互耦校正的復雜度。文獻[21]則提出一種基于張量壓縮和稀疏表示的雙基地MIMO雷達角度估計算法,該算法僅適合大規模陣列的參數估計,同時會導致參數估計精度的下降。在小規模陣列時,算法可能會完全失效。

考慮到均勻陣列的旋轉不變特性和互耦矩陣的Toeplitz對稱特性,本文提出一種基于改進三線性分解的雙基地MIMO雷達角度估計算法。首先利用選擇性矩陣消去陣列互耦效應,然后構建陣列數據的三線性分解模型。考慮到均勻線性陣列(uniform linear array,ULA)的中心對稱特性,利用前后平滑技術對張量數據進行處理,再構造陣列的增廣輸出的三線性分解模型。利用三線性分解獲得相關導引矢量的估計,最后再利用陣列的旋轉不變特性恢復目標的DOD與DOA。由于三線性分解使用迭代的方式獲得相關導引矢量,因而能獲得比HOSVD更高的估計精度。且陣列增廣輸出為實數,故本算法僅涉及實數運算,相比已有復數算法,本文算法的計算復雜度更低。

1 張量基礎與信號模型

1.1 張量基礎

為方便讀者閱讀及理解,首先引入文獻[22]中關于張量操作的3個定義。

定義3(張量模乘性質):N階張量X∈CI1×…IN的模乘性質主要有如下兩條:

X×n·A×m·B=X×m·B×n·A,m≠n

X×n·A×m·B=X×n·(B·A)

(1)

[X×1·(A1)×2…(AN)]n=

An·[X]n·[AN?…An+1?An-1…?A1]T

(2)

式中,(·)T表示轉置。

1.2 信號模型

考慮一個雙基地MIMO雷達的陣列模型,如圖1所示。

圖1 雙基地MIMO雷達工作示意圖Fig.1 Illustration of bistatic MIMO radar

圖1中MIMO雷達的天線系統由M個發射陣元和N個接收陣元構成,二者均是ULA。假設收發陣元間距均為d,為不引起陣列相位畸變需d≤λ/2,λ為發射信號波長,在本文中假設d=λ/2。發射陣元發射相互正交的波形。假設發射天線發射的基帶信號為相互正交的編碼波形,其中第m(m=1,…,M)路基帶信號為sm∈CQ×1,且滿足

式中,Q為編碼碼長;(·)H表示共軛轉置。假設在雷達遠場處于同一個距離元內具有K個目標,第k(1≤k≤K)個目標的方位為(φk,θk),其中為目標的DOD,θk為目標的DOA。假設收、發陣列相鄰的P+1個陣元間存在互耦效應,互耦系數分別為cr=[1,cr1,…,crP]T和ct=[1,ct1,…,ctP]T,其中0<|crP|<…

考慮MIMO雷達的一個相干處理時間(coherent processing interval,CPI)包含L個脈沖,則第l(l=1,2,…,L)個脈沖時間的接收陣列的輸出信號為

Xl=CrArdiag(bl)(CtAt)TS+Wl

(3)

(4)

(5)

2 基于實值三線性分解的聯合角度估計算法

2.1 陣列去耦合

式中,0表示元素全為0的矩陣；I表示單位矩陣;下標均表示矩陣的維數。容易得知[21]:

(6)

(7)

2.2 實值張量模型

(8)

(9)

(10)

(11)

故通過酉變換后的向量為一個實數向量[18-21]。結合式(10)、式(11)和定義3有

(12)

上述變換后的方向矩陣中含有目標相關信息,如果能獲得這些矩陣的估計,則可進一步獲得目標參數的相關估計。在傳統基于子空間方法的角度估計算法中,往往首先將上述張量轉換為矩陣的形式,然后對矩陣進行分解獲得目標的信息。這些方法往往無法利用張量數據的多維結構信息,通過張量分解的方式往往能獲得更加精確的參數估計性能。現有的張量分解方法主要有兩大類:直接法(如HOSVD)和迭代法(三線性分解法)。直接法將張量運算轉化為多個子空間分解運算,其計算復雜度往往較大,而迭代法往往通過幾次低維的迭代獲得高精度的參數估計。三線性分解又稱為平行因子分解(parallel factor decomposition,PARAFAC),是一類重要的張量分解方法,本文采用(trilinear alternate least squares,TALS)進行張量分解,具體過程如下節所述。

2.3 TALS

(13)

式中,E1=[Er]1；E2=[Er]2；E3=[Er]3。式(13)即為三線性分解模型的矩陣表達形式[11],由于Zr中每個索引位置的元素是由3個矩陣的元素的乘積構成,因此可認為Zr具有3個方向。相應地,Z1、Z2和Z3分別可被視為將張量數據Zr沿著發射方向、接收方向和脈沖方向展開而獲得的矩陣。傳統的子空間分解法往往僅利用了張量的數據的某一個方向展開的信息。

TALS算法是一種高效的三線性分解模算法,其采用最小二乘(least squares,LS)代價函數依次交替的擬合3個矩陣,當擬合誤差達到預期范圍內時算法終止。其處理本文所述三線性模型的具體步驟如下：①假設Z1、Z2和Z3中的兩個矩陣已知,采用LS的方法擬合其中的任何一個矩陣；②采用LS的方法擬合剩下的兩個矩陣；③重復①和②直到迭代次數達到預設值或擬合誤差達到預設閾值。現以某次具體的迭代過程說明TALS的迭代過程,根據式(13)可知,對Atr擬合的代價函數為

(14)

式中,‖·‖F表示矩陣的Frobenius范數。根據式(14)易知,Atr的LS估計值為

(15)

(16)

(17)

目標個數K往往是未知的,但是在本文中假設其為一個已知參數,否則其可以利用現有算法進行有效的估計[23]。由于TALS算法在更新過程中Arr、Atr及Br的誤差將得到改善或者保持不變,但是不可能增大,因而TALS總是會收斂的[24]。TALS的收斂速度與相關矩陣的初始化優劣密切相關,一般使用隨機初始化矩陣將獲得較慢的收斂速度,而使用ESPRIT算法可加快算法收斂。此外,使用一些壓縮算法可以進一步加快算法收斂。本文在實際仿真中使用COMFAC算法[25],其主要是通過張量壓縮的方法降低迭代計算的復雜度,一般僅需若干次迭代算法便可快速收斂。

2.4 聯合DOD與DOA估計

唯一性是三線性分解的重要特征之一。定理1[26]給出了三線性分解的唯一性的條件:

kAtr+kArr+kBr≥2K+2

(18)

(19)

式中,Ω是一個列置換矩陣；N1,N2和N3分別對應的估計誤差矩陣;Δ1,Δ2和Δ3為3個對角矩陣,其對角元素分別表示相應的尺度因子,且其滿足Δ1Δ2Δ3=IK。

(20)

式中,Ψt=diag(gt)；Ψr=diag(gr)；gt=[gt1,gt2,…,gtK]T；gr=[gr1,gr2,…,grK]T；gtk=tan(πsinφk/2)；grk=tan(πsinθk/2),k=1,2,…,K。其他旋轉性矩陣分別為

(21)

(22)

綜上所述,現將本文算法的具體流程可以總結如下:

步驟1將接收數據按照式(5)排列成一個三維矩陣;

步驟2按照式(7)進行去耦運算,按照式(10)構造前后平滑的數據張量Zc,進一步按照式(11)獲得經過酉變換的實數張量Zr;

步驟4按照式(21)獲得gtk、grk(k=1,2,…,K),并按照式(22)獲得DOD與DOA的估計值。

3 算法分析

3.1 復雜度分析

表1 各種算法復雜度的比較

3.2 可辨識度分析

3.5 算法優勢分析

本文算法相比傳統算法的優勢主要體現在如下幾個方面:

(1) 能有效應對收發陣列存在互耦的場景,且無需額外的校準源;

(2) 無需奇異值分解,無需譜峰搜索;

(3) 自動匹配所估計的DOD與DOA;

(4) 三線性分解僅涉及實數運算,計算復雜度低;

(5) 對相干源仍然適用。

4 仿真結果及分析

場景1收發陣元弱互耦干擾背景,P=1,互耦系數分別為ct=[1,0.117 4+j0.057 7],cr=[1,-0.012 1-j0.102 9];

場景2收發陣元強互耦干擾背景,P=2,互耦系數分別為ct=[1,0.8+j0.5,0.2+j0.1],cr=[1,0.6+j0.4,0.1-j0.3]。

圖2是在SNR=-15 dB、場景1、非相干源條件下本文算法進行200次蒙特卡羅仿真的散點圖,圖3是在SNR=-10 dB、場景2、相干源(目標一和目標二的相干度為0.99)條件下本文算法200次蒙特卡羅實驗的散點圖。可以看出,兩種仿真條件下3個目標的可以清楚的被估計出來,并且被正確配對,因而本算法對非相干源和相干源均適用。

圖2 場景1非相干源背景下本文算法估計的散點圖Fig.2 Scatter results of the proposed method in case I with non-coherent sources

圖3 場景2相干源背景下本文算法估計的散點圖Fig.3 Scatter results of the proposed method in case II with coherent sources

圖4與圖5分別為所有算法在場景1、非相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對比。由圖4可知,在低信噪條件下,張量算法性能較為接近,但性能均優于ESPRIT算法。隨著信噪比增加,所有算法的性能均有所提高,但本文算法在信噪比較低時性能優于HOSVD算法,在高信噪比條件下性能接近HOSVD。同時,所提算法性能會劣于PARAFAC,這是由本文算法在最后估計過程中存在孔徑損失造成的。由圖5可知,所有算法的PSD在高信噪比時都會達到100%。隨著信噪比的降低,PSD會下降,其開始下降所對應的信噪比位置被稱為信噪比閾值[17]。可以看出,但使用了張量計算的算法信噪比閾值要低于ESPRIT。此外,所提算法的PSD性能在信噪比低于閾值時優于HOSVD但劣于PARAFAC。

圖4 場景1非相干源條件下RMSE性能比較Fig.4 RMSE comparison in case I with non-coherent sources

圖5 場景1非相干源條件下PSD性能比較Fig.5 PSD comparison in case I with non-coherent sources

圖6與圖7分別為所有算法在場景2、非相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對比。對比圖4、圖5中的相關曲線可知,強互耦環境下相關算法的性能均有所下降。但是本文算法的RMSE性能與PSD性能仍處于HOSVD與PARAFAC之間,但仍然遠優于ESPRIT算法。考慮到本文所提算法在計算復雜度方面具有很大的優勢,因而本文所提算法可獲得估計精度和估計復雜度方面的折衷。

圖6 場景2非相干源條件下RMSE性能比較Fig.6 RMSE comparison in case II with non-coherent sources

圖7 場景2非相干源條件下PSD性能比較Fig.7 PSD comparison in case II with non-coherent sources

圖8和圖9分別為所有算法在在場景2、相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對比,其中第1個目標和第2個目標的相干度為0.99。可以看出,ESPRIT算法和PARAFAC算法均不能有效的分辨出相干源,而HOSVD算法和本文算法此時均能夠有效工作。此外,本文算法在低信噪比條件下性能優于HOSVD算法,在高信噪比條件下性能與HOSVD方法非常接近。綜合考慮到本文算法的復雜度低于HOSVD方法,本文算法要優于HOSVD方法。

圖8 場景2相干源條件下RMSE性能比較Fig.8 RMSE comparison in case II with coherent sources

圖9 場景2相干源條件下PSD性能比較Fig.9 PSD comparison in case II with coherent sources

5 結 論

本文提出了一種基于實值三線性分解的互耦條件下雙基地MIMO雷達聯合DOD與DOA估計算法。構建了接收數據的張量模型,利用均勻陣列的中心對稱特性和酉變換構造實值張量數據的增廣輸出,并將參數估計轉換為實值三線性分解問題。最后通過陣列旋轉不變方法估計目標方位。所提算法能有效應對相干源,并具有較小的計算復雜度。最后,在詳細分析算法性能的基礎上對算法性能進行了仿真分析和比較。

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