讓小學數學起點型核心知識成為核心素養落地的種子

《義務教育數學課程標準 （2011年版）》 （以下簡稱 “《2011版課標》”）前言部分關于 “課程內容”的闡述，最大的亮點在于修改、充實了十個核心詞， 即 “數感、 符號意識、 空間觀念、 幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想，應用意識和創新意識。”筆者以為，這十個關鍵詞都指向一個熱門詞匯： “核心素養”。 “核心素養”指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，幫助學生獲得核心素養 “是為了使學生能夠發展成為更加健全的個體，能夠更好地適應未來社會的發展變化，為終身學習和終身發展打下良好的基礎，并能夠達到促進社會良好運行的目的”。小學階段是核心素養發展的 “種子期”，所以我們應該找到起點型核心知識，即處于某個知識領域、某個知識序列、某個知識段落、某個教學單元起點位置的核心知識，通過這些具有相對意義的原點性知識的學習，使學生在學習的過程中，習得數學發展所必需的關鍵能力，形成良好的數學品格，助力核心素養的養成。

一、精心甄選：建立核心知識串

《2011版課標》中安排了四大領域的課程內容：“數與代數” “圖形與幾何” “統計與概率” “綜合與實踐”。每個領域內容都有其對應的基本思想、基本方法、基本關系或基本問題，這些思想、方法、關系、問題本身不是相對獨立的，而是相互交織的，所以除了顯性的 “核心知識”外，還要關注數感、符號感、幾何直觀、數據分析觀念等隱性的核心內容，它們是培養學生核心素養的關鍵。因此，教師必須系統地、宏觀地梳理，甄選出典型的、高度相關的核心知識，再具體精細地研究和實踐。

以 “數感”的建立為例。 《2011版課標》關于“數感”的表述是： “數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系”?？梢姡瑪蹈衅鋵嵤且环N“感悟”，是數學學習歷程中頓悟的或者漸悟的關于數的感覺、體會和理解，這種感覺和理解需要通過整數、分數、小數等數的認識及運算的系統學習和運用才可能較好地建立。就小學階段而言，我們就應該從數與代數領域中選出最核心的知識點幫助學生建立數感。

以認識自然數為例 （如圖1）。

圖1

一年級第一課 “數一數”就是一個核心知識點，它的核心在 “數”上，作為起點型核心知識，它從最原始本初的 “數”開始，教會學生怎樣一個一個、不重復不遺漏地數。不少老師在教這課時往往會忽視這個建立數感最關鍵的 “數”的方法，而把重點放在數得對不對，怎樣用點子圖來表示數上，殊不知學生有意、無意的數數活動，正是數感建立的最佳方法之一，通過 “數”，學生知道數到最后一個數的值就是集合的基數。他們在 “數”的過程中，會把數學課堂活動和自己的生活經驗和基礎結合起來，悟出一些自己對 “數”數活動的認識與經驗，再認識20以內的數就不難了，當數到19的時候，絕大部分學生都會自然數出20，到了后面大多數學生會知道29后面是30，39的后面是40……這就是數感?？梢?，良好的數感，有助于他們的數學表達與新知識的建構。

一年級下冊 “認識100以內的數”是學生認數的第一次飛躍，因為100以內的數已經不可以用身體上的手或腳來 “數”了，這時就需要借助計數工具小棒幫助兒童 “數”數，同時還可以借助計數器來 “讀” 數， 另外， 數軸的有 “序” 性和 “比” 數的大小也可以幫助兒童建立數感。

二年級下冊 “認識萬以內的數”是學生認數的第二次飛躍，這一類數在生活中以量的形式存在，看到的較少，這時借助直觀的方塊圖讓學生 “看”，可以較好地培養數感。

四年級下冊 “認識多位數”是小學階段認數的第三次飛躍，這些數已經大到無法直觀地感受，這時就需要通過 “讀”多位數、 “算”大數據等方法來幫助學生建立數感。

當然， 除了 “數” “讀” “比” “看” “算” 等方法，在生活中多 “用”也是建立、發展數感重要的過程。

以上是從一年級到四年級關于認識自然數的起點型核心知識串，如果教師能夠看到這根知識鏈條，輔以恰當的教學手段，就會使學生數感的建立有層次、有梯度、有計劃，就不會使學生的思維中缺乏對數的感覺，更不會出現 “我爺爺今年13歲”“大象3千克” “課桌長2毫米” “村里有3.1只小船”……這些明顯的錯誤了。

當然，數感的建立不僅僅是自然數，還應囊括整數、分數、小數等等，所以在小學教學中，精選核心知識點，緊扣核心知識的鏈條，充分重視以十個關鍵詞為代表的數學知識體系的建構，才能有效培養學生的核心素養。

二、充足水分：營造數學思維場

日本數學家米山國藏說過： “作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，深深銘記在頭腦中的唯有數學的精神、數學的思想、研究方法和著眼點等。這些都隨時隨地發生作用，使他們終身受益?！笨梢姡瑪祵W課堂上， “數學的精神、數學的思想、研究方法和著眼點”的教學應該比單純的知識學習更重要。但是細品我們的課堂，學生有多少思考的機會？有多少思維的空間？又有多少交流的時間？為了在規定的課時內完成既定的目標與任務，我們常常提出問題后，就迫不及待地開始讓學生操作，接著個別學生的正確匯報代替了全班同學的想法，即使有不同的意見，學生也幾乎沒有發言的機會。要改變這種狀態，必須緊扣核心知識，在教學中更應將思維培養納為重要的教學目標，輔以教師的思考與設計，把課堂營造成兒童數學的思維場。

1.多一種變化，讓思維更靈活

圖2

教學“蘇教版”一年級（下冊）“認識元、角、分”一課，大部分老師的做法都是通過生活情境引入，帶領學生認識1元及1元以下人民幣的基本特征，然后進入人民幣單元換算 （如圖2）的教學，在學生換算完并說明道理后，老師往往會追問： “1元等于幾角？幾角等于1元？”以鞏固和強化知識，這其實是不夠的，這時教師可以增加一點變化，拓展一下學生思維：“2元等于幾角？30角等于幾元？”甚至讓學生舉一反三： “你會像這樣提出問題考考大家嗎？”將學習的主動權交給學生，可以充分調動學習積極性，變被動學習為主動學習，使學生的思維火熱起來。

同理，在 “認識元、角、分”換幣的教學中 （如圖3），教師也可以在正常問完 “1張1元可以換幾張5角？幾枚5分可以換1枚1角？”的問題后，增加一點變化： “你還會怎樣換？”使人民幣這一起點型核心知識發揮其繁殖性，為后續的單位換算預留下豐富的發展空間，使兒童的思維真正靈活起來。

圖3

2.多一種延續，讓思維更廣闊

仍以 “認識元、角、分”一課為例。 “想想做做”第2題 （如圖4）的教學，在配套的 《教師教學用書》中是這樣建議的： “第2題，可以先讓學生辨認每幅圖中人民幣的面值，再要求他們各自完成填空，最后組織學生交流思考的過程”。對于怎樣組織學生交流思考的過程，沒有具體的說明，所以大部分老師認為只要學生說明道理即可，甚至有的覺得內容比較簡單，直接讓學生填好校對就結束了。實際上，在學生寫出右邊的1元8角后，可以補充問： “1元8角就是多少角？你是怎樣想的？”不僅可以鞏固對人民幣面值的理解，還可以為后續單復名數的換算打基礎，使學生想得更多，思維更開闊。所以起點型核心知識的教學中，需要教師多思考，為學生思維的發展留下接口與生長點。

圖4

3.多一種追問，讓思維更深刻

蘇教版一年級下冊 “認識100以內的數”一課的練習中有這樣一道數珠子的題 （如圖5），這道題該怎樣教學呢？是讓學生按要求邊數邊劃邊圈，同時提醒注意數正確、圈清楚嗎？在教學這題時，筆者先不出示題目要求，而是讓學生先討論數的方法，在學生得出 “每10個一圈，再數一數一共有多少顆”的方法后，追問： “每 10個圈一圈就不會錯嗎？帶著這個問題我們一起圈圈看。”學生在實踐中發現，即使每10個一圈，如果圈得沒有順序，也會出現不滿10個的珠子零散分布的情況，仍然會造成漏數或錯數，這時教師繼續追問： “現在想一想，有什么方法能既不遺漏又不重復？”學生除了感悟到數的時候要認真細心外，更總結出畫圈的過程要按從左往右的順序，圈與圈之間，圈子外面都不留珠子，這樣圈才不易數錯的方法。在平時的課堂操作中，如果我們可以多些這樣的追問，就能讓學生經歷為了達到正確方法反復修正的過程，不僅促進了學生深層次的思考，也培養了他們嚴謹的學習態度，核心素養就是這樣養成的。

圖5

4.多一種可能，讓思維更發散

“蘇教版” 一年級 （下冊）“認識元、 角、 分” 一課最后有這樣一道題：

圖6

筆者把題目要求改成了： “給你1元，你想怎樣買？”把原先只有2種可能的答案變成了無限多種可能，學生在這樣發散的問題中，思維的空間被打開，出現了多種多樣的答案，有的把 1元買完，有的買完后有剩余，有的買同樣的物品，也有的買不同樣的，甚至還有向別人借一些錢買到自己需要物品的……可見，就題講題，極易把學生的思維框在解題的框架里，教師應在有限的教學時間里給學生無限思維的空間，必須多些思考與智慧，小到一個問題的增加或改動，也能為學生創建出 “思維場”。當然起點型核心知識本身就是最接近現實生活的，因為唯有與生活更接近，才能更好地培養出滋養生活的核心素養。

三、適當光照：賦予學科文化觀

數學是一種文化，數學文化對人的影響表現為人的數學素養。 《2011版課標》明確提出 “數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中”。教師要善于發現并運用好這些 “滲透”其中的數學文化，為學生創設良好的數學文化氛圍，讓學生在這樣的氛圍中 “嗅”到數學的文化氣息，培養核心素養。

1.創設問題情境，還原數學本質

數學是一門嚴謹的學科，每一個概念的產生都有豐富的知識背景。如果我們能通過問題情境的創設，盡量還原這些背景，就能讓學生經歷數學家發現概念的最初階段，就會使學生養成敢于猜想的習慣，形成數學直覺，發展創造性思維。

圖7

蘇教版三年級上冊 “認識分數” （如圖 7），是學生第一次認識分數，是個典型的起點型核心知識，是數概念的一次重要擴展。雖然學生對分數并不陌生，甚至對分數有一定的了解，但這種認識是比較膚淺和感性的，他們習慣于整數范圍里的計數、計算和解決問題，把數的概念向新的領域擴展，就需要強烈的動機來支撐。因此教材 “創設了野餐活動時分食品的情境，讓學生分別把4個蘋果、2瓶礦泉水、1個蛋糕平均分成2份。通過平均分的結果有時能用整數表示，有時不能用整數表示，引導學生體會分數的產生源于實際生活的需要。”

大部分老師都會按照教材的指引，通過 “一個蛋糕平均分成2份，每人分得半塊，半塊蛋糕怎樣用數來表示呢？今天我們一起來學習分數?！眮斫沂菊n題，并進入怎樣用分數來表示半塊的教學。

筆者以為，這樣的教學并沒有讓學生真正產生用 “數”表示半塊的需要，更缺乏創造性思維的培養。這一環節中，筆者將問題設為 “能用你喜歡的方法表示半塊蛋糕嗎？”學生的創造性思維立刻被打開，有的畫圖，有的寫字，有的擺小棒，也有的試著用數來表示，接著教師將學生自己的 “創作”貼在黑板上，讓學生討論最喜歡哪一種表示方法，并說說理由。學生在這樣的討論、研究、辯論中，最終得出，用分數表示的形式最簡潔明了。在這一過程中，沒有教師的一味包辦，放手給予學生充分探索、討論、爭辯的時間和空間，讓學生核心素養的種子在你一言我一語的碰撞中悄悄發芽。

所以學數學，特別是起點型核心知識，經歷數學探索史是最好的方法。在這一事例中，教師提出問題后，學生自己的 “創作”是初步的猜想，討論、研究、辯論的過程是學生由獨立思考逐步向學會思考的轉化，最終發現了用分數表示最簡潔的結果，整個過程一氣呵成，不但開放了思維，也培養了創新意識，豐富了學生的核心素養。

2．巧借數學史實，凸顯數學內涵

數學文化的內涵不僅表現在知識本身，還寓于它的歷史中。了解一些數學歷史，有助于學生較全面地認識數學的文化底蘊，激發學生學習數學的欲望。

蘇教版一年級下冊 “認識元、角、分”一課，很多老師喜歡在課始或課末加上單元最后的 “你知道嗎？” （如圖8）的內容，或是向學生介紹5套人民幣的變化。試問如果僅僅是介紹這些錢幣，就能幫助學生 “了解我國錢幣的發展變化，感受錢幣在生產、生活、貿易等方面的重要作用”了嗎？答案必然是否定的！

圖8

筆者曾看過這樣一個教學片斷，內容是蘇教版二年級上冊 “表內乘法和表內除法 （二）”練習十一里的一道練習題 （如圖9），教師在教第一個問題時就遇到了瓶頸，學生的思路局限于 “先算出鋼筆的錢，再用鋼筆的錢來除以圓珠筆的單價得出能買多少支圓珠筆”上，所以提出鋼筆和圓珠筆的價錢都不知道，沒有辦法計算。這時，教師是這樣處理的：

圖9

師：孩子們，既然不知道價錢，我們先不管價錢，直接用1支鋼筆來換7支圓珠筆行嗎？

生齊答：行。

師：其實在古代，最早還沒有發明錢的時候，人們是直接用物品換物品的。比如，一個人家羊多，可是他家沒雞，孩子們又很想吃雞，怎么辦呢？他們就拿自己家的羊去換雞，通過協商，1只羊換了5只雞，后來，家里又缺斧頭，又到鐵匠家換斧頭，1只羊換了2把斧頭。你們看，古代人最早的時候就是這樣交換東西的。有的用牛羊換糧食，有的用糧食換鐵器，可是，有時候好不容易到了鐵匠家，鐵匠不想要羊，斧頭沒換成，還要把羊牽回去。大家覺得這樣交換很不方便，后來，人們發現一些小巧又珍貴的東西，好多人換。

生：我知道是貝殼，我在博物館看到的。

師：你懂得真多。是的，既然好多人都喜歡換貝殼，人們就想了個辦法，凡是多出來的牛羊、糧食、鐵器……都換成這些貝殼，再用這些貝殼去換自己想要的東西就方便多了，貝殼就是最早的錢。后來慢慢發展，就有了各種各樣的錢啦。我們今天就穿越到古代，直接用物品來換物品好嗎？

學生立刻炸開了鍋，熱情高漲，開始議論紛紛。

師：誰能把1支鋼筆換7支圓珠筆畫出來呢？

學生在黑板上畫出1支鋼筆和7支圓珠筆：

師：4支鋼筆換多少圓珠筆，又該怎么算呢？寫在本子上。

生：能換4個7支，就用4×7=28支。

師：真棒！那么第二問，你們會做嗎？這次真的是用錢來買東西了，趕緊再穿越回來啊。

學生哈哈大笑。

生：因為1支鋼筆等于7支圓珠筆，7支圓珠筆是7×2=14元，1支鋼筆就是14元。

師：你真棒！

在這一片斷中，教師借用貨幣發展史中 “物物交換”的經驗，引導學生突破由商品總價和單價求出商品數量這一熟悉的解題思路，使得學生最終上升到“等價交換”的層面解決問題。

“物物互換”是人類數學史上最早的起點型核心知識，可見，數學知識在其誕生之初，既不神秘也不嚴謹，沒有一點形式邏輯的印記，卻啟蒙了數學發展史，起點型核心知識對于核心素養也是同樣的道理，所以教師要學會用淺顯的情境去凸顯數學的深刻內涵，努力探求兒童眼中的數學本質，使得數學教育煥發其光芒。

3．滲透數學思想，品味數學魅力

一個人在學生時代獲得的數學知識和技能，在進入社會以后大多很少用到，甚至不少會被遺忘，但數學方法、策略、思想卻會以內斂、潛在的方式沉積于每個人的內心，成為一個人進行數學思考的重要支撐。在小學數學教學中，由于學生的年齡相對較小，理解力相對較弱，教師更應敏銳地捕捉那些滲透在看似普通的數學知識、數學技能中的重要數學概念、數學思想、數學方法，使之放大、外化，并在課堂中及時傳遞。

在 “蘇教版”一年級 （上冊）的教材中，我們就可以發現許多核心知識中滲透了重要的數學思想方法。如 “20以內的進位加法”單元的練習十一中有這樣一道題：

此題滲透了函數的概念，即當一個加數固定不變時，和隨著另一個加數的變化而變化，也就是說一個加數不變，和是另一個加數的函數。在練習中，我們就不能僅僅滿足于學生做對答案，而應該引導學生用稚嫩的語言，把自己朦朧的函數思想表達出來。在這里，我們追求的是學生的數感，因而學生的表達可以是直覺的，是朦朧的，是不完整的表達。在一次次這樣的表達中，學生的函數思想的種子會慢慢萌發……

再如 “10以內的加法和減法”單元中練習五的思考題 （如圖10）滲透了方程的思想，題里的兩個不同的符號△和○表示不同的數，這樣的思考題對于絕大多數兒童來說是非常容易的，但是教師應當明白，若將圖形換成字母，這里就是兩個一元一次方程。要讓學生初步感悟方程的思想，正確求解出答案是不夠的。我們可以通過 “仿一仿”的方法，讓學生自己試著像這樣出個題目，雖然有些孩子不能完成這樣的拓展任務，但是在別的孩子的正確仿題中，他們會和大家一樣，加深對方程的初步了解。

圖10

還有 “期末復習”中的思考題 （如圖11），如果學生理解起來有難度，就可以運用符號化思想，用畫圖的方法來幫助學生。學生會在畫圖后找到答案，發現數學是可以畫出來的，感到數學也很好玩！他們在無形中被數學的魅力征服了！

圖11

其實，教學時我們不可能具體地說到這些概念、思想和方法，但是，如果教師能夠發現其中隱藏的數學思想，就能引領學生運用相應的方法去解決問題，就能給看似普通的數字、符號、概念……賦予新的“精神元素”，就能通過起點型核心知識，融合核心知識、核心技能和核心思想，使核心素養無痕地滲入學生的學習、生活和成長，使數學彰顯其魅力，引導學生悄然邁向核心素養成長的康莊大道。

四、恰當溫度：豐富考核評價法

評價是數學課程改革的一個重要環節， 《2011版課標》指出： “評價不僅要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發展和變化。應采用多樣化的評價方式，恰當呈現并合理利用評價結果，發揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心。通過評價得到的信息，可以了解學生數學學習達到的水平和存在的問題，幫助教師進行總結與反思，調整和改進教學內容與教學過程。”

這段論述為教師對學生的評價指明了方向，就是評價需要人文化，教育評價的目的是為了激勵學生學習，培養學生的主動性。所以，我們不僅要關注學生學習的水平，更要關注他們學習的過程和他們在數學活動中所表現出來的情感和態度。這就是評價育人，因為恰當的評價很好地把起點型核心知識與學生的核心素養發展熔為一爐，同生共長。評價的方法多種多樣，但大致可以總結為三個原則。

1.堅持多元的評價標準

如在課堂教學中，可以多表揚有效傾聽、有序思考的孩子；表揚姿勢端正的孩子；表揚聲音響亮的孩子；表揚遇到問題先想一想再表達的孩子……這樣的評價不僅可以調控課堂教學節奏，還能糾正學生的學習態度、方法和習慣，是對兒童全方位多元評價的一種體現。

2.堅持豐富的評價方式

在評價開放的今天，一紙試卷、一個理想的分數早已不能成為評價一個完整的發展中的兒童的標準。游戲競賽、動手操作、實踐應用、講述故事、智力活動……越來越多的老師通過多樣的寓知識掌握、能力檢測和習慣考察于一體的數學活動來評價兒童，使他們在好玩有趣的活動里鞏固所學，培養興趣。

3.堅持靈動的評價情境

課堂外，我們也可以給學生搭建豐富的平臺，引導學生自我評價、互相評價。身高貼、走迷宮、跳格子、拼圖形、畫數學、小商店……這些不經意的游戲里都蘊藏著數學知識，不僅不占用課堂教學時間，還可以讓學生邊玩邊學。

因此，新的評價觀關注的是每一個兒童發展的整體性，要求我們必須用欣賞的眼光看待兒童，保護他們智慧的火花，引領他們發展數學方法技能，形成和諧的核心素養體系。

學生的數學素養不是一天兩天就可以培養和形成的，所以落實在學科素養上的核心素養培育更不是短期可以完成的，實現它是一個長期的思維不斷優化的過程，甚至伴隨一個人的一生。起點型核心知識就像一顆種子，我們應該精心甄選后種下，配以充足的水分、適度的光照及恰當的溫度，勤勞的管理，學生的心田上最終必將開出芬芳的 “數學素養” 之花。

［1］林崇德．21世紀學生發展核心素養研究［M］．北京：北京師范大學出版社，2016．

［2］中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

［3］南京東方數學教育科學研究所編著．義務教育教科書教師教學用書（數學一年級下冊）［M］．南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014．

［4］南京東方數學教育科學研究所編著．義務教育教科書教師教學用書（數學三年級上冊）［M］．南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014．