基于共軛梯度法和全變差正則化的圖像復原

張彬，孫菁聰，王勝文

(中國傳媒大學理學院，北京 100024)

1 引言

圖像復原的目的是將原始圖像從觀察到的降晰圖像中恢復出來。實際的降晰函數可以看作一個低通濾波器，使得原始圖像的高頻成分受到抑制甚至喪失。這個降質過程可以描述為如下的數學模型：

(1)

其中，f(x，y)為原圖像，g(x，y)為觀測到的退化圖像，t(x，y)為空間不變的點擴散函數，n(x，y)為高斯白噪聲。對該模型離散化后，將離散退化圖像、離散源圖像和離散噪聲圖像分別按照列字典序依次排列，可得三個列向量g、f和n，它們滿足如下的線性方程組：

g=T·f+n

(2)

其中T是一個分塊Toeplitz矩陣。

一般來說由于方程(2)是病態的，不能直接求解。因此必須添加一些先驗約束以使問題正則化。為了更好地保留圖像的細節信息，本文以圖像的全變差為約束項，求解下述泛函的極小化問題

(3)

2 全變差函數的離散化和基于共軛梯度法的正則化復原算法

對于二元函數f(x，y)，其全變差TV(f)定義為

在單位正方形的水平區間內插入nx個等分點，在豎直區間內插入ny個等分點，于是有分點(xi，yj)，xi=i·Δx，yj=j·Δy，0≤i≤nx，0≤j≤ny，取f(x，y)在這些離散點的值得離散圖像

將上述圖像按列字典序排列，得向量f。

f=(f0，0f1，0…fnx，0f0，1f1，1…

fnx，1…f0，nyf1，ny…fnx，ny)T

為方便計算，可將面積元素ΔxΔy合并到正則化參數α中，于是Jβ(f)離散化為

利用方向導數與梯度的關系，可以求得Jβ(f)的梯度。

則有

上述梯度計算可按照分塊Toeplitz矩陣與向量乘積的計算.

從(4)式可以得到Jβ(f)的梯度，把它用矩陣表示為

(5)

對基于全變差正則化的極小問題

其梯度為TT·(T·f-g)+α·L(f)

從而該極小化問題等價于求解線性方程組

(TT·T+α·L(f))·f=TT·g

(6)

利用共軛梯度法求解該線性方程組時，需要計算梯度向量(TT·T+α·L(f))·f-TT·g

其中T是分塊Toeplitz矩陣，TT·T·f，TT·g都可按分塊Toeplitz矩陣與向量乘積的方法來計算[1]，而L(f)·f主要是計算Dx·f和Dy·f，顯然它們滿足下面的關系

(7)

線性方程組(6)可用共軛梯度法CGM(conjugate gradient method)來求解。它僅需利用一階導數信息，克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣并求逆的缺點，是解決大型線性方程組最有用的方法之一[2]。共軛梯度法的求解步驟如下：

1、給定迭代精度0≤ε≤1和初始點f0，計算初始梯度g0=(TTT+αL(f0))·f0-TT·g，令k：=0

2、若‖gk‖≤ε，停止計算，輸出f*≈fk

3、計算搜索方向dk，

gk+1=(TTT+αL(fk+1))·fk+1-TT·g

5、令k：=k+1，轉步2.

3 仿真實驗及數據分析

為方便計算，選取兩幅大小200×200的漢字“王”和“爺”的灰度圖像Wang和Ye，moonfcce圖像及rice圖像作為原始圖像。為了模擬因大氣湍流而導致的圖像模糊，選取高斯函數為點擴散函數，并取高斯函數的方差為0.03，并給模糊圖像附加方差為10的白噪聲。

圖1的(a)、(d)、(g)、(j)為原始圖像，(b)、(e)、(h)、(k)為模糊圖像，(c)、(f)、(i)、(l)分別為以模糊圖像為迭代初始向量，利用共軛梯度法迭代500次而得的復原的結果。為了得到較好的復原效果，四幅復原圖像的正則化參數分別選取為0.000089，0.000065，0.000035和0.000065。

(a) (d) (g) (j)

(b) (e) (h) (k)

(c) (f) (i) (l)圖1 四幅源圖像、模糊圖像和復原圖像

對復原圖像的客觀評價一般采用無參考圖像質量評價方法。無參考圖像質量評價方法就是在沒有一個可以進行參考和對比的原始圖像的情況下，得出一個與人類視覺系統的視覺感知相一致的質量分數值的方法。近些年來，無參考圖像質量評價得到了越來越多的關注。常用的有灰度平均梯度(Gray Mean Grads，GMG)及拉普拉斯算子和(LS)。

灰度平均梯度是分別將圖像長度和寬度方向上的相鄰像素灰度值的差求平方和再求均方根，它能較好的反映圖像的對比度和紋理變化特征，其值越大表示圖像越清晰，圖像質量越好。

拉普拉斯算子和是對每一個像素點在 3×3 的鄰域內采用拉普拉斯算子得到8鄰域微分值，然后在圖像范圍內求和。一幅圖像越清晰，輪廓越鮮明，則每一個像素點附近的灰度值變化越大，LS值就越大。

灰度平均梯度值與拉普拉斯算子和雖然都不用參照原始圖像進行計算，但它們的值對于不同目標所成的不同圖像由于背景、對比度及紋理結構等成像條件不一樣差別是很大的，不具有可比性，因此只能用于對相同目標圖像質量的比較，也可以用于比較對同一幅圖像經過不同處理手段后的質量以判斷處理方法的效果和有效性。

表1給出了上面四幅圖像分別經過500次迭代后的GMG值LS值。

表1 各圖像在Tikhonov正則化復原，全變差復原循環預條件的GMG值和LS值Table 1 GMG and LS of images

從表1可以看出，全變差圖像復原的GMG值及LS值顯然比Tikhonov正則化復原的GMG值和LS值要大，即圖像的復原效果要比較好。