基于小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的“長教學(xué)”設(shè)計策略

一、對于小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識的認識

1.小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識的內(nèi)涵

筆者認為，所謂數(shù)學(xué)核心知識，是指那些適用范圍廣，自我生長和遷移能力強的基礎(chǔ)知識，它們在數(shù)學(xué)課程和教材中處于重要的、不可或缺的基礎(chǔ)地位。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)核心知識，包括基本原理、基本關(guān)系、基本方法、基本問題四大方面，即搭建小學(xué)數(shù)學(xué)課程和教材框架的最基礎(chǔ)和最重要的概念、數(shù)的意義和運算的意義、運算律和運算性質(zhì)、基本數(shù)量關(guān)系、幾何圖形特征和計算公式等，以及所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，它們是保持教學(xué)內(nèi)容前后連貫和一致的紐帶，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要載體。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識的價值

（1） “核心知識” 可以統(tǒng)率教學(xué)內(nèi)容。 《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》指出，要 “適度減少學(xué)科課程比重” “合理設(shè)計課程內(nèi)容”，大力發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力?？梢姡W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該充分體現(xiàn)基礎(chǔ)性和普及性的精神，其教學(xué)內(nèi)容完全可以簡約一些，更具彈性一些，使得每一個身心發(fā)育正常的學(xué)生都能夠?qū)W好數(shù)學(xué)。我們首先應(yīng)該考慮的是精選什么樣的知識重組教材，毫無疑問應(yīng)該是學(xué)生素質(zhì)結(jié)構(gòu)中不可或缺的最基礎(chǔ)、最核心的知識。以這些 “核心知識”來統(tǒng)率教學(xué)內(nèi)容，可以有效降低知識點的零散程度，實現(xiàn)減量不減質(zhì)的目標。

（2） “核心知識”能夠促進教師專業(yè)發(fā)展。教師通過挖掘核心知識的本質(zhì)特征及其內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，重構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系，能夠更好地促使他們思考如何高效達成教學(xué)目標。當習(xí)慣于用數(shù)學(xué)思想方法來關(guān)照 “核心知識”，教師就會主動整合教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生參與知識建構(gòu)的過程，始終關(guān)注課堂生成，著眼于學(xué)生的發(fā)展和成長。同時，才會有時間總結(jié)教學(xué)的成敗得失，這樣教學(xué)就可以促進教師教學(xué)智慧的生長，教師的專業(yè)化發(fā)展就會成為可能和自覺。

（3） “核心知識”可以優(yōu)化學(xué)習(xí)質(zhì)量。學(xué)生的時間和精力是有限的，抓住核心知識，就可以將學(xué)習(xí)興趣、時間和空間還給學(xué)生，讓他們充分地動手操作、動腦思考、動口表達，主動地建構(gòu)，深刻地體驗，從而高效地達到教學(xué)目標。由于核心知識本質(zhì)和內(nèi)隱思想方法的一致性，加之學(xué)生積極參與、主動參與、深度參與，學(xué)習(xí)狀態(tài)必然改善，學(xué)習(xí)效率必然提高，“高效輕負”就會成為現(xiàn)實。

3.小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識的建構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)的中心任務(wù)是塑造學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，使之具有不斷吸納新知識的能力和知識自我生長的能力。而良好的認知結(jié)構(gòu)，是以數(shù)學(xué)核心知識為聯(lián)結(jié)點的、具有自我生長活力的、學(xué)生能個性化理解的知識體系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)核心知識的過程其實也是一個建構(gòu)的過程，小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)有以下過程：

建構(gòu)核心概念。所謂核心概念是指在數(shù)學(xué)中處于最原始且重要位置的、反映現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性、概括性和統(tǒng)攝性強、聯(lián)系著諸多數(shù)學(xué)事實的基本數(shù)學(xué)概念。因此，我們的教學(xué)，要反復(fù)地回到作為某一學(xué)習(xí)階段學(xué)習(xí)原點的核心概念，不斷澄清、豐富、完善、拓展核心概念，使學(xué)生的認知變得簡約而清晰，在腦中的核心概念映像飽滿而具有吸附能力，增強吸附新知識的能量，為后續(xù)知識的建構(gòu)和累積提供良好的生長點。

形成知識脈絡(luò)。數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、邏輯性要求我們不能將零散的、孤立的知識教給學(xué)生。教學(xué)中，要著力于溝通知識內(nèi)在聯(lián)系，從知識整體結(jié)構(gòu)的高度來研究局部知識的地位和作用，研究每一個知識與整體知識結(jié)構(gòu)的關(guān)系及相互作用，研究已有知識怎樣成為后續(xù)知識的基礎(chǔ)，從中悟出科學(xué)的方法。

組建知識模塊。我們在教學(xué)中應(yīng)該把知識尤其是核心知識置于多種具有一定復(fù)雜性的多變的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生對知識形成多角度的理解，這樣可以幫助他們在面臨新問題時能迅速激活相關(guān)知識，順利解決問題。

形成認知結(jié)構(gòu)體系。從一定意義上說，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，就是在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程、概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、問題的發(fā)現(xiàn)過程、規(guī)律的揭示過程、方法的提煉過程、揭示知識之間內(nèi)在聯(lián)系過程的基礎(chǔ)上，將條目清楚、層次分明、結(jié)構(gòu)嚴密、縱橫聯(lián)結(jié)的外顯知識 “群組”，通過個體心理表征，逐步內(nèi)化、累積、補充、完善，在大腦中形成屬于學(xué)生獨特的認知結(jié)構(gòu)的過程。

二、小學(xué)數(shù)學(xué) “長教學(xué)”設(shè)計

1.小學(xué)數(shù)學(xué) “長教學(xué)”設(shè)計的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)本身具有嚴密的邏輯性，教材內(nèi)容一般分散編排、螺旋上升，不同學(xué)段的學(xué)生具有不同的認知水平和思維方式。因此，我們在進行教學(xué)設(shè)計時要依據(jù)前后知識存在的內(nèi)在邏輯關(guān)系和不同學(xué)段學(xué)生的不同認知發(fā)展水平，著眼一個長期的教學(xué)過程，可以是幾課時、一個單元、也可以是一個學(xué)期、一個年級、一個學(xué)段，甚至更長的階段，有目的、有計劃地進行長線設(shè)計，將每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容置于整體知識體系之中，引導(dǎo)學(xué)生在知識學(xué)習(xí)和建構(gòu)的過程中逐步達成學(xué)習(xí)目標，發(fā)展學(xué)習(xí)能力。

所以，小學(xué)數(shù)學(xué) “長教學(xué)”設(shè)計指的是在進行教學(xué)設(shè)計時不能只關(guān)注這一課時，而是要著眼一個長期的教學(xué)過程進行設(shè)計，并且要通過教學(xué)設(shè)計給學(xué)生一個長期的過程去建構(gòu)知識，使得知識產(chǎn)生的過程長，知識體驗的過程長，知識完善的過程長，使學(xué)生學(xué)習(xí)更高效，習(xí)得的知識更扎實，自身所建構(gòu)的認知結(jié)構(gòu)體系更完善。

2.小學(xué)數(shù)學(xué) “長教學(xué)”設(shè)計的著眼點

一方面，在 “長教學(xué)”的設(shè)計中，我們應(yīng)該緊抓知識的數(shù)學(xué)實質(zhì)、共同的性質(zhì)以及通用的方法，找準知識的生長點、延伸點，選擇、重組或創(chuàng)編教學(xué)內(nèi)容，讓知識有邏輯地生長、多方向地聯(lián)結(jié)，并借助生長慣性擴展知識的廣度，增加知識的深度，促進學(xué)生正確、清晰、全面地理解數(shù)學(xué)對象、內(nèi)容、方法之間的邏輯關(guān)系，了解正在學(xué)習(xí)的知識從哪里來，現(xiàn)在處于哪里，還要到哪里去，從而更準確地把握各個階段的教學(xué)內(nèi)容及其應(yīng)該達成的目標，學(xué)會用一條清晰的線索串聯(lián)起不同階段甚至不同領(lǐng)域的知識，讓知識能夠自然地生長和結(jié)構(gòu)化。

另一方面， 在進行 “長教學(xué)”在設(shè)計時不能急于求成，而應(yīng)關(guān)注階段，聚焦當下，循序漸進。應(yīng)該根據(jù)內(nèi)容和具體學(xué)情，科學(xué)地擬定簡約、具體、明確的階段目標，尤其是環(huán)節(jié)目標和課時目標，按照知識自然生長的節(jié)奏和學(xué)生認知發(fā)展水平，把握好當前知識的教學(xué)尺度，逐級遞進，螺旋上升，有效地達成每一個節(jié)點的教學(xué)目標，避免教學(xué)內(nèi)容所涉及的知識超出相應(yīng)的階段目標，給學(xué)生帶來額外的學(xué)習(xí)困難。

3.小學(xué)數(shù)學(xué) “長教學(xué)”的價值

（1） “長教學(xué)”設(shè)計有助于對核心知識內(nèi)涵和本質(zhì)的理解。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是知識的實質(zhì)性理解，就是學(xué)生對所學(xué)知識的內(nèi)涵和本質(zhì)能用自己的話表達出來，包括對語言材料的改組，表達方式的改變等，也就是在已有數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，建立了關(guān)于新知識的個人心理表征，并能將納入自身認知結(jié)構(gòu)中的新知識靈活地加以提取和應(yīng)用，這是理解的標志?！伴L教學(xué)”設(shè)計可以引導(dǎo)學(xué)生去解析知識的本質(zhì)，弄清內(nèi)隱的思想方法和表層的知識之間的聯(lián)系，弄清前后知識之間的聯(lián)系，感悟知識內(nèi)隱的方法和數(shù)學(xué)思想，促進其對知識實質(zhì)性的理解。

（2） “長教學(xué)”設(shè)計有助于對核心知識深度和廣度的挖掘。一般來說，核心知識通常蘊含大量的信息，從背景材料、數(shù)學(xué)思想及應(yīng)用等各個環(huán)節(jié)都包含了豐富的內(nèi)容。 “長教學(xué)”設(shè)計可以幫助我們對核心知識從深度和廣度上進行全方位的挖掘，促進學(xué)生全面、深刻和靈活地加以理解和掌握。這樣找準了知識向縱深拓展、橫向延伸的出發(fā)點，核心知識的教學(xué)就會產(chǎn)生放大效應(yīng)，數(shù)學(xué)知識、方法和思想就會融為一體。

（3） “長教學(xué)”設(shè)計有助于一般知識向核心知識的固著。 “長教學(xué)”設(shè)計更多地著眼于對一節(jié)課從宏觀上進行考慮和設(shè)計。教師可以根據(jù)教學(xué)目標，科學(xué)、合理地選擇核心知識為基點，并借助知識之間內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，將數(shù)量眾多的一般性知識進行 “吸附”， “固著”于與之相關(guān)的處于基礎(chǔ)地位的數(shù)學(xué)核心知識之上，從而為學(xué)生提供一個以數(shù)學(xué)核心知識為中心，以數(shù)學(xué)思想方法為線索的知識結(jié)構(gòu)體系，引導(dǎo)他們體驗數(shù)學(xué)知識在數(shù)學(xué)思想方法上的一致性，從總體上把握或者優(yōu)化重組所學(xué)知識。

三、小學(xué)數(shù)學(xué) “長教學(xué)”的設(shè)計策略

1.通過創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)，使知識產(chǎn)生過程長

小學(xué)數(shù)學(xué)課程呈現(xiàn)的知識，是一些已經(jīng)證實了的基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，是解釋生活現(xiàn)象、解決實際問題、揭示客觀規(guī)律的經(jīng)常使用的思維工具，但對于學(xué)生而言，初次接觸這些知識的本質(zhì)依然需要經(jīng)歷一個較長的過程。應(yīng)該通過創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)，使知識產(chǎn)生的過程變長，讓學(xué)生充滿好奇、由外而內(nèi)地走進數(shù)學(xué)，真正地讓學(xué)習(xí)發(fā)生在課堂，讓知識產(chǎn)生在課堂。

例如， “蘇教版”教材六年級（下冊）《圖形的放大和縮小》一課中，教師出示一幅較小的照片讓學(xué)生用自己的方式進行放大，通過呈現(xiàn)不同的放大方式所得圖片引出數(shù)學(xué)上的放大和生活中的放大是不同的。并且在揭示數(shù)學(xué)上的放大概念之后，通過兩幅圖，一幅長和寬乘以相同的數(shù)，一幅長和寬乘以不同的數(shù)，以此得到圖形的放大長和寬要乘以相同的數(shù)。

毋庸置疑，本課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生在日常生活中已經(jīng)沉淀了有關(guān) “放大”的認識，放大，使圖像、聲音、功能等變大。而這也構(gòu)成了本課學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特定視界?；诖?，我們尊重并利用學(xué)生腦中已有的關(guān)于“放大”的認識，同時對比呈現(xiàn)圖形的 “拉伸”與 “放大”，學(xué)生潛在的想法， “放大，長和寬都要放大”經(jīng)歷了課堂上的認知沖突，被進一步的明晰和強化。進而，又以反例，以反襯正，以反激正，以促進學(xué)生完善認識 “放大時，長邊放大的倍數(shù)和寬邊放大的倍數(shù)應(yīng)相等”。以上的教學(xué)過程，學(xué)生經(jīng)歷了認知沖突，不斷地思考、思辨，真正地經(jīng)歷了知識的產(chǎn)生和創(chuàng)設(shè)的過程，讓學(xué)習(xí)真的發(fā)生了。

具體教學(xué)中，我們應(yīng)該創(chuàng)設(shè)一個在解決實際問題、解釋生活現(xiàn)象、交流各自觀點時容易產(chǎn)生認識分歧和認知沖突的真實情境，讓學(xué)生經(jīng)歷類似科學(xué)探究的 “再發(fā)現(xiàn)” “再創(chuàng)造”的過程。我們應(yīng)該追本溯源，借鑒數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，遵循人類認識世界的一般規(guī)律，解構(gòu)課程、教材中靜態(tài)呈現(xiàn)的知識，將其設(shè)計成具有情境性、問題性、探索性、體驗性的學(xué)習(xí)活動，重建課堂教學(xué)流程，讓學(xué)生充分參與和深度卷入學(xué)習(xí)過程，進而基于各自的生活經(jīng)驗、背景知識、思考習(xí)慣、認知方式， “創(chuàng)造”出能夠表征個體獨特心理意義的知識，再通過合情推理、猜想驗證、查閱資料、比較優(yōu)化、交流互動，建構(gòu)客觀、精準的數(shù)學(xué)知識。長期通過這種 “創(chuàng)造”的形式進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生在遭遇困難時就不會無所適從，而是會憑借思維慣性創(chuàng)生新的知識、新的工具、新的方法去探索和嘗試解決問題。

2.通過前后勾連，使知識完善過程長

數(shù)學(xué)核心知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生通常需要在不同時間，不同視角切入和探索，經(jīng)歷一個逐步完善、長線建構(gòu)的過程。教學(xué)時，我們不能急于求成，追求一步到位，應(yīng)該針對教材內(nèi)容分散編排、由易到難、螺旋上升的特點和兒童在特定發(fā)展階段的認知水平，依據(jù)知識內(nèi)在邏輯和數(shù)學(xué)思想方法的前后一致，立足整體，進行 “長教學(xué)”設(shè)計，前后呼應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生在知識生長過程中逐步達成階段目標，直至全面理解和正確掌握。

下面以蘇教版五年級下冊 “分數(shù)的意義與性質(zhì)”單元例4《用分數(shù)表示兩個數(shù)量的倍比關(guān)系》為例（見圖1），談一談如何通過知識的前后勾連，來幫助學(xué)生建構(gòu)核心知識，直至全面理解和正確掌握知識。

圖1

從分數(shù)表示分率意義的角度來看，分數(shù)可以看成“倍” 和 “比”。 這種 “倍” “比” 關(guān)系， 不僅可以表示同類量部分與整體、部分與部分的關(guān)系，還可以表示兩個不同量之間的關(guān)系。具體教學(xué)時應(yīng)該考慮打通三者的關(guān)系，將它們進行勾連。

向前聯(lián)系 “倍”的認識。例如，在學(xué)習(xí)例4之前，我們可以從 “男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍”切入，讓學(xué)生說說男生人數(shù)和女生人數(shù)有3倍的關(guān)系，是誰跟誰進行比較，又是把誰作為標準量？如果女生人數(shù)用 “1”來表示，男生人數(shù)用幾來表示？這里的“1”和 “3”是指女生有1人、男生有3人嗎？通過這樣一系列的活動，學(xué)生對 “倍”的認知經(jīng)驗激活，并自主將標準量 （即1份量）和單位 “1”對接、融合。同時，讓學(xué)生體會 “男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍”改變比較順序之后，女生人數(shù)不可能是男生人數(shù)的 3倍，那么順理成章得出 “女生人數(shù)是男生的這是因為標準量發(fā)生了改變，從而為學(xué)生理解“同樣數(shù)量的物體，在不同的單位 ‘1’中所表示的分數(shù)不同”作了有效的勾連。

向后滲透 “比”的概念。在揭示分數(shù)的意義之前，我們可以讓學(xué)生分別感知把3個圓片看作一個整體，平均分成3份，1個涂色圓片是3個圓片的把6個圓片看作一個整體，平均分成3份，2個涂色圓片是6個圓片的把9個圓片看作一個整體，平均分成3份，3個涂色圓片是9個圓片的然后提出問題： “圓片的總個數(shù)不一樣，每份涂色圓片的個數(shù)也不一樣，為什么都能用來表示涂色圓片與總個數(shù)之間的關(guān)系呢？”讓學(xué)生感受到它們之間始終是1份數(shù)量和3份數(shù)量在進行比較，即它們之間有1份比3份的關(guān)系。在整體平分的背景下，我們既可以進行部分與整體、部分與部分之間的比較，即對同類量與同類量之間的比較，也可以結(jié)合例4的學(xué)習(xí)，滲透不同量之間的關(guān)系比較，聚焦 “幾份比幾份”，滲透 “比” 的概念。

如此教學(xué)，溝通分數(shù)與 “倍” “比”的關(guān)系，既可以把分數(shù)的意義擴展得更為豐富、更有張力，又可以為后續(xù)靈活解決用乘、除法計算的分數(shù)實際問題埋下必要的伏筆。

3.通過精細加工，使知識體驗過程長

我們知道，碎片呈現(xiàn)、淺層感知、機械記憶獲得的知識，很容易受到干擾和擠壓而更快遺忘。我們可以對核心知識進行精細加工：從深度和廣度兩個層面挖掘核心知識涉及的背景材料、數(shù)學(xué)思想和日常應(yīng)用等方面的信息，根據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗世界解構(gòu)與重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生熟悉承載知識的生活情境，感知包裹知識的具體事實，把握豐富多變的材料細節(jié)，從而建立準確的心理表征，獲得對其內(nèi)涵和本質(zhì)的實質(zhì)性理解，感悟知識背后所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

下面以 “蘇教版”三年級 （下冊） “面積和面積單位”的教學(xué)為例，談一談如何通過精細加工，使學(xué)生獲得對于知識的體驗，從而真正地抓住知識的本質(zhì)和內(nèi)涵。

教師有意安排學(xué)生用1平方分米的正方形紙片去測量課桌面的面積，由于每個學(xué)生只有3個這樣的正方形紙片，單用一個人的正方形紙片不可能擺滿課桌面，為了擺滿課桌面，完成測量課桌面的任務(wù)，一個自然的想法就是把幾個人的正方形紙片集合起來用，這就產(chǎn)生了合作的需要。在學(xué)生通過合作完成了測量課桌面的面積后，教師不失時機地提出了測量教室地面面積的要求。新的任務(wù)進一步激起了學(xué)生的參與熱情，他們在親身實踐中感悟到用1平方分米作單位去測量教室地面的面積太麻煩，也就是說，在這種情形下1平方分米作為度量面積的單位太小，于是1平方米這個單位的出現(xiàn)就是順理成章的了。我們看到，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程、體驗知識的形成過程和數(shù)學(xué)方法的發(fā)現(xiàn)的過程，在這里不再是抽象的口號，而變成了真真切切的現(xiàn)實。經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生還會不理解 “平方米”嗎？以后遇到像 “一間教室的面積是54（ ）”還會填錯單位名稱嗎？所以我們有理由相信，通過對于知識的精細加工，讓學(xué)生經(jīng)歷切實有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程，拉長他們體驗知識的過程，將會促進他們對數(shù)學(xué)知識技能的理解和掌握，在這個意義上說，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程目標和知識技能目標是可以統(tǒng)一起來的。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從生活中來，引導(dǎo)學(xué)生從生活世界走進充滿神奇與美感的數(shù)學(xué)世界，也應(yīng)該重新回到生活中去，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去觀察和審視生活世界，從數(shù)學(xué)視角去分析和解釋生活現(xiàn)象，借助數(shù)學(xué)工具去探索和解決實際問題。 “長教學(xué)”設(shè)計，就是為了在數(shù)學(xué)知識和學(xué)生經(jīng)驗的解構(gòu)與重構(gòu)中進行更精細、更完整的認知加工，不斷提高學(xué)生對于生活世界和數(shù)學(xué)世界的雙向轉(zhuǎn)換能力，最終通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維、學(xué)會創(chuàng)造、學(xué)會共處、學(xué)會改變，促進學(xué)生實現(xiàn)真正的發(fā)展。

［1］魏光明．長程設(shè)計：關(guān)注階段性和一致性［J］．江蘇教育，2014，（17）．

［2］朱小平，魏光明．整體視角下的內(nèi)容選擇與教學(xué)實施——從蘇教版教材中“分數(shù)的意義”的編排說起［J］．教育視界，2015，（8）．

［3］魏光明，王俊亮．基于小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)餓課堂實踐［J］．江蘇第二師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)），2014，（2）．