例談小學“數與代數”領域教學時核心問題的設計策略

數學家哈爾莫斯說過 “問題是數學的心臟?！?“核心問題”指從教學內容整體的角度或學生的整體參與性上考慮，設計的思考性強、數學味濃、需要探究、合作、交流的 “牽一發而動全身”的重要問題。這種教學觀念倡導以 “問題”為導向來進行 “板塊式”的教學，問題的設計關注數學本質、挑戰性、開放度。根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課程標準”）的要求，小學數學各學段主要安排了四個部分的課程內容： “數與代數” “圖形與幾何”“統計與概率” “綜合與實踐”。 “數與代數”在各冊中都占有較大比例，其教學主線有：數概念的建立、運算的理解與掌握、問題解決與數量關系、代數初步等。筆者將嘗試從 “數與代數”領域的教學主線出發，結合實踐談一談該領域核心問題的設計策略。

一、立足數概念的形成過程設計核心問題，促進概念的建構

學生學習數學是從建立數概念開始的。在義務教育數學課程中，數的概念包括自然數、整數、有理數等。數概念的形成過程是數概念外延的多次擴張過程。伴隨著多次擴張的過程，教學時要找準兩點：生長點和結點。 “生長點”即學生已有的知識經驗中與新知相關聯的部分； “結點”即學生形成新概念遇到的難點。再在找準兩點的基礎上，設計相應的核心問題，按照引入概念——探究概念——深化概念的思路進行教學。

例如， “分數的意義”一課是典型的概念課。此前，學生對分數已經有了兩次初步認識，首先認識了把一個物體平均分成幾份，其中的一份或幾份可以用分數表示，然后認識了把多個物體看成一個整體，平均分成幾份，其中的一份或幾份用相應的分數表示。對分數含義的真觀認識是本課的生長點，而本課的結點則是對單位 “1”意義的理解。

1.數概念的引入

在數概念的教學中，概念的引入是第一環節。在引入階段要理清學生已有的背景性知識，這樣才能為學生高效化的概念學習打下基礎。

片段一：

師：同學們，今天有一位新朋友和我們一起學習， 想知道是誰嗎？ （板書：1）

師：誰來談談對1的認識。

生發表見解。

師：看來，同學們對1有著不同的看法，但我相信你們學了今天這節課以后，對1將會有一個更深刻的認識。

開門見山的問題 “談談對1的認識”充分尊重了學生的背景性知識：小學生認識數始于自然數。教材中安排學生認識的第一個自然數是 “1”，彼時學生對“1”的數概念的建立是具體的，是等價有限集合中元素的個數，可以表示 1個人、1朵花等具體的事物；隨之話鋒一轉 “相信你們學了今天這節課以后，對‘1’將會有一個更深刻的認識。”一下子打開了學生的思路，激發了學生后續學習的興趣，更有利于學生自主對比和豐富對單位 “1”的認識。

2.數概念的形成

在數概念的形成過程中，讓學生經歷概念的分析、比較、歸納、綜合、抽象、概括的形成過程，能有效激發學生的學習積極性，促進其對數概念的記憶與理解。

片段二：

師：如果讓你用手中的材料表示一個分數能行嗎？（學生每人選一種材料，表示出分數在小組內交流）

老師選擇部分學生作品展示。

反饋討論：

生：把一塊餅平均分成5份，表示這樣的4份；把一些小棒平均分成5份，表示這樣的4份……

師：還可以是把什么平均分得到的？

生：……

此教學片段圍繞核心問題 “理解單位 ‘1’的意義”展開設置了兩個主要問題：用材料表示一個分數、分析材料表示的分數的意義。數學教學不是把現成的結論教給學生，而是數學活動的教學。學生在用材料表示分數的過程中，獲得了充分從事學習活動的機會，從而為理解分數的意義和單位 “1”的意義積累了相應的數學活動經驗。課程標準指出：數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。單位 “1”的概念不是教師 “教”給學生的，而是學生通過經歷大量的數學活動，逐步在 “做”中獲得的。

3.數概念的內化

概念的內化是數概念的建立中必不可少的過程，內化概念就是加深識記概念和理解概念，就是對書本陳述的抽象的、靜態的概念進行個性化的理解。

片段三：

生：把1平均分成5份，表示這樣的4份。

師：這里的1表示什么？

生：一個物體，一個計量單位，一些物體組成的整體……

師：像這樣的1，數學上叫作單位 “1”。

片段三圍繞核心問題 “理解單位 ‘1’的意義”設置了另一個主要問題： “1”還可以表示什么？數學活動不僅包括讓學生參與外顯行為、可觀察的活動，而且也包括讓學生參與積極的思維活動。讓學生自主概括對單位 “1”的理解，是讓學生對之前用材料表示分數時積累的數學活動經驗進行總結反思、自主升華，也在師生互動、生生互動中，讓學生看到了問題的不同側面，對自己和他人的觀點進行反思，建構起自己對單位 “1”概念的更深層次的理解。

抽象性是數學的主要特征， “數”更是抽象的產物?？紤]到學生的年齡特征和認知特點，小學數學教材中通常不會給出某一類數的科學概念，而是通過列舉大量實例或是給出描述性定義，讓學生去認識數。那如何讓學生達成對數概念的深層理解呢？可以從學生的實際出發，設計直指數學本質的核心問題 （理解單位“1”的意義），再圍繞核心問題架構問題串 （①談談對1的認識； ②用材料表示一個分數； ③分析材料表示的分數的意義； ④1還可以表示什么），由淺入深，階梯式地逐步 “帶著學生走向課本”，讓學生充分經歷數概念的建構過程，從而理解數概念的內涵和外延。

二、立足 “點”和 “面”設計核心問題，促進算理的理解

運算是數學的重要內容，在小學的兩個學段中，運算都占有很大的比重。學生在學習數學的過程中，要花費較多的精力去掌握關于運算的知識和技能。課程改革之前，我們曾一度在運算方法訓練的路上越走越遠，大量的計算練習，讓學生談算色變。課程改革倡導算理與算法的融會貫通，給計算課教學注入了新的活力。算理的教學應關注 “一點一面”：點——本節課的算理；面——算理之間的聯系。主抓 “點”和“面”設計相應的核心問題，能夠促進學生對算理的理解。

例如， “蘇教版” 五年級 （上冊） “小數乘整數”一課，是在學生學習了整數乘法、小數的意義、小數加減法等知識的基礎上進行教學的。教材中的例1要完成兩個教學任務：一位小數乘一位整數和兩位小數乘一位整數。張冬梅老師演繹的這節課，是抓住核心問題進行計算教學的典范，讓我們見識了計算課的魅力和張力。

1.“點”上知算理

“點”指的是獨立的一節計算課，有屬于本課特有的算理，需要學生去理解和掌握。

片段四：

師：0.8×3等于多少呢？為什么？老師想把這個問題交給大家自己來研究。

師出示研究提示，生自主探究后，組內交流，全班匯報：

（1）單位換算：0.8元=8角，8×3=24角，24角= 2.4元

（2）連加：0.8+0.8+0.8=2.4（元）

（3）列豎式計算。

師生討論得出這三種不同的方法，計算的結果都正確。但是第三種方法最簡便，因此聚焦研究豎式計算。

師生討論得出因為0.8的8在十分位上，表示的是8個0.1，乘3得24個0.1，是2.4。

教師再借助課件圖片動態演示 “3個0.8合成24個0.1，是2.4”的過程。

很多時候老師對教學算理的理解只停留在表面：針對算理設計若干個小問題，以碎小的問題引領教學的單線條模式，課堂教學出現了滿堂灌，滿堂問的異象。其實，每個學生在走進課堂之前都不是一張 “白紙”，他們在學習本課之前積累了豐富的計算經驗。因此，張老師充分尊重了學生的背景知識，找準了學生的最近發展區，直接拋出了核心問題 “0.8×3等于多少呢？為什么？”出示核心問題之后，老師發揮了主導作用，精心設計了研究提示：想一想：0.8×3表示什么意思；試一試：用已有的知識計算出結果；寫一寫：記錄下自己的方法；說一說：在小組里交流自己的方法。不同的學生在數學學習中有自己的思維方式和解決問題的策略，因此出現了不同的計算方法。老師再引導學生聚焦最簡便的方法，探索算理。這種以核心問題為導向的算理教學方式給了學生自主探究的空間，學習過程開放、生動、多樣，學生學習數學的自主性得到了鼓勵，個性得到了發展，創新意識得到了培養，促進了學生之間的交流、啟迪。

2.“面”上悟算理

“面”是相對于 “點”而言的，它不是指獨立的一節計算課，而是多課之間算理的融會貫通。

片段五：

師：那大家說說，小數和整數相乘，可以怎樣計算？

小組交流后分享。

生：小數乘整數，我們先看成整數乘整數，再看乘數是幾位小數，就在積里點幾位小數。

師：老師聽到了這個同學說 “先……再……”，誰聽清楚了他說先做什么、再做什么？

生1：先看成整數乘整數，再點小數點。

生2：先當成整數乘法計算，再根據乘數是幾位小數，就在積里點幾位小數。

數學是個講理的學科，而很多 “理”又是相通的。那是因為很多知識點是環環相扣的，前一個知識點的學習總在為下一個知識點作鋪墊。由于小數和整數都遵循十進制計數法的位值原則，小數乘法的豎式計算規則可仿照整數乘法的相應規則進行，但是二者之間又有一些區別。張老師在這里以潤物無聲的方式巧妙處理了另一個核心問題：小數乘整數與整數乘整數算法的區別與聯系。引導學生將整數乘法的經驗遷移到小數乘法中來，理解并掌握小數乘法中小數點的處理方法。這樣的精心設計，讓我們明白了計算課教學不僅要從 “點”上重視學生對某一個計算內容算理的理解和掌握，還應從 “面”上關注算理之間的聯系與區別，打通知識節點，從而有助于學生對數學知識的整體架構。

計算課核心問題的設計落腳點在 “算理”：借助“怎樣算？” “怎樣算的好？” “為什么這樣算？” 等一系列問題驅動學生經歷探索、發現計算方法的過程，不僅讓學生知道怎么算，還知道為什么這么算，讓抽象算法建立在學生清晰理解算理的基礎上，從而實現算理與算法的融通，算理與算理融會貫通，提升學生的運算能力。

三、立足模型思想設計核心問題，建構數量關系模型

模型思想作為一種數學思想要真正使學生有所感悟需要經歷一個長期的過程，教師要在教學過程中注意根據學生的年齡特征和不同的學段要求，逐步滲透模型思想。

常見的數量關系都屬于規則，通過對關系的把握，可以為學生提供問題解決的思路。如何讓學生領會數量關系的價值，不能靠死記硬背。模型這種特殊的數學結構能夠抽象、概括地表征所研究對象的主要特征、關系。如果借助核心問題，將數量關系的教學與模型思想相結合，將會深化學生對數量關系的認識。

以 “蘇教版” 四年級 （下冊） “常見的數量關系”一課為例。從模式看， “總價=單價×數量、路程＝速度×時間”這兩組關系都屬于 “乘法關系”，它們是 “總數＝每份數×份數”關系的具體化 （更高層面上看，就是 “幾個幾相加”的乘法意義具體化）。在一般的教學設計中，本課通常會根據教學目標設計兩個核心問題：①理解數量關系：總價=單價×數量；②理解數量關系：路程＝速度×時間，很顯然這兩個核心問題突出的都是基礎知識。如果在此基礎上追加一個核心問題 “能不能用自己喜歡的方式來表示這兩個數量關系”，將會對本課的教學起到畫龍點睛的作用。在這樣的任務驅動下，有的學生想到了這兩個常見的數量關系其實與二年級時學習的乘法問題有聯系：路程和總價都相當于總數、速度和單價相當于每份數、時間和數量相當于份數；還有的學生想到了用線段圖來表示兩個數量關系：

至此，借助核心問題將本節課的兩個重點數量關系與二年級的知識進行縱向打通，深化了學生對這幾個量之間關系的理解。這種模型思想的建立已經不僅僅是對知識的理解，而是一種更高水平的抽象，離散的模型在此得到了生成與重塑。

四、立足符號意識設計核心問題，突出從算術到代數的符號化轉變

數量關系的符號表示是代數的靈魂，從算術到代數的符號化轉變是需要學生跨越的一道坎。用字母表示數是建立數感與符號意識的重要過程，是學習和認識數學的一次飛躍，是學生從算術進入代數世界的起點。由于幾年的算術學習的經歷，學生還不太習慣用字母表示數，以至于感到有些困難。如何設計核心問題關注學生符號意識的培養，是值得探究的話題。

片段六：

師：在歷史上，對于數量和數量之間的關系，我們人類最初是用文字表示的。課件出示：每個重量× 4， 每個價錢×4， 每班人數×4， （其中 “重” “價”“人”用紅色標出），顯然比較煩瑣。因而，古希臘數學家丟番圖想到了用縮寫的方法來表示。仿照丟番圖的方法，這里的 “每個重量×4”，取 “重”發音的第一個字母，表示成 “z×4”。那么 “每個價錢×4”和“每班人數×4”怎樣用縮寫的方法表示？

生：j×4和r×4。

師：丟番圖用字母的縮寫來表示數量間的關系，雖然簡潔了，但每個字母都表示特定的意思，不能把z×4和j×4混同起來，所以，并沒有給數學家研究數學帶來更多的簡便。到16世紀，法國數學家韋達想，如果把各種情境中字母表示的特定意思都去掉的話，不都是一個數和4相乘嗎？（課件中的 “z×4和j×4”依次變為 “□×4”）所以，韋達就表示成了a×4，這里的a還是特定的意思嗎？

生： （齊） 不是!

師：對，字母a已經不表示任何具體的意義，和這里的小方塊一樣，只是一個符號而已。自從韋達把字母當作符號來表示數之后，許多數學難題得到了解決，數學獲得了飛速發展，韋達被稱為現代代數學之父。從丟番圖用縮寫方法表示數到韋達把字母當作符號來表示數，用了整整1200年！

在教學中通常會圍繞 “①如何用字母表示數？②如何用含有字母的式子表示簡單的數量和數量關系？”這兩個核心問題進行教學，而常常忽視了學生符號意識的培養。符號意識是學習者在感知、認識、運用數學符號方面所作出的一種主動性反應，它也是一種積極的心理傾向。更多地表現為以學生為主體的一種主動運用符號的意識，符號意識的培養不能單純地依賴推演訓練和模仿記憶。 “發展學生的符號意識”應成為本節課的另一個重要的核心問題。

教師借助數學史料帶領學生經歷了文辭代數、縮寫代數、符號代數三個 “歷史進程”，也是帶領學生經歷了一個逐漸抽象的過程，讓學生體會到用字母表示數和數量關系既有簡約性又有概括性，讓學生對“用字母表示數”有了一個更數學化的理解，逐漸增加了學生對字母表示數的積極情感，符號意識的培養也進一步落到了實處。

“核心問題”對課堂的積極作用表現得更“聚焦”，能直接指向學習的重點和難點， “攪動” “促成”學生的數學思維發展。 “基礎知識”方面是我們設計核心問題的主要落腳點，這個落腳點能讓我們的課堂基礎更扎實；從基本思想方法、意識的培養等角度出發設計核心問題能讓課堂教學更為豐富與厚重。以核心問題來組織和調動學生學習，讓數學課堂從 “教為中心”轉向 “學為中心”，學生的學習才能真正地發生。

［1］吳存民．以“核心問題”為導向的數學課堂教學初探［J］．教學月刊小學版，2014．7－8．

［2］張冬梅．“小數乘整數”教學實錄及反思［J］．小學數學教育，2016，（1）．

［3］趙芳燕．基于經驗 親歷過程 感悟模型——常見的數量關系教學實踐思考［J］．中小學數學，2017，（4）．