幾種常用求積分方法以及特別說明

摘要：導(dǎo)數(shù)是積分學(xué)的基礎(chǔ)，積分學(xué)是導(dǎo)數(shù)的延伸，積分知識(shí)的學(xué)習(xí)是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。本文介紹了求積分的幾種常用方法。首先介紹了積分的起源和發(fā)展歷程，以及積分的基本思想和積分的本質(zhì)。然后介紹了直接積分法，介紹了直接積分法的定義和解題方法，并進(jìn)行舉例說明。接下來又介紹換元積分法，其中換元積分法又分為第一換元積分法也即湊微分法和第二換元積分法即去根號(hào)法，去根號(hào)法又分為根式代換和三角代換。每一種換元積分法都是先給讀者介紹方法的適用范圍，然后又介紹方法如何運(yùn)用到做題過程中，并且都舉出了典型例題幫助讀者理解運(yùn)用。最后介紹了分部積分法，先介紹分部積分法的前提條件，然后介紹選u原則和常用公式，最后舉出例題說明分部積分公式用法，并且還舉出運(yùn)用分部積分法的一種特殊函數(shù)類型，給出了詳細(xì)解題過程。本文詳細(xì)給出了幾種常用解積分的方法，對于讀者理解積分的意義以及掌握積分解題方法有非常重要的意義。

關(guān)鍵詞：積分；直接積分法；換元積分法；根式代換；分部積分法；三角代換

積分學(xué)是微積分的重點(diǎn)內(nèi)容，積分分為不定積分和定積分，積分學(xué)要以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ)。積分學(xué)主要研究積分的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法等，不定積分和定積分對于自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)都有著十分重要的意義。蘊(yùn)含在定積分概念中的基本思想是通過有限逼近無限。極限方法是積分學(xué)理論的基礎(chǔ)方法。早在文字形成之前，數(shù)的思想已經(jīng)在人們的生活中逐漸形成，

積分學(xué)重要的功能是為我們研究某些問題提供一種思想方法（或思維模式），即用無限的過程處理有限的問題，用離散的過程逼近連續(xù)，以直代曲，局部線性化等。定積分的概念及微積分基本公式，不僅是數(shù)學(xué)史上，而且是科學(xué)思想史上的重要?jiǎng)?chuàng)舉。定積分的思想即“化整為零→近似代替→積零為整→取極限”。定積分這種“和的極限”的思想，在高等數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)、其他的知識(shí)領(lǐng)域以及人們在生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中具有普遍的意義，很多問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與定積分中求“和的極限”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一樣的，教材通過對曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等實(shí)際問題的研究，運(yùn)用極限方法，分割整體、局部線性化、以直代曲、化有限為無限、變連續(xù)為離散等過程，使定積分的概念逐步發(fā)展建立起來。定積分概念的理論基礎(chǔ)是極限。定積分的定義源于在實(shí)際生活中一些不規(guī)則圖形的面積求法，規(guī)則圖形可以通過公式或者割補(bǔ)法等求得，但是對于一些不規(guī)則圖形，比如中華人民共和國地圖，天池等的面積的求法問題一直困擾著人們，人們也一直在探索這個(gè)問題。定積分可以通過曲邊梯形的面積進(jìn)而得出其他不規(guī)則圖形面積。曲邊梯形面積可以通過分割，把曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，然后用矩形面積近似代替小曲邊梯形面積，接下來把n個(gè)小矩形面積求和，最后還遺留一個(gè)問題，就是如何消除n個(gè)小曲邊梯形面積的和與大曲邊梯形面積之間的誤差，這個(gè)誤差的消除就是讓分割無限細(xì)，就是在區(qū)間中插入無窮多個(gè)分點(diǎn)，分割越細(xì)，小曲邊梯形面積和小矩形面積之間的誤差就越來越小。依照這樣的方法就消除了n個(gè)小曲邊梯形面積的和與大曲邊梯形面積之間的誤差。定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實(shí)際問題。定積分的思想在古代數(shù)學(xué)家的工作中，就已經(jīng)有了萌芽。比如古希臘時(shí)期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法計(jì)算過拋物線弓形及其他圖形的面積。公元263年我國劉徽提出的割圓術(shù)，也是同一思想。在歷史上，積分觀念的形成比微分要早。但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現(xiàn)之前（17世紀(jì)下半葉），有關(guān)定積分的種種結(jié)果還是孤立零散的，比較完整的定積分理論還未能形成，直到牛頓——萊布尼茨公式建立以后，計(jì)算問題得以解決，定積分才迅速建立發(fā)展起來。

四、 小結(jié)

本文介紹了求積分的幾種常用方法。首先介紹了積分的起源和發(fā)展歷程，然后介紹了直接積分法，介紹了直接積分法的定義和解題方法，并進(jìn)行舉例說明。接下來又介紹換元積分法，其中換元積分法又分為第一換元積分法也即湊微分法和第二換元積分法即去根號(hào)法，去根號(hào)法又分為根式代換和三角代換。每一種換元積分法都是先給讀者介紹方法的適用范圍，然后又介紹方法如何運(yùn)用到做題過程中，并且都舉出了典型例題幫助讀者理解運(yùn)用。最后介紹了分部積分法，先介紹分部積分法的前提條件，然后介紹選u原則和常用公式，最后舉出例題說明分部積分公式用法，并且還舉出運(yùn)用分部積分法的一種特殊函數(shù)類型，給出了詳細(xì)解題過程。本文詳細(xì)給出了幾種常用解積分的方法，對于讀者理解積分的意義以及掌握積分解題方法有非常重要的意義。最后是本文小結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]伍勝建.數(shù)學(xué)分析[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009，156.

[2]李成章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2017，96.

[3]林源渠.高等數(shù)學(xué)精選習(xí)題解析[M].北京：北京大學(xué)出版社，2011，69.

[4]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題集[M].北京：高等教育出版社，2003，121.

[5]劉忠東.高等數(shù)學(xué)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2015，151.

作者簡介：趙曉艷，河南省平頂山市，河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部。endprint