數形結合在解題中的應用

羅逸凡

摘 要：數學是研究在現實世界中空間形式和數量關系的一門學科。數形結合是數學中一種重要的思想方法。其中數與形是矛盾但又統一的兩個方面。數是形的抽象和概括；形是數最直觀的體現方式。利用數形結合的思想可以深刻揭示數學問題的本質。本文在概述了數形結合定義的基礎上，通過實例分析了數形結合在解題中的應用，體現出數形結合在數學中的重要性。

關鍵詞：數形結合；解題；應用

一、數形結合

數形結合是數學解題中常用的思想方法，指的是根據數與形的對應關系，通過數與形的相互轉化關系來解決數學問題。利用數形結合的思想，將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，可以使復雜的數學問題變得直觀化、生動化，大大簡化了解題的過程。

數形結合主要包括兩種情況。第一種情況是“以數解形”，指的就是有些圖形比較簡單，直接觀察時并不能看出其中的規律，這個時候就需要給予圖形相應的比值，比如邊長等；第二種情況是“以形助數”，指的就是把“數”相對應的形找出來，然后利用形象直觀的圖形來解答問題，比如利用函數的圖像來直觀地說明函數的性質。

二、數形結合在解題中的應用

數形結合的思想方法在數學的各個分支中的應用是非常廣泛的。接下來我們通過具體的實例來說明數形結合在解題中的應用。

（一）數形結合在解方程方面的應用

數形結合在應用解方程時，首先要根據所給的方程構造出相應的函數；其次根據數的結構特點繪制出相應的函數圖像；最后觀察圖像，利用圖像的特點對方程進行解答。數形結合在解方程方面的應用主要體現在以下兩種情況。

1.判斷方程解的個數

如果給出的方程等號兩邊是可以作出圖像的函數，包括三角函數、指數函數和對數函數等，這時利用數形結合，觀察在同一坐標系中兩個函數圖像的交點個數和交點的情況就可以判斷方程解的個數。

例1：解x的方程[x-2=logxa]，其中a>0且a≠1。

一次函數[y=x-2]與對數函數[y=logxa]直接求解其個數難度是比較大的，但是利用數形結合就可以直觀地解出答案。先在同一個坐標系內畫出兩個函數對應的圖像，然后根據a的取值情況來確定解的個數。

當0

當a>1時，由圖2可以看出兩個函數有兩個交點，所以原方程有兩個解。

2.解方程中參數的取值范圍

如果已經知道含有參數方程解的個數，利用數形結合，畫出對應的函數圖像，之后由形思數，與不等式或者是不等式組相結合，就可以求出參數的取值范圍。

例2：關于x的方程x2+2mx+2m=0的兩個解都在-1和3之間，求參數m的取值范圍。

設f（x）=x2+2mx+2m，如圖3所示，其圖像與x軸交點的橫坐標就是方程的解。由y=f（x）的圖像可以知道，想要使x的方程x2+2mx+2m=0的兩個解都在-1和3之間，只需要f（-1）>0，f（3）>0，f（-m）<0同時成立，可以求出-1

（二）數形結合在求最值問題方面的應用

最值問題是數學中的一項重要內容，在實際應用中也是十分廣泛的。求最值問題的方法很多，有均值不等式、三角函數法和換元法等，但利用數形結合法是很直觀的。利用數形結合對最值問題進行求解，就可以將代數中的計算與幾何圖形的直觀描述相互結合，使復雜問題簡單化。數形結合在求最值問題中的應用主要包括兩個方面。

1.形如m=ax+by函數的最值問題，我們就可以借助直線的截距來求解

例3：假設實數x、y滿足x2+y2+8x-6y+16=0，求x+y的最小值。

通過已知條件x2+y2+8x-6y+16=0，可以得到（x+4）2+（y-3）2=9，于是x+y的最小值變成通過圓（x+4）2+（y-3）2=9上的點。令x+y=m，那么y=-x-m，作斜率為-1的平行直線系，那么x+y的最小值就是這些平行直線中縱截距的最小值。

例4：已知x、y滿足[x216+y225=1]，求y-3x的最大值與最小值。

令y-3x=m，那么y=3x+m，于是原題就成為在橢圓[x216+y225=1]上求一點，通過這個點的直線斜率是3，并且在y軸上的截距最大或最小。如圖4所示，當直線y=3x+m與橢圓[x216+y225=1]相切時，存在最大截距和最小截距。所以由直線y=3x+m與橢圓[x216+y225=1]相結合得出169x2+96mx+16m2-400=0，又有λ=0，得出m=±13，所以y-3x的最大值是13，最小值是-13。

2.形如[y=fx+ag（x）+b]函數的最值問題

我們就可以將最值問題轉化為兩個點{g（x），f（x）}，（-b，-a）連線斜率的最值來求解。

（三）數形結合在不等式方面的應用

利用數形結合解不等式主要是要根據題設的條件和解題的目的，構造合適的圖形，用圖形與圖形之間的關系來說明數與數之間的關系。有些題型是具有很明顯的特征，具有這種特征的不等式用數形結合是較簡便的。

第一種是不等式兩邊的表達式不能轉化成熟悉的形式，一般是結合指數和對數的形式，然后與一次函數或者是二次函數做比較。遇到這類題型，首先要確定做哪些函數的圖像，再寫出這些函數的表達式，將等式兩邊的函數，左邊部分寫成y=f（x），右邊部分寫成y=g（x）；接著做出y=f（x）與y=g（x）的圖像；最后根據給出的條件判斷不等式的解集。總的要求就是f（x）的圖像在g（x）上方時x的取值范圍。

例5：解不等式[x+2>x]。

設y=f（x）=[x+2]，y=g（x）=x，那么不等式[x+2>x]的解集就是使y=f（x）=[x+2]的圖像在y=g（x）=x上方的那段對應的橫坐標，如圖5所示，不等式的解集是{xIxA≤x≤xB}，xB從[x+2]=x得到xB=2，xA=-2，所以不等式[x+2>x]的解集是{xI-2≤x≤2}。

第二種是通過不等式組就可以求出x和y的取值范圍。遇到這類題型，首先是由已知的不等式求出x和y所在的區域；其次是要把要求的表達式轉化成y=f（x）的形式，將所求的量看成一個參數，在這個區域內做出y=f（x）的圖像；最后是求出這個參數的最值。

三、總結

利用數形結合可以解決方程方面、最值問題和不等式方面等問題，因此數形結合的思想方法在數學中有著舉足輕重的地位。數形結合將抽象的數學問題變得直觀、具體，讓人們更容易發現解題的途徑，所以靈活掌握和運用數形結合是非常必要的。

參考文獻

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