《乘法口訣》中的模糊理解問題探析

劉會容 張華波

眾所周知，自然數(shù)是無限多的，人們?yōu)榱藴蚀_無誤地區(qū)分、使用每一個自然數(shù)，發(fā)明了“計數(shù)符號”和“計數(shù)單位”，通過“計數(shù)符號”給“計數(shù)單位”排序、定位的規(guī)則，來確定數(shù)軸上每一個自然數(shù)的“唯一名稱和坐標”。

小學二年級教材中的《乘法口訣》受到“約定俗成”的影響，省略了對“計數(shù)單位‘十”有排序、定位作用的“一”（下文“一”同此意），因此就出現(xiàn)了“二六十二、三四十二、二七十四、三五十五、四四十六、二八十六、三六十八、二九十八”這八句缺“一”的《乘法口訣》。

一、存在的問題

“邏輯不嚴謹”：在把《乘法口訣》補充完整的題目中，面對“（?? ）四十二”這個填空題，學生們就會因為“十”的“雙重概念”（既表示“計數(shù)單位‘十”，又表示“實數(shù)‘一十”），而有兩種沒有任何“邏輯關系”的答案：即“（六七）四十二”和“（三）四十二”。

但是，這種“都正確”的結果，老師在情感上卻是難以接受的。比如說老師出題“（? ）四十二”的初衷是想檢測《乘法口訣》中的“（六七）四十二”，也就是說想問的原問題是“？×？=42”。而當學生把“？×？=42”的問題，用“？×4=12”的思維方式回答成“（三）四十二”時，老師卻要被動地、無奈地接受這種與原問題沒有任何“邏輯關系”的答案是正確的。

“結論不確定”：在題目“（? ）四十二”中，其結論部位的“四十二”，看似是“42”的大寫（或讀作），但在《乘法口訣》里它卻并不一定表示“42”，因為“四十二”還有可能是“四”和“一十二”的“畸形排列組合”（即：“四”為因數(shù)，“十二”為積，而“十二”呢？則是“一十二”省略了“一”后的“特稱”）。

也就是說，當我們用《乘法口訣》的邏輯規(guī)律（因數(shù)、因數(shù)、積）來推理“（? ?）四十二”中的已知條件時，“四十二”卻不能明確地表達一個主觀意思，而是一個隨意性的、模棱兩可、不確定的意思。

二、可能給學生帶來的影響

在《乘法口訣》中省略了具有實際意義的“一”后，學生們經(jīng)常分不清“計數(shù)單位‘十”前面的數(shù)（類似于“（ ）四十二”中的“四”），究竟是十位上的“數(shù)值”，還是一個“因數(shù)”，這在《乘法口訣》的教學活動中給學生帶來了很多“真真假假”的困惑和誤解，老師也需要花很多時間來講解，可是往往事倍功半。

比如：面對填空題“（?? ）四十六”時，涉世不深的二年級學生總是習慣性地把“四十六”當作“46”，因而無解。當學生們明白是“（四）四十六”后，一些比較優(yōu)秀的、善于分析問題的學生又會追問：為什么“四十六”不是“46”呢？為什么要把“四十六”分解成“4”和“16”呢？老師除了用不一定科學的“約定俗成”來搪塞外，別無他法。

再比如：“（?? ）六十三”，正確答案是“（七九）六十三”，而學生由于受到《乘法口訣》“二六十二”的影響，很多學生會很負責任的提出：“老師，這道題目錯了，‘（二）六不等于‘十三，應該是‘（二）六十二”。

上面的這些例子在現(xiàn)實中有很多，題目雖然不難，但這些問題發(fā)生在小學二年級學生身上是不足為奇的。

三、當前人們是如何對待這一問題的

1.過于尊重歷史文化

在探討《乘法口訣》中能不能省略“一”這個問題時，很多人會認為《乘法口訣》有“約定俗成”為依據(jù)，幾千年來都是這么使用（從出土文物——東漢時期《乘法口訣》上的“一九如九，二九十八”可以印證），應該也有這么用的道理，從尊重歷史文化來說，覺得還是從出題的方法上加以改進。比如：要求每個括號里只填一個數(shù)，老師出題時，需要填幾個數(shù)就打幾個括號等等。

2.迷信權威，過于依賴教材

在《乘法口訣》的實際教學中，絕大多數(shù)老師都被“約定俗成”的根深蒂固和《乘法口訣》的德高望重短路了思考，不相信、也不敢想象使用了幾千年的《乘法口訣》會存在“邏輯不嚴謹”和“結論不確定”的問題。總是把一些“不盡人意”的“問題”歸咎到學生的學習態(tài)度或理解能力上，然后以教材為主，精心指導學生反省自查，把學生從“主動發(fā)現(xiàn)問題”轉化為“被動地適應問題”，最終讓學生們在“問題”面前以“適應”妥協(xié)過關。

因此，這一本該早就解決的簡單“問題”，在老師和學生們善意的理解、寬容、適應中得以生存。

四、《乘法口訣》中的問題不容小覷

1.從科學的發(fā)展觀來說

科學上從不承認最終結論，《乘法口訣》雖然倍受人們的推崇和喜愛，但也不能例外，不排除其還有發(fā)展、完善的空間。下面讓我們再從宏觀角度來審視一下《乘法口訣》中的問題：

①違規(guī)使用了模糊概念

《乘法口訣》是嚴格按照邏輯法則推導出來的結論，這個推導過程可以說就是數(shù)學證明（教材上有推理過程），而數(shù)學證明必須嚴格遵守的六條規(guī)則的第4條指出：在數(shù)學證明中不能使用模糊概念，概念必須是唯一的解釋，不能有歧義。而在《乘法口訣》中，擁有“雙重概念”的“十”，就是“模糊概念”。

②違規(guī)使用了“特稱結論”

為了維護結論的準確性，數(shù)學證明必須嚴格遵守的六條規(guī)則的第6條還指出：結論必須是全稱的，特稱結論一律無效。現(xiàn)行的《乘法口訣》中，“十二、十四、十五、十六、十八”正是《規(guī)則》中嚴格禁止使用的“特稱結論”。因此，《乘法口訣》中的問題，看似偶然，其實也是必然。

2.從未來的發(fā)展觀來說

尊重和傳承歷史文化是我們的光榮和義務，但是歷史文化的產(chǎn)生和發(fā)展都有當時條件的局限性，隨著社會的發(fā)展、科技水平的不斷提高，以當今的科學水準來審視歷史時，很多歷史文化已經(jīng)經(jīng)不起科學的考驗了。雖然我們不可能用當今的標準苛求歷史和前人，但我們的教育面向的是未來，而未來所追求的科學、公正、永恒而富有意義的內(nèi)涵，促使我們一定要敢于正視一切問題，在傳承和使用歷史文化時，應該取其精華、去其糟粕，在前人已有的基礎上繼續(xù)創(chuàng)新與發(fā)展。

3.從存在的社會問題來說

《乘法口訣》中存在的問題并不復雜，但給我們的教育事業(yè)帶來的傷害卻是深遠綿長的，因為它導致我國每年都有近2000萬的小學二年級學生，在年復一年、無休止地重蹈這一誤區(qū)而不自知。

從大局來看，這些問題雖小，但它所影響到的面很大，從時間之長來說，再小的問題也不可小覷，所以《乘法口訣》有必要更新完善，直到永恒的完美無缺。

五、解決問題的方法

其實要想解決這個問題很簡單，就是在《乘法口訣》中，把具有實際意義的“一”不省略，讓“十”與“一十”能夠明確區(qū)分（以“二五一十”中的結論“一十”為榜樣），還原科學的、守規(guī)則的“三四一十二（原為三四十二）”等《乘法口訣》的本來面目。

下面以點帶面剖析一下 “三四一十二”優(yōu)于“三四十二”的理由：從“結構”上看，“三四一十二”更符合《乘法口訣》由有因果邏輯關系的“因數(shù)、因數(shù)、積”三個“完整的自然數(shù)”并列組成的條件，因為它各部位的完整，所以保證了“結構”的穩(wěn)定性。從“結論”上看，“三四一十二”中的結論使用了“數(shù)的全稱”，確保了“結論”的確定不疑，排除了類似“（?? ）四十二”中的“四十二”會有兩種截然不同意思的可能，從而維護了《乘法口訣》中每個“自然數(shù)”的“唯一”地位。從“邏輯”上看，有了“全稱”結論的“三四一十二”后，在教學活動中，就不會再出現(xiàn)“（三）四十二”和“（六七）四十二”這種明顯的“鳩占鵲巢”，并且還“都正確”的不合邏輯的答案了。因此，從數(shù)學要求精準的角度來說，完整的“三四一十二”比缺“一”的“三四十二”更趨于完美。

《乘法口訣》是人類智慧的偉大結晶，也是我國歷代數(shù)學學科中含金量很高的基礎知識，有著極其深遠的學術價值和社會價值。因此，它向人們展示的應該是框架結構穩(wěn)定、思維邏輯縝密和結論確定不疑的結合體，它不應該被“約定俗成”所束縛，況且“約定俗成”不一定是科學的、普適的。

（作者單位：天門市蔣場鎮(zhèn)明德小學）

責任編輯? 張敏