利用生成性學習資源促進學生差異發展
—— “差異發展”專題系列之七

30年的教學經歷使筆者直覺而深刻地感到：雖然我們每天都在和學生接觸、交往，但是對他們的興趣、需求、認知、情感等方面的了解真是太粗淺、太有限了，尤其他們內在的思考、想法知之甚少。不了解兒童需求，如何急學生所急？不了解兒童想法，如何想學生所想？不了解兒童困難，如何解學生所惑？

課堂教學是錯綜復雜、變化萬千、動態不居的，面對一群背景各異、基礎不同、智力參差、個性迥然的學生，難道我們還是以聞道在先、先知先覺者自居，依靠多年積累的教學經驗和兒童一般的認知規律，以不變應萬變，而口若懸河、滔滔不絕地講授，以取得教學的成功？這種目中無人、一廂情愿的教學再也不能持續下去了！

教學過程是預設與生成的統一。沒有生成的課堂是不存在的，沒有把握生成的教學是不完美的。《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》“教學建議”中特別指出，實施教學方案，是把 ‘預設’轉化為實際的教學活動，在這個過程中，師生雙方的互動會 ‘生成’一些新的教學資源，這就需要教師能夠及時把握，因勢利導，適時調整預案，使教學活動收到更好的效果。顯然，適時捕捉、合理利用課堂教學中隨機產生、不期而遇的生成性資源，是課程標準對教師教學行為的期待，也是教師教學機智與實踐智慧的體現。

《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》認為：數學教學就是教師引導學生進行數學活動，在師生之間、學生之間的積極交往和互動中，完成學習任務，實現共同發展。這與 《全日制義務教育數學課程標準》 （2011年版）中 “教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程”。是一脈相承的，都十分突出學生在課堂上的地位。學生不僅是教育的對象，而且是學習的主體；不僅是知識的消費者，而且是知識的創生者。 “以生為本” “以學定教” 的課堂，要把學生當作重要的課程資源，加以發現、利用、開發。因而，在平時的教學中，筆者盡量放慢教學節奏、調整教學方式、留足探究時間、提供探究機會，放手讓學生自己先想、先試、先做、先探，生成豐富而多元的差異性學習資源，然后組織學生展示、表達、交流、質疑、辯論，使不同層次的學生各有所得，促進了學生的差異發展。作為教師，也同時期望在 “走近”觀賞學生作品、傾聽學生表達的過程中，慢慢 “走進”兒童的內心世界，感受兒童思維之樹的豐富多彩，欣賞兒童思維之花的美麗多姿，從而更深入地了解兒童，更貼心地服務兒童。

一、利用生成的異質性資源，促進學生差異發展

教學中有的老師擔心 “放下去，收不上來”，所以時時把控住課堂，覺得還是自己直接教比較省心、放心。這樣的課堂教師教得辛苦，學生學得痛苦。課堂只見知識的傳遞、技能的操練，因缺少生命的氣息、情感的交流，而顯得死氣沉沉、毫無趣味。如果教師稍微放一放、等一等，就會生成雖參差不齊但豐富有趣的異質性資源，給教師帶來意想不到的驚喜，給課堂帶來生機勃勃的氣息。

在學習 “8加幾”的進位加法時，筆者沒有直接教學，而是讓學生在 “導學單”上，借助回顧 “9加幾”進位加法的學習方法，進行自主探究。從兒童圈畫的情況看 （如圖1），都圈對了，但細致地比較一下，還是可以看出細微差別的。圈畫方式上，圖1b是半圈，并用箭頭表示是與左邊合并的，而其他則是全圈，即將左邊的8根與右邊的2根全部圈在一起，湊成10；圈畫速度上，有的是一步到位，有的則是調整到位，圖1c與其他不同，有明顯的修改痕跡，表明她的思維經歷了從錯誤到正確的修正過程；計數方法上，有的按群計數，有的累加計數，有的逐一計數，圖1e有清晰的一一計數標記，明顯比別人要慢；計算程序上，圖1d、e直接套用 “9加幾”的思路，把第二個加數分成1和幾，而沒有覺察到第一個加數已經發生變化，導致計算結果的錯誤。同時，我們還發現兒童圈畫方法都正確，而計算程序表征時卻有兒童發生錯誤，一則表明兒童對不同操作對象的遷移是不均衡的，圈出的都是 10根，直觀外顯，學生易于遷移；而計算程序的遷移要根據第一個加數 “湊十”，思維比較內隱，所以不易遷移。二則表明有些兒童的實際操作與計算程序是脫節的，在實際操作中，要引發學生數學思考，把操作形成的表象轉化為圖式表象，以促進操作的內化。

圖1

凡此種種，說明在圈畫與計算時兒童的思維活動是不完全相同的，學生之間的思維差異比較明顯，有繁有簡、有快有慢、有直有曲、有對有誤，不僅同一層級內部存在差異，而且層級之間也存在明顯差異。教學中，對于這些生成的異質資源，可以合理選擇，分步展示，予以放大，使學生在欣賞他人中充實自我，在幫助他人中點亮自我，在質疑他人中提升自我，促進每一位學生在原有基礎上的認知提升和視野擴展。

二、利用生成的錯誤性資源，促進學生差異發展

對待學生作業中發生的各種錯誤，我們是埋怨？是批評？還是指責？如果我們換位思考，傾聽一下孩子的想法，不僅更有利于問題的解決，而且可能會有意想不到的收獲。正如英國心理學家貝恩布里所說：“差錯人皆有之，作為教師，對學生的錯誤不加以利用是不可原諒的。”

批改作業時，經常發現有的題目并沒有什么難度，有些兒童卻出乎意料地發生錯誤，而這些兒童往往還是學習成績較好、頭腦比較靈活的孩子。在批改退位減法作業時，筆者又遇到了這樣的情況（如圖 2a）。

圖2

什么原因呢？對照一下圖2b筆者一下子全明白了。從圖2b可以看出，原來這道題目有兩組，左邊一組是十幾減8的退位減法，并且被減數是按照從小到大、每次加1的順序排列的，當然差也是按照從小到大、每次加1的順序排列的。說明這些孩子計算這組題目時沒有逐題呆算，而是經過整體觀察發現了題組數據的排列規律，只要算出第一道，下面幾道答案就可以直接推算出來了。在做圖2b右邊一組題目時，這些兒童就按照類似的方法，先算出第一道，然后直接推算出下面幾題結果了。他們注意到了被減數是按照從大到小排列的，加之前三道被減數15、14、13是依次減1的，就以為差也是按照依次減1的規律變化的，受注意廣度的限制，而沒有注意到最后一道被減數11數據發生了跳躍性變化，改變了減1的變化規律，當然差也隨之發生變化了。經過訪談得知，他們確實就是這么想的，沒有注意到最后一題的數據變化。

這個例子說明，兒童的思維是存在一定軌跡的，當按照既定的軌跡思考問題時也是存在思維慣性的。這些兒童雖然做錯了，但是錯得有理！他們的思維超過了大多數同齡孩子，他們注意域更加寬廣，能夠從整體結構上觀察、思考，并能根據題組數據之間的關系，發現規律、利用規律。這樣的做題態度、思考方法當然是值得稱道的。難道這樣的錯例不是好的教學資源嗎？當然，在肯定他們思維的敏捷性的同時，也要友善地提醒他們注意思考的嚴密性。相反，那些不錯的大多數倒可能是平庸的。可見，利用生成的錯誤資源，可以收到相反相成之效。

圖3

三、利用生成的多樣性資源，促進學生差異發展

“退一步海闊天空！”用在教學中何嘗不是如此？教學中過多的包辦、代替，不僅是教師話語的霸權、權欲的膨脹，反映出對自己的不自信，而且是對學生思維的壓制、對學生生命的忽視，折射的是對學生的不相信！如果我們退一步，學生就可能進十步。課堂的生態、教學的結構將會隨之改變。當然，由此帶來改變的不僅是學生的學習狀態、學習面貌，而且還有教師的教學方式與固有觀念。

如比較46與38的大小，畫圖表示擺小棒的過程時，有的用豎線代替、有的用圓圈代替 （如圖3a、b），有的單根一一畫出、有的整捆整捆畫出 （如圖3a、 c）， 有的只畫圖、 有的數形結合 （如圖 3c、d），有的橫著接著畫、有的豎著對齊畫 （如圖3a、b、g），畫整捆小棒有的用象形圖、有的用抽象圖（如圖 3c、e、g）。 再看學生的想法， 有借助數數來比較的：從38到46加多了 （如圖 3h）；有看十位來比較的：40比 30大十、因為 46十位上是4，38十位上是3（如圖3j）；還有的能夠借助計算來比較的：46比 38大 8（如圖 3e），你看，雖然沒有學習兩位數減兩位數，不代表沒有學生不知道。

不放手讓兒童涂、畫、寫，真不知道他們的思考方式是如此生動、深刻，這么有意思！他們不僅能夠用不同的方式表征，而且每種表達方法又可能千差萬別。煩瑣與簡約、單一與多樣、圖形與數字、低級與高級、過程與方法、形象與抽象使我們看到不僅兒童的思維有意思，而且有價值。這些豐富多樣、參差錯落的作品不知能為教學提供多少素材、增添幾分樂趣呀！

四、利用生成的解釋性資源，促進學生差異發展

數學學習離不開解題。學生解題的過程，既是運用相關知識分析問題、解決問題的過程，又是提升學生思維能力、培養學生思維品質的過程。作為教師，不僅要看清學生思考的結果，更要看懂學生思維的過程。教學的價值就在于發現學生思維過程的不同，盤活分散的、沉睡的學習材料，從而加以篩選、利用、放大，成為教學互動的寶貴資源。

這是課堂練習中的一道題 （如圖4）：

圖4

雖然難度不大，學生也都能正確判斷，但是學生的解釋卻是千差萬別的。

圖4a、b中都計算了200×9=1800，圖4b多了一句 “1800個字＜1800多個字”，就比圖4a更有說服力，說明他注意到題目中的條件小張 “每分鐘打200多個字”，并能反映到解題過程中。不用多費口舌，使人看后一目了然，而圖4a還要再作口頭說明。教學時可以同時展示這兩份作業，讓學生討論哪個表達更清楚。然后再出示圖4c，學生不難看出這是對圖4b的文字解說。

而圖4d、e、f中，學生從小張 “每分鐘打200多個字”這個條件出發，用不等式表示出了小張9分鐘打的字數 “比1800多”，比用等式表示又進了一步。

圖4g、h、j中，學生的表達與上述方法的最大不同，在于已經突破模糊的定性比較，而進入定量思考的境界，這是兩種不同的思維方式。而圖4g、h與圖 4j有個 “+1” 的細節， 即是 “先乘 9， 再加 1”，還是 “先加1，再乘9”，又可以引發學生的深度思考，加深對條件小張 “每分鐘打200多個字”的準確理解。

教學中，可以按照從模糊到清晰，從等式到不等式，從定性到定量的順序呈現，在展示中學生有比較、有鑒別，在討論中學生有收獲、有感悟。這種“借力打力”的方式在教學中可以經常使用。需要特別指出的是，這些展開的過程，無關乎結果，但是對學生思維的清晰性、語言的簡潔性、表達的精確性、邏輯的嚴密性，都是大有裨益的，而這些又是指向學生核心素養培育的。

五、利用生成的表征性資源，促進學生差異發展

“對問題的解答，不僅要能列出算式，而且還要有思考的過程”，這是筆者對學生作業的要求。希望通過學生外顯的作品表征，透視學生內隱的思維線索。這是了解學生思維的最好辦法，也是促進學生不斷挑戰、不斷創新的最佳途徑。

這是 “有余數除法”學習后的一道思考題，學生的表征五花八門，學生的思考更令人吃驚 （如圖5）：

圖5

圖5中a、b、c雖然都是全部羅列出來的，但是還是有不同之處的。從表示方法上看，a是畫圖，b是編號；從對齊方式上看，a、b是上下對齊著畫的，便于直接看出最后的結果，而c是連續畫的，還要通過數數知道結果；從思考方法上看，a、b是從頭開始畫的，屬于順向思維，c是先計算出要畫12組，畫到60為止，再到過來數，屬于逆向思維。

圖5中d與a、b、c不同，沒有一一列舉，而是省略了其中的若干組，直接畫出最后一組，思維具有一定的跳躍性。無疑，這是一個了不起的跨越。

圖5中e、f、g三種方法，連最后一組圖形都沒有畫出，更具簡約性。他們都知道5個一組，第58個是正方形。 “11×5=55” “余下的3個是在第12組里的，每組的第3個圖形是正方形，那么，第12組的第3個圖形也是正方形，所以，第58個圖形也是正方形” “可以畫11次，還剩3個圖形”，或算式或語言，或長句或短語，正是學生思維個性化、特色化的體現。

這些不同之處正是需要教師去引導學生觀察、發現、體會和感悟，進而內化為自己的學習經驗的，成為持續發展的動力之源、能量之庫。

六、利用生成的稀有性資源，促進學生差異發展

筆者有個教學習慣，就是例題教學也好，習題練習也罷，不是筆者先講解、先指導，而是讓學生先思考、先嘗試。主要目的是培養學生獨立思考的能力，同時也在課上了解學情，把握不同層次學生思維的真實水平，便于之后的因勢利導、因材施教。

這又是課堂練習中的一道題：

由于這種題型學生從未見過，筆者巡視時發現絕大部分學生眉頭緊蹙，無從下手，只有幾個頭腦靈活一點的學生能夠解答。主要有下面三種思路（如圖6）：

圖6

當筆者看到圖6中a、b兩種方法時，第一感覺就是她們是湊出來的，不如圖6中c的方法好。因為解法太少，也抱著為其他學生打開思路的想法，還是讓她們上來一起參與交流了。

小張 （解法a）：我先把兩種最多的加起來，發現比50還少一些，又選了毛巾和餅干，加起來正好。

小秦 （解法 b）：因為 50是整數，所以我先算0.5+0.5、0.3+0.7，然后再分別算出它們整數部分的和，結果正好是50。

小胡 （解法c）：我是先把這五種物品的單價全部加起來，發現比50多了4.6，正好是洗潔精。

聽了小張和小秦的介紹后。筆者感到很慶幸，她們的湊不是無目的的瞎湊，湊得在理、湊得巧妙！同時也感到很內疚，怎么能以自己的見去臆測孩子的想法呢？試想，如果教師在學生思考之前就給予指導，那么就很有可能 “好心辦壞事”，既不利于學生養成獨立思考的良好學習習慣，也難以生成多樣化、個性化的資源。這樣的教學，學生可能學得很多、很快，但較膚淺、也不持久。

在收集學生作品，使用學生作品的同時，筆者也在思考：如何發揮這些生成性資源的最大功效，為筆者所用，為教學增色？筆者認為下面幾個方面需要注意：

這些作品怎么完成？一般結合相關內容的學習，在課上完成。有的是在嘗試探索階段 （如圖1、3），有的是在鞏固練習環節 （如圖2），有的是在課堂作業環節 （如圖4、6）。當然，也有的是在課外完成的，主要是一些實驗、操作、實踐類的，需要較長時間完成或制作比較麻煩的 （如圖7）。課內的均要求學生限時獨立完成，限時才能提高思維效率，獨立才能反映學生真實的思維狀況。課外的有困難或有需要的，可請他人幫助，但不可以代勞。

圖7

這些作品怎么收集？主要在課上收集。所以，學生嘗試探索環節，雖然只有短短的幾分鐘，但卻是教師最為緊張、最為忙碌的時段。教師需要巡視全班，尋找各種典型或有新意的作品，以備展示、交流、討論。有時即使教師沒有注意到，在教學過程中學生還可以毛遂自薦。學生一般就把自己的思考寫在作業本上，有時要求寫在教師設計的 “導學單”上。學生的操作作品，教師可以拍照留存 （如圖8）。

圖8

這些作品怎么使用？通常在展示交流或作業評講環節使用，借助實物展臺由教師或學生展示介紹。主要有依次展示、對比展示與整體展示三種方式。依次展示即把學生作品按照一定的次序 （一般按照先簡單后復雜、先一般后特殊、先欠缺后完美）逐一展示，以利于學生的認識逐步全面、深化、精致；對比展示即把兩種相近或相對的兩件作品放在一起呈現 （如圖9），便于學生發現差別，深入思考，完善認知；整體展示即把一些作品一起展示，能夠起到相互輝映的效果。一般為制作類作品。對于家庭作業中的典型方法，還可以拍成照片上傳至QQ群或制作成美圖發到微信群，讓學生、家長在親子互動中 “奇文共欣賞，疑義相與析”。

圖9

［1］教育部．全日制義務教育數學課程標準（2011年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2012．

［2］上海市教育委員會．上海市中小學數學課程標準（試行稿）［S］．上海：上海教育出版社，2004．

［3］鄭毓信．新數學教育哲學［M］．上海：華東師范大學出版社，2015．