直線與圓錐曲線的位置關系判斷方法探討

李成鋼

摘 要：直線與圓錐曲線的位置關系可分為3種：相交、相切、相離.判斷的方法均是把直線方程代入曲線方程中，判斷方程解的個數，從而得到直線與曲線公共點的個數，最終得到直線與曲線的位置關系.一般利用二次方程判別式來判斷有無解，有幾個解.對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切。經過類比、探索、驗證，得到以下結論.

關鍵詞：平面幾何；直線與圓；位置關系；圓錐曲線；關系判斷

在平面幾何學習中，判定直線與圓的位置關系時，大多是根據圓心到直線的距離與半徑的大小關系來確定直線與圓是相交、相切還是相離，那么對于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）與直線的位置關系判斷，是否也可以用類似的方法呢？

定理1：設F1，F2是雙曲線 的兩個焦點，點F1，F2到直線L：Ax+By+C=0的距離分別為d1，d2且F1，F2在L的兩側，則：（1）d1 d2b2直線與雙曲線C相離.（證明方法與定理1相同）

定理2：設拋物線C：（y-n）2=2P（x-m）（P>0）的對稱軸上有兩點F1（m，n），F2（P+m，n），直線L：Ax+By+C=0，F1，F2，點F1，F2到直線L的距離分別為d1，d2，F1，F2在L同側，則：（1）直線L與拋物線C相交的充要條件是d22-d21

（3）直線L與拋物線C相離的充要條件是d22-d21

常數a，定義加法為（x+y）（t）=x（t）+y（t），定義數乘為（ax）（t）=ax（t）.則不難驗證X成為一個線性空間.

對任意的x∈X，定義‖x‖=max|x（t）|容易驗證‖x‖為X上的一個范數，因此X為賦范線性空間，用[X；‖·‖]表示.在賦范線性空間中可引進距離，若設x1，x2∈X，定義d（x1，x2）=‖x1-x2‖，則同樣容易驗證d（x1，x2）為[X；‖·‖]上的距離函數，此時X又同時是距離空間.于是，在賦范線性空間X中，便可定義以x0為中心，ρ為半徑，當‖x-x0‖≤ρ時為閉球，當‖x-x0‖>ρ時為開球，于是數學分析中的許多概念和方法就可運用于其中了.

積分算子： 是對定義在[a，b]上的函數y（x），經過在[a，b]上積分的運算而變成另一個函數（或數）J，我們稱為算子（或泛函）.這種算子（或泛函）上的算子的一種抽象形式下加以研究，于是，這類問題可以這樣考察，把一些函數的集合看作“空間”，而把函數本身看作這種空間中的點或元素，這樣，算子就把點變成點.在這些元素之間引進運算，就可考慮此集合的代數結構，還可以在這個空間中考慮兩點間的距離，引入“距離”以及其他概念，由此，幾何的、代數的、分析的基本概念和方法就能有機地融合在一起了.隨著分析的深入，把這些概念和方法幾何化，不同類型的函數可看成函數空間的點或矢量，由此引出距離空間、賦范線性空間等.引進抽象空間以后，分析上的許多問題就可以用幾何的語言來解釋，這樣就在分析中找到了新的幾何方法，同時隨著幾何概念的推廣也產生了對代數概念的推廣.

參考文獻：

[1][美]M.克萊因.古今數學思想（第二卷）[M].上海：上?？茖W技術出版社，1979，323-324.

[2]李哲巖，張永曙.變分法及其應用[M].西安： 西北工業大學出版社，1989，1-2.

[3][蘇]Л.A.劉斯鐵爾尼克，B.И.索伯列夫.泛函分析概要[M].北京：科學出版社，1985，60-64.