二次時變參數離散灰色預測模型的進一步推廣

金夢迪，劉基偉，張輝

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

1 引言

由于對可靠小樣本統計的需求日益增長，小樣本預測是一個很重要的課題。多年來，學者們對小樣本非平穩時間序列的預測問題做了深入研究，突出問題是，對于非平穩時間序列，當系統受到干擾的嚴重影響時，過去的可用數據不能如實反映系統的規律。因此，為使預測模型的擾動界變小，引入分數階經典弱化緩沖算子，對原始序列進行微調來提高預測精度；并且通過建立二次時變參數離散灰色模型對實例進行研究驗證。

2 分數階弱化緩沖算子的構造

經典弱化緩沖算子充分考慮每個數據的優先性，而變權弱化緩沖算子只考慮最新一個數據的優先性，所以從綜合利用原有數據信息的角度考慮，經典弱化緩沖算子是一種不錯的緩沖算子。

容易證明，經典弱化緩沖算子的階數越高，越能體現新信息的作用，提高預測質量[2]。但是經典弱化緩沖算子不能實現緩沖作用強度的微調，本文引入分數階弱化緩沖算子。

一階弱化緩沖算子的矩陣形式為：

二階弱化緩沖算子的矩陣形式為：

若X(0)為單調衰減序列，因為A(X(0))T≤(X(0))T，A為可逆矩陣，可得A-1A(X(0))T≤A-1(X(0))T，即(X(0))T≤A-1(X(0))T，所以D-1為單調衰減序列的強化緩沖算子；同理D-1為單調增長序列的強化緩沖算子。

若X(0)為震蕩序列，x(0)(l)=max{x(0)(k)，k=1，2，…n}，x(0)(h)=min{x(0)(k)，k=1，2，…n}，

3 二次時變離散參數灰色預測模型介紹

對于實際應用的數據，因為受到外界諸多沖擊因素的干擾而失真。為了能夠準確的挖掘事物規律，針對以往模型使用連續時間響應式進行預測產生的跳躍性誤差，本文使用時變參數離散灰色模型。

引理1 設x(0)(k+1)d1=(β1+β2k)x(0)(k)d1+β3k+β4為線性時變參數離散灰色模型，其中x(0)(k)為原始序列觀測值，d1為經典弱化緩沖算子。

下面使用經典弱化緩沖算子d1作用后的序列建立二次時變參數離散灰色模型。

定義1設x(0)(k+1)d1=(β1+β2k+β3k2)x(0)(k)d1+β4k2+β5k+β6為二次時變參數離散灰色模型，其中x(0)(k)為原始序列觀測值，d1為經典弱化緩沖算子。

定理1 對于二次時變含參離散灰色模型x(0)(k+1)d1=(β1+β2k+β3k2)x(0)(k)d1+β4k2+β5k+β6

該模型的最小二乘參數估計分別為：

為方便公示展示，記

因此有：

定理2 模型具有良好的性質：

(1)伸縮變換一致性

(2)白指數規律重合性

(3)能夠完全模擬二次序列

(4)克服模擬值增長率恒定問題

(5)克服由連續響應式產生的跳躍性誤差問題

證明過程不是本文重點，具體證明過程詳見文獻[3]。

二次時變離散參數灰色預測模型相比原有的一次時間項具有更高的預測值，在分數階緩沖算子的參與下可以實現對模型的微調。

4 實例研究：不同分數階預測結果比較

例1 以北京市年度科普經費籌集額為例，比較不同階數經典弱化緩沖算子對模型預測結果的影響。原始數據見表1，數據來源中華人民共和國國家統計局。

表1 2008～2015年 北京市年度科普經費籌集額(萬元)

取2008～2014年的年度科普經費籌集額為原始序列，分別建立0.6階，0.8階以及1階經典弱化緩沖算子的二次時變參數離散模型，對2015年數據進行預測，預測結果及誤差見表2。

由表2結果對比說明，0.6階經典弱化緩沖算子可以實現模型的微調，擬精度較高，能較好的挖掘系統的發展趨勢，得到比較好的預測精度。

表2 三種模型預測值與誤差比較

例2 以我國江蘇省科普專項經費為例，比較不同階數經典弱化緩沖算子對模型預測結果的影響。原始數據見表3，數據來源《中國統計年鑒》。

表3 2008～2015年 江蘇省年度科普經費籌集額(萬元)

取2008-2014年江蘇省年度科普經費籌集額為原始序列，同樣建立了0.3階，0.6階以及0.8階經典弱化緩沖算子的線性時變參數離散模型，對2015年數據進行預測，預測結果及誤差見表4。

表4 三種模型預測值與誤差比較

由表4結果對比說明，0.3階經典弱化緩沖算子可以實現模型的微調，擬精度較高，能較好的挖掘系統的發展趨勢，預測精度更好。

根據上面兩個實例分析可以看出，分數階的二次時變參數離散模型的預測精度更高，預測效果確實優于傳統的整數階模型。