在知識形成過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計方面提出 “課程內(nèi)容的呈現(xiàn)不僅要包含有數(shù)學(xué)結(jié)果，也要有數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程及其所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。”這就告訴我們，在教學(xué)過程中不僅要重視學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的獲得，同時也要在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透。數(shù)形結(jié)合思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。在概念形成的過程，結(jié)論或定理推導(dǎo)過程都是滲透數(shù)學(xué)思想的時機。

一、在概念的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)概念是顯示生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式機器本質(zhì)屬性在思維中的反映，概念的教學(xué)絕不只是簡單的 “一個定義，三條注意”，而是要積極引導(dǎo)學(xué)生感受暗藏在概念形成過程中的思想。在初中階段，最開始滲透數(shù)形結(jié)合思想是從數(shù)軸這一概念開始的，任意一個有理數(shù)都能在數(shù)軸上找到與之對應(yīng)的點；由數(shù)軸上的有理數(shù)點讀出它對應(yīng)的有理數(shù)。在這塊知識的處理上，筆者是加強畫數(shù)軸的訓(xùn)練，點與數(shù)相對應(yīng)的練習(xí)。在熟悉之后，再提出數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生感受簡單的數(shù)形結(jié)合是怎么一回事。

再次，滲透數(shù)形結(jié)合思想是相反數(shù)的概念的學(xué)習(xí)，從數(shù)軸上，看圖識相反數(shù)，能讓學(xué)生更直觀地理解相反數(shù)。有理數(shù)的大小的比較，加強訓(xùn)練了看數(shù)軸上，認識數(shù)軸上的點對應(yīng)的有理數(shù)從左到右，由小變大，為后面的直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，因為函數(shù)的增減性的理解通過借助直角坐標(biāo)系上的圖像能更好地理解，那么學(xué)生就要學(xué)會從左到右的看圖像。于是在這里再次提出數(shù)形結(jié)合的思想方法。在絕對值概念的理解上，我們依然借助了數(shù)軸，從點與原點之間的距離。如：首先讓每個學(xué)生先畫數(shù)軸，然后看數(shù)軸，解決問題 （1）表示-2的點與原點之間的距離是多少？ （2） 表示 2的點與原點之間的距離是多少？（3）3呢？-3呢？ （4）到原點的距離為4的點所表示的有理數(shù)是什么？ （如下圖所示，利用數(shù)軸，找出對應(yīng)的點，并說出它所代表的數(shù)）。

在絕對值的概念理解開始就借助數(shù)軸，在后面相應(yīng)的練習(xí)，筆者依然要求遇到相關(guān)的題目，無論簡單與否，都必須畫數(shù)軸 （可以是草圖）解決問題，這種強制性的要求，是想培養(yǎng)學(xué)生借助圖形解決問題的習(xí)慣，也是培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的意識。

很多人認為在這里提出數(shù)形結(jié)合思想太早，特別是對于一個初一的新生而言。但筆者覺得數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)方面是無形的，而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用應(yīng)該在任何知識點的學(xué)習(xí)過程中不斷反復(fù)地滲透。數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)需要從簡單入手。那么從數(shù)軸這里開始滲透，不斷強化，慢慢的，學(xué)生就會理解。

在2012年，北師大版的教材改版后，在概念的理解上更是重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透。又比如，八年級上冊方差的概念，教材的處理是通過三個圖形的對比，以圖形的形式直觀地讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)離散的程度，再引入方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念。用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度。借助 “形”的直觀來研究“數(shù)”的特征，在這里滲透數(shù)形結(jié)合思想。

在甲、丙兩廠中，你認為哪個廠雞腿質(zhì)量更符合要求？為什么？在這個情景中，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)甲和丙的平均數(shù)和極差一樣。由認知矛盾引出方差和標(biāo)準(zhǔn)差。在這塊知識點的處理上，筆者之前就是覺得重點在方差的計算上。后來當(dāng)站在滲透數(shù)形結(jié)合思想的角度設(shè)計這節(jié)課內(nèi)容時，筆者增加了多幾組數(shù)據(jù)的離散圖讓學(xué)生判斷方差，反復(fù)滲透數(shù)形結(jié)合思想。

然后，以一組最簡單的數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，求方差，并畫出離散圖。再把數(shù)據(jù)變成11，12，13，14，15，再次求方差并畫圖。進行兩組數(shù)據(jù)的方差和圖像進行對比。學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)離散圖形狀不發(fā)生改變，只是位置向上平移了10個單位，方差大小也不變。通過在對方差概念的理解中，我們借助圖像，反復(fù)滲透數(shù)形結(jié)合思想，加強學(xué)生對方差本質(zhì)的理解。

在概念的教學(xué)過程，我們要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含在知識內(nèi)的數(shù)學(xué)思想。在教材中，平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、圓與圓的位置關(guān)系等概念也都隱含數(shù)形結(jié)合的思想，其教學(xué)過程都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的時機。

二、在定理 （性質(zhì)或者公式、法則）的學(xué)習(xí)過程中滲透

定理 （性質(zhì)或者公式、法則）的教學(xué)我們都遵循“過程教學(xué)原則”。在新課改后，我們更是重視命題是如何提出的？然后如何證明？證明后如何應(yīng)用？這一思維過程都要充分去展現(xiàn)，我們會啟發(fā)學(xué)生去感受、體驗、猜想、分析證明，那這個過程一定會結(jié)合著數(shù)學(xué)思想的滲透運用。比如：七年級下冊的完全平方公式探索，情境設(shè)計從用代數(shù)式表示正方形面積的表示開始。 （如下圖所示）

學(xué)生會用不同的代數(shù)式表示正方形的面積，然后通過交流，討論，他們會發(fā)現(xiàn)恒等式，也就是（a+b）2= a2+2ab+b2和 （a-b）2=a2-2ab+b2。在這個探索過程中，再次體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。

又例如：八年級上冊勾股定理的探索。探究活動1：觀察下邊兩幅圖：填表 （每個小正方形的面積為單位1）：

猜想：A、B、C三個正方形面積之間的關(guān)系？

借助圖形，通過面積的計算，學(xué)生很容易猜想三個圖形面積之間的關(guān)系：

有了猜想，需要驗證。接著借助圖形驗證勾股定理。活動1：我們利用四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形。

展開得：c2=2ab+b2-2ab+a2

化簡得：c2=a2+b2

這里僅是其中一個證明勾股定理的探索，從猜想到驗證的過程，處處蘊含著數(shù)形結(jié)合思想方法。我們運用數(shù)形結(jié)合思想揭示直角三角形三邊長之間的關(guān)系。其實勾股定理的整一個章節(jié)的學(xué)習(xí)，從探索到應(yīng)用，幾乎每一處的教學(xué)都能滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，強化數(shù)形結(jié)合思想的運用。

因為數(shù)形結(jié)合思想是抽象與形象結(jié)合的，要學(xué)生對它的理解甚至應(yīng)用，需要一個較長的過程。所以我們在平時的教學(xué)中以螺旋式不斷的滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

數(shù)形結(jié)合思想是利用圖形直觀來幫助學(xué)生理解題意的，是使得抽象的內(nèi)容變具體直觀。

整個初中的教材，還有很多知識形成的過程可以滲透數(shù)形結(jié)合思想。在適當(dāng)?shù)臅r候提出思想方法，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成多動手作圖的習(xí)慣，學(xué)會獨立在圖形里獲取信息，形成新的知識，滲透數(shù)形結(jié)合思想。北師大版教材的設(shè)計，無論是內(nèi)容還是思想方法是一個螺旋式上升的，所以我們需要精心設(shè)計教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，要根據(jù)學(xué)生的年齡特征、學(xué)生的認知水平、各階段的知識特點，逐步滲透、反復(fù)滲透數(shù)形結(jié)合思想。

［1］教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．