張彬,孫菁聰,王勝文
(中國傳媒大學理學院,北京 100024)
圖像復原的目的是將原始圖像從觀察到的降晰圖像中恢復出來。實際的降晰函數可以看作一個低通濾波器,使得原始圖像的高頻成分受到抑制甚至喪失。這個降質過程可以描述為如下的數學模型:

(1)
其中,f(x,y)為原圖像,g(x,y)為觀測到的退化圖像,t(x,y)為空間不變的點擴散函數,n(x,y)為高斯白噪聲。對該模型離散化后,將離散退化圖像、離散源圖像和離散噪聲圖像分別按照列字典序依次排列,可得三個列向量g、f和n,它們滿足如下的線性方程組:
g=T·f+n
(2)
其中T是一個分塊Toeplitz矩陣。
一般來說由于方程(2)是病態的,不能直接求解。因此必須添加一些先驗約束以使問題正則化。為了更好地保留圖像的細節信息,本文以圖像的全變差為約束項,求解下述泛函的極小化問題
(3)

對于二元函數f(x,y),其全變差TV(f)定義為
在單位正方形的水平區間內插入nx個等分點,在豎直區間內插入ny個等分點,于是有分點(xi,yj),xi=i·Δx,yj=j·Δy,0≤i≤nx,0≤j≤ny,取f(x,y)在這些離散點的值得離散圖像
將上述圖像按列字典序排列,得向量f。
f=(f0,0f1,0…fnx,0f0,1f1,1…
fnx,1…f0,nyf1,ny…fnx,ny)T
為方便計算,可將面積元素ΔxΔy合并到正則化參數α中,于是Jβ(f)離散化為


利用方向導數與梯度的關系,可以求得Jβ(f)的梯度。



則有
上述梯度計算可按照分塊Toeplitz矩陣與向量乘積的計算.
從(4)式可以得到Jβ(f)的梯度,把它用矩陣表示為
(5)
對基于全變差正則化的極小問題
其梯度為TT·(T·f-g)+α·L(f)
從而該極小化問題等價于求解線性方……