幾何雙分式布朗運(yùn)動(dòng)下歐式期權(quán)的定價(jià)

徐峰

摘要：為了體現(xiàn)金融資產(chǎn)的長(zhǎng)記憶性，采用幾何雙分式布朗運(yùn)動(dòng)刻畫歐式期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的行為模式。建立了雙分式布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式期權(quán)價(jià)值所滿足的偏微分方程，并通過邊界條件和變量代換得到該偏微分方程的解，即歐式期權(quán)的定價(jià)公式。

Abstract： In order to reflect the long memory property of the financial assets， this paper uses the geometric bifractional Brownian motion to capture the underlying asset of European option. Moreover， a partial differential equation formulation for valuing European option is proposed. Using the boundary condition and the method of variable substitution， this paper obtains the solution for this partial differential equation-the pricing formula for European option.

關(guān)鍵詞：雙分式布朗運(yùn)動(dòng)；歐式期權(quán)；長(zhǎng)記憶性；定價(jià)

Key words： bi-fractional Brownian motion； European option； long memory； pricing

中圖分類號(hào)：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2018）07-0197-03

0 引言

過去對(duì)期權(quán)定價(jià)的研究都是建立在標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上的，但是近年來，大量的實(shí)例都說明金融資產(chǎn)的價(jià)格存在多項(xiàng)分形特征，比如自相似性、長(zhǎng)期記憶性等，市場(chǎng)并不能簡(jiǎn)單的用布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的定價(jià)模型體現(xiàn)出來。為彌補(bǔ)上述模型缺陷，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)應(yīng)運(yùn)而生[1]。

然而，文[2]中指出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅，關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的離散逼近很多學(xué)者都有所研究，還提出了直接將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)應(yīng)用與金融環(huán)境將會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)[3，4]，導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出不適用于刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格變化的行為模式。基于此，部分學(xué)者開始研究修正的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，比如雙分式布朗運(yùn)動(dòng)、混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)等[5，6]，雙分式布朗運(yùn)動(dòng)在一定限制條件下是半鞅，并且具有自相似性和長(zhǎng)記憶性的特征，因此，可被應(yīng)用在期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域。

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何雙分式布朗運(yùn)動(dòng)，將歐式期權(quán)的定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程，最后通過偏微分方程的求解得到了雙分式布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的歐式期權(quán)的定價(jià)公式。

1 雙分式布朗運(yùn)動(dòng)與模型假設(shè)

1.1 雙分式布朗運(yùn)動(dòng)的定義與性質(zhì)

1.2 模型假設(shè)

下面對(duì)金融市場(chǎng)做如下假設(shè)：

①無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)；

②沒有對(duì)交易頭寸方向的限制，允許買空賣空證券；

③市場(chǎng)無摩擦，即交易費(fèi)用為零，無稅收，不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；

④標(biāo)的資產(chǎn)（如股票）的價(jià)格變化過程St服從幾何雙分式布朗運(yùn)動(dòng)

2 主要結(jié)果與證明

3 結(jié)論

本文在股票價(jià)格受雙分式布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的假設(shè)下，利用偏微分方程的方法研究了歐式看漲看跌期權(quán)的定價(jià)問題。在定理3中，當(dāng)K=1時(shí)，結(jié)果即為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，當(dāng)K=1，H=時(shí)，結(jié)果即為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。可見本文的結(jié)果推廣了歐式期權(quán)的定價(jià)。另外，本文的結(jié)果還可以推廣到混合雙分式布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式期權(quán)定價(jià)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Mandelbrot B， Van Ness J W. Fractional Brownian motion， fractional noises and application [J]. SIAM Review， 1968， 10.

[2]Lin S J. Stochastic analysis of fractional Brownian motion [J]. Stochastics and Stochastics Reports， 1995，55.

[3]Bender C， Elliott R J. Arbitrage in a discrete version of the Wick-fractional Black-Scholes market [J]. Mathematics of Operations Research， 2004， 29.

[4]Bjǒrk T， Hult H. A note on Wick products and the fractional Black-Scholes model [J]. Finance and Stochastics， 2005， 9.

[5]Lei P， Nualart D. A decomposition of the bi-fractional Brownian motion and some applications [J]. Statistics and Probability Letters， 2009， 79.

[6]Russo F， Tudor C. on the bifractional Brownian motion [J]. Stochastic Processes and their applications， 2006， 116.

[7]邵宇，刁羽.微觀金融學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：663-674.

[8]趙巍.分形市場(chǎng)視角下的期權(quán)定價(jià)模型及其套期保值策略研究[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，36.endprint