圓中的多解問題

文 /鄧革周

圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉不變性.這些特性決定了與圓相關的某些問題會有多解.請看下面的例題.

一、點與圓的位置關系不確定產生多解

例1一個點到圓上的最小距離為4cm，最大距離為9cm，則圓的半徑為______cm．

解：該點不在圓上，但沒有確定在圓內還是在圓外，應分點在圓內和圓外兩種情況討論．

（1）當點在圓內時，如圖1，

由已知得MB=4cm，MA=9cm，

∴直徑AB=4cm+9cm=13cm，

∴半徑r=6.5cm.

（2）當點在圓外時，如圖2，

由已知得MB=4cm，MA=9cm，

∴直徑AB=9cm-4cm=5cm，

∴半徑r=2.5cm.

答案為：6.5cm或2.5cm．

點評：涉及點與圓的位置關系的問題，當沒有指明點的位置時，應考慮點在圓內、圓上、圓外三種情況．

圖1

圖2

二、兩平行弦與圓心的位置關系不確定產生多解

例2 已知⊙O的半徑是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD的距離是（ ）

A．1cm. B．7cm. C．1cm或7cm. D．無法判斷.

解：兩弦可能在圓心的同側，也可能在異側，應分情況討論.

（1）當AB和CD在O的同側時，如圖3，

過O作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA，OC，

∵AB∥CD，

∴OF⊥CD，

圖3

在Rt△OAE中，由勾股定理得

同理可得OF=3cm，

∴EF=OE-OF=4cm-3cm=1cm；

（2）當AB和CD在O的異側時，如圖4，同理可得OE=4cm，OF=3cm，

則EF=OE+OF=4cm+3cm=7cm.

即AB與CD的距離是1cm或7cm.

選C．

點評：當兩平行弦在圓心的同側時，它們之間的距離為兩弦心距之差；當兩平行弦在圓心的異側時，它們之間的距離為兩弦心距之和．

圖4

三、非直徑的弦所對的弧有優弧和劣弧的不確定產生多解

例3⊙O是正方形ABCD的外接圓，P是⊙O上不與A，B重合的任意一點，則∠APB等于______.

連接OA，OB.

風吹過草原，吹過人心與湖泊。夕陽下，那些奔跑著的蒙古馬，享受著一份壯美與遼闊。蒙古馬是以主要原產地命名的世界古老馬種之一。特殊的物種基因、嚴酷的生存環境和長期的遺傳變異，造就了蒙古馬耐寒、耐旱、耐力強的特殊屬性。

∵⊙O是正方形ABCD的外接圓，

∴∠AOB=90°，

則∠AP′B=180°-∠APB=180°-45°=135°．

∴∠APB=45°或135°．

點評：在同一圓中，一條弦（不是直徑）所對優弧和劣弧上的兩個圓周角的和為180°．

圖5

四、直線與圓的位置關系不確定產生多解

例4如圖6，⊙O的半徑為7cm，直線l⊥OA，垂足為B，OB=4cm，則直線l沿直線OA平移______cm時與⊙O相切．

解：延長AO交圓O于C，根據直線與圓相切的性質可知，當直線l平移到過A點或過C點時，直線l都與圓相切，因此應分兩種情況討論.

AB=OA-OB=7-4=3，

BC=OC+OB=7+4=11.

故答案為：3或11．

點評：平移圓內的直線與圓相切，要注意切點可能是某條直徑的兩個端點．

圖6

五、圓心在圓周角的內部還是外部不確定產生多解

解：圓心可能在圓周角∠BAC的內部，也可能在其外部，應分兩種情況討論.

（1）點O在∠BAC內部時，

如圖7所示，連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∴∠OEA=∠OFA=90°，

∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，

∴∠BAC=30°+45°=75°；

（2）當O在∠BAC外部時，如圖8所示，

同理可得∠OAF=45°，∠OAE=30°，

則∠BAC=45°-30°=15°，

故答案為：75°或15°．

點評：根據位置關系的不確定性，分情況畫出圖形，是解這類問題的關鍵．

圖7

圖8