探究一類無理函數最值的求法

摘要：求無理函數的最值一直是競賽和高考考察的重點，本文將圍繞其值域的求法展開討論，著重介紹了八種求法，以期對大家有所幫助.

關鍵詞：無理函數；競賽；高考；最值

求形如ax+b+cx+d最值的題，一直是競賽考察的重點.筆者發現至少有八種方法可以解決.現以2011年高中數學聯賽四川省初賽第4題為例，來展開闡述，以期拋磚引玉.

題目（2011年高中數學聯賽四川省初賽第4題）函數y=x-5+24-3x的最大值是（）.

A.3B.3C.23D.33

解法1求導法

設f（x）=x-5+24-3x（5≤x≤8）.

則f ′（x）=12x-5-3224-3x.

令f ′（x）=0，解得x=234.

又f（5）=3，f（234）=23，f（8）=3.

所以f（x）∈3，23.故選C.

點評求導法是解決此類問題最基礎的方法，也是通法，基本上能解決所有類似題，但對同學的求導能力要求較高.

解法2換元法

令u=x-5，v=24-3x，

則3u2+v2=9.

問題轉化為：在3u2+v2=9u≥0v≥0 的約束下，求z=u+v的最大值.

（顯然直線v=u-z和橢圓3u2+v2=9相切時z最大）

消去v得，3u2+（z-u）2=9.

即4u2-2uz+z2-9=0.

令Δ≥0，所以z2≤12，故選C.

點評此方法實際上就是利用換元和非線性規劃來解決，眾所周知線性規劃在求范圍時往往是最精確的，此方法是對線性規劃方法的延拓.

解法3柯西不等式法

因為 （x-5+24-3x）2

=（1aa2x-5a2+1b24b2-3b2x）2

≤（1a2+1b2）（a2-3b2）x+24b2-5a2.

所以a2-3b2=0.

令b=1，則a=3.于是，

（x-5+24-3x）2

=（133x-15+1·24-3x）2

≤（13+1）（3x-15）+（24-3x）=12.

（當且僅當3·3x-15=24-3x，即x=234取等號）

故x-5+24-3x≤23.

點評利用待定系數法與柯西不等式也是解決此類問題常用的方法.此法不僅可以含兩個根號的函數的最大值，只要用法得當，還可以求出含多個根號的函數的最大值.

解法4琴生不等式法

令f（x）=x（x>0），則f ″（x）=-14x-32<0恒成立.由琴生不等式得：

x-5+24-3x

=1aa2x-5a2+1b24b2-3b2x

≤ax-5a+24b-3bx

=（a-3b）x+24b-5a.

令1a+1b=1a-3b=0 ，得a=4b=43 ，

于是，x-5+24-3x

=1416x-80+3424×169-3×169x

≤4x-20+24×43-3×43x=12=23 .

（當且僅當16x-80=24×169-3×169x，

即x=234取等號）

故選C.

點評運用琴生不等式，合理構造函數是重點，拼湊是關鍵.若能把握重點和關鍵就會運用得當，就可以解決很多高考和競賽題.

解法5構圖法

令a=x-5，b=8-x.則問題轉化為：

在a2+b2=3a≥0b≥0 條件下，求a+3b的范圍.

如圖1，點C在以AB為直徑的圓上，令AB=a，BC=b，延長AC到D，使得∠D=30°.

則AD=a+3b.

在ΔABD中，由正弦定理得：ADsin∠ABD=3sin30°=23（其中∠ABD∈60°，150°）

所以 AD=23sin∠ABD∈3，23.

點評所謂的數缺形時少直觀，形缺數時難入微，通過構圖法，很直接的就能將此類問題解決，但合理化歸有時較困難，用此法必須要求同學的綜合數學能力較強.

解法6對偶式法

令 y1=x-5+3·8-xy2=3·x-5-8-x ，

則y21 + y22 = 12.

因為y2=3·x-5-8-x（5≤x≤8）是增函數，所以y2∈-3，3.故y1∈3，23.

點評一陰一陽謂之道，運用對偶式可以迅速解決此類問題，而且難度不大.因此對偶式法是一種應該掌握的好方法.

解法7權方和不等式法

因為x-5+24-3x=x-5121-12+8-x123-12≤x-5+8-x12（1+3）-12=23.

當且僅當x-51=8-x3，即x=234取等號.

點評用權方和不等式解這類題，配湊是關鍵，配湊應注意兩個方面：一是分子比分母次數高一次，二是合并后x能消去.此外還要注意不等號的方向.

解法8向量法

令a=x-5，b=8-x.則問題轉化為：

在a2+b2=3a≥0b≥0 條件下，求a+3b的范圍.

如圖2，令OA=（a，b），OB=（1，3），

則OA·OB=a+3b.

而OA·OB=OAOBcos∠AOB

=23cos∠AOB≤23，

故a+3b≤23.

點評向量法是非常重要的方法，利用向量的數量積可以很好的理解和解決此類問題，類似的復數解法和方差解法也是如此，異曲同工.

對于其他類似的題目，通過轉化，基本都能用以上八種方法來解決.在解決問題時，應多角度，多思維的去考慮.與此同時，方法和技巧也不能生搬硬套，必須自己嘗試、自己領悟，這樣才能在解題中達到自身水平的提高.這樣才能一題多解，才能一解多題！

參考文獻：

[1]藍云波.一類無理函數的最值（值域）的求法再探究[J].中學數學研究，2015（3）.

[2]朱小扣.探究高中數學命題的原則[J].中學數學研究（華南師范大學版）.2017（11）.endprint