在知識形成過程中滲透數形結合思想

《全日制義務教育數學課程標準》對數學教學內容的設計方面提出 “課程內容的呈現不僅要包含有數學結果，也要有數學結果形成的過程及其所蘊含的數學思想方法。”這就告訴我們，在教學過程中不僅要重視學生基礎知識和基本技能的獲得，同時也要在學生學習的過程中注重數學思想方法的滲透。數形結合思想方法是中學數學教學中重要的數學思想方法之一。在概念形成的過程，結論或定理推導過程都是滲透數學思想的時機。

一、在概念的學習過程中滲透數學

數學概念是顯示生活中數量關系和空間形式機器本質屬性在思維中的反映，概念的教學絕不只是簡單的 “一個定義，三條注意”，而是要積極引導學生感受暗藏在概念形成過程中的思想。在初中階段，最開始滲透數形結合思想是從數軸這一概念開始的，任意一個有理數都能在數軸上找到與之對應的點；由數軸上的有理數點讀出它對應的有理數。在這塊知識的處理上，筆者是加強畫數軸的訓練，點與數相對應的練習。在熟悉之后，再提出數形結合的思想，讓學生感受簡單的數形結合是怎么一回事。

再次，滲透數形結合思想是相反數的概念的學習，從數軸上，看圖識相反數，能讓學生更直觀地理解相反數。有理數的大小的比較，加強訓練了看數軸上，認識數軸上的點對應的有理數從左到右，由小變大，為后面的直角坐標系的學習打下基礎，因為函數的增減性的理解通過借助直角坐標系上的圖像能更好地理解，那么學生就要學會從左到右的看圖像。于是在這里再次提出數形結合的思想方法。在絕對值概念的理解上，我們依然借助了數軸，從點與原點之間的距離。如：首先讓每個學生先畫數軸，然后看數軸，解決問題 （1）表示-2的點與原點之間的距離是多少？ （2） 表示 2的點與原點之間的距離是多少？（3）3呢？-3呢？ （4）到原點的距離為4的點所表示的有理數是什么？ （如下圖所示，利用數軸，找出對應的點，并說出它所代表的數）。

在絕對值的概念理解開始就借助數軸，在后面相應的練習，筆者依然要求遇到相關的題目，無論簡單與否，都必須畫數軸 （可以是草圖）解決問題，這種強制性的要求，是想培養學生借助圖形解決問題的習慣，也是培養應用數形結合思想的意識。

很多人認為在這里提出數形結合思想太早，特別是對于一個初一的新生而言。但筆者覺得數學思維能力的培養方面是無形的，而數形結合思想的應用應該在任何知識點的學習過程中不斷反復地滲透。數形結合思想方法的教學需要從簡單入手。那么從數軸這里開始滲透，不斷強化，慢慢的，學生就會理解。

在2012年，北師大版的教材改版后，在概念的理解上更是重視數形結合思想的滲透。又比如，八年級上冊方差的概念，教材的處理是通過三個圖形的對比，以圖形的形式直觀地讓學生感受數據離散的程度，再引入方差和標準差的概念。用方差或標準差來刻畫一組數據的離散程度。借助 “形”的直觀來研究“數”的特征，在這里滲透數形結合思想。

在甲、丙兩廠中，你認為哪個廠雞腿質量更符合要求？為什么？在這個情景中，學生容易發現甲和丙的平均數和極差一樣。由認知矛盾引出方差和標準差。在這塊知識點的處理上，筆者之前就是覺得重點在方差的計算上。后來當站在滲透數形結合思想的角度設計這節課內容時，筆者增加了多幾組數據的離散圖讓學生判斷方差，反復滲透數形結合思想。

然后，以一組最簡單的數據：1，2，3，4，5，求方差，并畫出離散圖。再把數據變成11，12，13，14，15，再次求方差并畫圖。進行兩組數據的方差和圖像進行對比。學生很快就發現離散圖形狀不發生改變，只是位置向上平移了10個單位，方差大小也不變。通過在對方差概念的理解中，我們借助圖像，反復滲透數形結合思想，加強學生對方差本質的理解。

在概念的教學過程，我們要引導學生發現隱含在知識內的數學思想。在教材中，平面直角坐標系、一次函數、反比例函數、二次函數、三角函數、圓與圓的位置關系等概念也都隱含數形結合的思想，其教學過程都是滲透數形結合思想的時機。

二、在定理 （性質或者公式、法則）的學習過程中滲透

定理 （性質或者公式、法則）的教學我們都遵循“過程教學原則”。在新課改后，我們更是重視命題是如何提出的？然后如何證明？證明后如何應用？這一思維過程都要充分去展現，我們會啟發學生去感受、體驗、猜想、分析證明，那這個過程一定會結合著數學思想的滲透運用。比如：七年級下冊的完全平方公式探索，情境設計從用代數式表示正方形面積的表示開始。 （如下圖所示）

學生會用不同的代數式表示正方形的面積，然后通過交流，討論，他們會發現恒等式，也就是（a+b）2= a2+2ab+b2和 （a-b）2=a2-2ab+b2。在這個探索過程中，再次體現數形結合的思想。

又例如：八年級上冊勾股定理的探索。探究活動1：觀察下邊兩幅圖：填表 （每個小正方形的面積為單位1）：

猜想：A、B、C三個正方形面積之間的關系？

借助圖形，通過面積的計算，學生很容易猜想三個圖形面積之間的關系：

有了猜想，需要驗證。接著借助圖形驗證勾股定理。活動1：我們利用四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形。

展開得：c2=2ab+b2-2ab+a2

化簡得：c2=a2+b2

這里僅是其中一個證明勾股定理的探索，從猜想到驗證的過程，處處蘊含著數形結合思想方法。我們運用數形結合思想揭示直角三角形三邊長之間的關系。其實勾股定理的整一個章節的學習，從探索到應用，幾乎每一處的教學都能滲透數形結合思想方法，強化數形結合思想的運用。

因為數形結合思想是抽象與形象結合的，要學生對它的理解甚至應用，需要一個較長的過程。所以我們在平時的教學中以螺旋式不斷的滲透數形結合的思想方法。

數形結合思想是利用圖形直觀來幫助學生理解題意的，是使得抽象的內容變具體直觀。

整個初中的教材，還有很多知識形成的過程可以滲透數形結合思想。在適當的時候提出思想方法，培養學生養成多動手作圖的習慣，學會獨立在圖形里獲取信息，形成新的知識，滲透數形結合思想。北師大版教材的設計，無論是內容還是思想方法是一個螺旋式上升的，所以我們需要精心設計教學的各個環節中，要根據學生的年齡特征、學生的認知水平、各階段的知識特點，逐步滲透、反復滲透數形結合思想。

［1］教育部．全日制義務教育數學課程標準（2011年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2012．