對開普勒第二定律教學的多角度分析

段金龍

摘要：開普勒行星運動定律的教學中，其中第二定律（面積定律）是教學難點.針對這個問題，本文嘗試從幾何、動力學及動能定理三個角度，對開普勒第二定律進行教學分析.

關鍵詞：開普勒第二定律；多角度分析

開普勒行星運動定律的教學中，第二定律（面積定律）最難理解，也是該節的難點.筆者認為，原因可能有以下兩點：一、該定律對學生的數學功底有一定的要求；二、學生對“為什么當行星離太陽較近時運行速度快，而離太陽較遠時運行速度慢”的原因不清楚.但隨著學生所學知識的增多，教師可以有意識地引導學生回過頭來用“新”知識解決“舊”難點.本文首先用幾何知識證明“行星在近日點速度快，遠日點速度慢”，然后分別從動力學和動能定理（引力做功）的角度對此作出解釋說明.最后，以對開普勒第二定律的教學處理為例，介紹筆者對教學難點的一貫處理方法，目的在于與廣大同行一同探討教學中存在的此類問題.

一、從幾何角度出發，對“行星在近日點速度快，遠日點速度慢”的證明

由開普勒第一定律（軌道定律）知，太陽系的八大行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上[1].現以一顆行星為例，如圖1所示，行星與太陽連線的長度r在一段很短的時間△t內來不及發生大的改變，可看做一恒定的半徑掃出一個扇形（此處用到了微元思想），由幾何知識可知，此扇形面積為

ΔS=12Δl·r（1）

其中，Δl是弧長，r是半徑.

由橢圓知識，在近日點A附近平均軌道半徑最短，遠日點B附近平均軌道半徑最長，其它點的平均軌道半徑介于二者之間.對于近日點A、遠日點B及軌道上的其它任意點P，有：

A

根據開普勒第二定律，扇形面積ΔS相同，故

ΔlA>ΔlP>ΔlB（3）

由于時間Δt極短，行星的速率

v=ΔlΔt（4）

又由于Δt相等，所以

vA>vP>vB（5）

即在橢圓軌道上，行星經過近日點時速度最快，經過遠日點時速度最慢；當行星從近日點向遠日點運動時，其速率在逐漸減??；當行星從遠日點向近日點運動時，其速率在逐漸增大.

二、對“行星在近日點速度快，遠日點速度慢”的解釋

對于“為什么行星在近日點速度快，遠日點速度慢？”，教材在該節中并沒有做出回答（其實僅僅根據該節及前面的知識，并不能回答這個問題），但這個問題終究是不能回避的，待時機成熟，教師應不失時機地引導學生來分析這個問題.接下來，筆者分別從動力學角度和引力做功角度，對“為什么行星在近日點速度快，遠日點速度慢？”加以解釋.

1.動力學角度

開普勒第二定律蘊含著行星與太陽之間的相互作用力沿著它們的連線，但不是很明確.待學生學習了之后的第二節《太陽與行星間的引力》及第三節《萬有引力定律》后，這點就會得到證實.在完成第二節和第三節的教學后，往往會再回過頭來從動力學的角度引導學生對開普勒第二定律進行再分析.

如圖2所示，太陽對行星的引力充當行星所受的合外力，從而使行星產生總是指向太陽的加速度.當行星從近日點向遠日點運動時，它的加速度a與速度v成鈍角，使得行星的速率逐漸減?。划斝行菑倪h日點向近日點運動時，它的加速度a與速度v成銳角，使得行星的速率逐漸增大[2].

2.動能定理角度

當學完第七章之后，學生對“合外力做功，改變物體的動能”有了一定的認識，又可以回過頭來從引力做功的角度分析開普勒第二定律，如圖3所示.

當行星從近日點向遠日點運動時，太陽對它的引力F（即合力）與其運行速度v成鈍角，引力做負功，使得行星的動能逐漸減小，速率也隨之減?。划斝行菑倪h日點向近日點運動時，引力F與速度v成銳角，引力做正功，使得行星的速率逐漸增大[2].

三、反思

開普勒行星運動第二定律在以往的教材中并不做要求，只是以注解的方式出現在正文下邊（原因可能就是因為其較難理解），新課標教材把它編排在正文中，與第一定律（軌道定律）、第三定律（周期定律）一起構成了完整的體系.這樣的安排固然更科學，但同時也對教師提出了更高的要求.在本文中，筆者曾兩度回首，從動力學角度和引力做功角度分析了開普勒第二定律，與起初的幾何證明形成了前后呼應（在幾何證明中用到的微元思想又與前面章節的化“變”為“恒”形成呼應）.

實踐證明，筆者的這種處理方法是適合基礎知識比較薄弱的學生的.也就是說，在初次遇到某一難點時，教師不可不管學生的接受能力和認知規律，將難點一步講到位，結果教師講得很累，學生也聽得很累，教學效果大打折扣.因此，在遇到教學難點時，教師大可不必急于求成，一切還得從學生的實際情況出發，先放一放，等后邊時機成熟了，再引導學生從另一個角度來尋求解決問題的途徑，也不失為一種方法.筆者通過教學實踐，總結得出這一處理方法的好處有：其一，通過多角度、前后呼應的方式使難點得到有效分散，突破起來更輕松，學生容易接受，其積極性也更容易被調動起來；其二，有助于培養學生從多角度看待同一問題，以及從多種渠道尋求解決問題的途徑的意識和思維習慣；其三，有利于幫助學生構建起知識體系，通過用“新”知識來解決“舊”難點，能讓學生體會到物理學存在知識體系，而不是零散的知識點，使學生感受到物理學的統一美（在本例中，對開普勒第二定律從動力學角度和做功角度的分析能讓學生體會到“天上的力與人間的力其實是一樣的，都滿足相同的規律”）.

參考文獻：

[1]張大昌主編普通高中課程標準實驗教科書 物理（必修2）[M] 北京：人民教育出版社，201029.

[2]程守洙，江之永普通物理學第五版（修訂本）[M].北京：高等教育出版社，2001