幾何雙分式布朗運(yùn)動下歐式期權(quán)的定價

徐峰

摘要：為了體現(xiàn)金融資產(chǎn)的長記憶性，采用幾何雙分式布朗運(yùn)動刻畫歐式期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的行為模式。建立了雙分式布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式期權(quán)價值所滿足的偏微分方程，并通過邊界條件和變量代換得到該偏微分方程的解，即歐式期權(quán)的定價公式。

Abstract： In order to reflect the long memory property of the financial assets， this paper uses the geometric bifractional Brownian motion to capture the underlying asset of European option. Moreover， a partial differential equation formulation for valuing European option is proposed. Using the boundary condition and the method of variable substitution， this paper obtains the solution for this partial differential equation-the pricing formula for European option.

關(guān)鍵詞：雙分式布朗運(yùn)動；歐式期權(quán)；長記憶性；定價

Key words： bi-fractional Brownian motion； European option； long memory； pricing

中圖分類號：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）07-0197-03

0 引言

過去對期權(quán)定價的研究都是建立在標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動的基礎(chǔ)上的，但是近年來，大量的實(shí)例都說明金融資產(chǎn)的價格存在多項分形特征，比如自相似性、長期記憶性等，市場并不能簡單的用布朗運(yùn)動驅(qū)動的定價模型體現(xiàn)出來。為彌補(bǔ)上述模型缺陷，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動應(yīng)運(yùn)而生[1]。

然而，文[2]中指出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動不是半鞅，關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的離散逼近很多學(xué)者都有所研究，還提出了直接將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動應(yīng)用與金融環(huán)境將會產(chǎn)生套利機(jī)會[3，4]，導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動表現(xiàn)出不適用于刻畫金融資產(chǎn)價格變化的行為模式。基于此，部分學(xué)者開始研究修正的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，比如雙分式布朗運(yùn)動、混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動等[5，6]，雙分式布朗運(yùn)動在一定限制條件下是半鞅，并且具有自相似性和長記憶性的特征，因此，可被應(yīng)用在期權(quán)定價領(lǐng)域。

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何雙分式布朗運(yùn)動，將歐式期權(quán)的定價問題轉(zhuǎn)化為一個偏微分方程，最后通過偏微分方程的求解得到了雙分式布朗運(yùn)動驅(qū)動下的歐式期權(quán)的定價公式。

1 雙分式布朗運(yùn)動與模型假設(shè)

1.1 雙分式布朗運(yùn)動的定義與性質(zhì)

1.2 模型假設(shè)

下面對金融市場做如下假設(shè)：

①無風(fēng)險利率r為常數(shù)；

②沒有對交易頭寸方向的限制，允許買空賣空證券；

③市場無摩擦，即交易費(fèi)用為零，無稅收，不存在無風(fēng)險套利機(jī)會；

④標(biāo)的資產(chǎn)（如股票）的價格變化過程St服從幾何雙分式布朗運(yùn)動

2 主要結(jié)果與證明

3 結(jié)論

本文在股票價格受雙分式布朗運(yùn)動驅(qū)動的假設(shè)下，利用偏微分方程的方法研究了歐式看漲看跌期權(quán)的定價問題。在定理3中，當(dāng)K=1時，結(jié)果即為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下的歐式看漲期權(quán)的定價公式，當(dāng)K=1，H=時，結(jié)果即為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動下歐式看漲期權(quán)的定價公式。可見本文的結(jié)果推廣了歐式期權(quán)的定價。另外，本文的結(jié)果還可以推廣到混合雙分式布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式期權(quán)定價。

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